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1、几几何何证证明明的的好好方方法法截截长长补补短短-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1几何证明的好方法截长补短几何证明的好方法截长补短有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。截长
2、法：截长法：（1 1）过某一点作长边的垂线）过某一点作长边的垂线（2 2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。相等。补短法补短法（1 1）延长短边。）延长短边。（2 2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。几种截长补短解题法类型几种截长补短解题法类型我们大致可把截长补短分为下面几种类型；类型 ab=c类型 ab=kcab类型c类型 c=ab对于类型，可采取直接截长或补短，绕后进行证明。或者化为类型证明。对于，可以将 ab 与 c 构建在一个三角形中，然后证明这个三角
3、形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为 30的直角三角形等。对于类型，一般将截长或补短后的 ab 与 c 构建在一个三角形中，与类型相同。实际上是求类型中的 k 值。cb对于类型，将 c=ab 化为=的形式，然后通过相似三角形的比例关系进ac行证明。在证明相似三角形的过程中，可能会用到截长或补短的方法。例：2CFDEHPGBA在正方形 ABCD 中，DE=DF，DGCE，交 CA 于 G，GHAF，交 AD于 P，交 CE 延长线于 H，请问三条粗线 DG，GH，CH 的数量关系方法一（好想不好证）CFDEHPGBA方法二（好证不好想）CFDEHPGBMA例题不详解。例题不详
4、解。（第 2 页题目答案见第 3、4 页）3ABFDEC（1）正方形 ABCD 中，点 E 在 CD 上，点 F 在 BC 上，EAF=45o。求证：EF=DE+BF（1）变形 aABEDCF正方形 ABCD 中，点 E 在 CD 延长线上，点 F 在 BC 延长线上，EAF=45o。请问现在 EF、DE、BF 又有什么数量关系（1）变形 bFABDCE正方形 ABCD 中，点 E 在 DC 延长线上，点 F 在 CB 延长线上，EAF=45o。请问现在 EF、DE、BF 又有什么数量关系（1）变形 c4AFEBjCD正三角形 ABC 中，E 在 AB 上，F 在 AC 上EDF=45o。DB
5、=DC，BDC=120o。请问现在 EF、BE、CF 又有什么数量关系（1）变形 dABFDEC正方形 ABCD 中，点 E 在 CD 上，点 F 在 BC 上，EAD=15o，FAB=30o。AD=3求AEF 的面积（1 1）解：（简单思路）解：（简单思路）ABFGDEC延长 CD 到点 G，使得 DG=BF，连接 AG。由四边形 ABCD 是正方形得ADG=ABF=90o5AD=AB又 DG=BF所以ADGABF（SAS）GAD=FABAG=AF由四边形 ABCD 是正方形得DAB=90o=DAF+FAB=DAF+GAD=GAF所以GAE=GAF-EAF=90o-45o=45oGAE=FA
6、E=45o又 AG=AFAE=AE所以EAGEAF（SAS）EF=GE=GD+DE=BF+DE变形变形 a a 解：（简单思路）解：（简单思路）ABGEDCFEF=BF-DE在 BC 上截取 BG，使得 BG=DF，连接 AG。由四边形 ABCD 是正方形得ADE=ABG=90oAD=AB又 DE=BG所以ADEABG（SAS）EAD=GABAE=AG由四边形 ABCD 是正方形得DAB=90o=DAG+GAB6=DAG+EAD=GAE所以GAF=GAEEAF=90o45o=45oGAF=EAF=45o又 AG=AEAF=AF所以EAFGAF（SAS）EF=GF=BFBG=BFDE变形变形 b
7、 b 解：（简单思路）解：（简单思路）FABDGCEEF=DEBF在 DC 上截取 DG，使得 DG=BF，连接 AG。由四边形 ABCD 是正方形得ADG=ABF=90oAD=AB又 DG=BF所以ADGABF（SAS）GAD=FABAG=AF由四边形 ABCD 是正方形得DAB=90o=DAG+GAB=BAF+GAB=GAF所以GAE=GAFEAF=90o45o=45oGAE=FAE=45o又 AG=AFAE=AE所以EAGEAF（SAS）7EF=EG=EDGD=DEBF变形变形 c c解：（简单思路）解：（简单思路）AFEBCGDEF=BE+FC延长 AC 到点 G，使得 CG=BE，连
8、接 DG。由ABC 是正三角形得ABC=ACB=60o又 DB=DC，BDC=120o所以DBC=DCB=30oDBE=ABC+DBC=60o+30o=90oACD=ACB+DCB=60o+30o=90o所以GCD=180oACD=90oDBE=DCG=90o又 DB=DC，BE=CG所以DBEDCG（SAS）EDB=GDCDE=DG又DBC=120o=EDB+EDC=GDC+EDC=EDG所以GDF=EDGEDF=120o60o=60oGDF=EDF=60o又 DG=DE8DF=DF所以GDFEDF（SAS）EF=GF=CG+FC=BE+FC变形变形 d d 解：（简单思路）解：（简单思路）
9、延长 CD 到点 G，使得 DG=BF，连接 AG。过 E 作 EHAG.前面如（1）所证，ADGABF，EAGEAFGAD=FAB=30o，SEAG=SEAF在 RtADG 中，GAD=30o，AD=3AGD=60AGD=603o，AG=2设 EH=x在 RtEGH 中和 RtEHA 中o，HAE=45oHG=3x，AH=xAG=2=HG+AH=3x+x,EH=x=333SEAF=SEAG=EHAG2=33.（第 5 页题目答案见第 6 页）ABOE（2）DC正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于 O，点 E 在 BD 上，AE 平分DAC。求证：AC/2=ADEO9（2）加强版
10、NABFEDC正方形 ABCD 中，M 在 CD 上，N 在 DA 延长线上，CM=AN，点 E 在 BD 上，NE平分DNM。请问 MN、AD、EF 有什么数量关系（2 2）解：（简单思路）解：（简单思路）ABMGEDOC过 E 作 EGAD 于 G因为四边形 ABCD 是正方形ADC=90o，BD 平分ADC，ACBD所以ADB=ADC/2=45o因为 AE 平分DAC，EOAC，EGAD所以EAO=EAG，DGE=AOE=AGE=90o又 AE=AE，所以AEOAEG（AAS）所以 AG=AO，EO=EG又ADB=45o，DGE=90o所以DGE 为等腰直角三角形DG=EG=EOADDG
11、=ADEO=AG=AO=AC/210（2 2）加强版解：（简单思路）加强版解：（简单思路）NQAPGEDMCFBMN/2=ADEF过 E 作 EGAD 于 G，作 EQAB 于 Q，过 B 做 BPMN 于 P按照（2）的解法，可求证，GNEFNE（AAS）DGE 为等腰直角三角形AG=ADDG=ADEF，因为四边形 ABCD 为正方形，ABC=GAQ=BCM=90oBD 平分ABC，BC=BAABD=ABC/2=45o，又EQB=90oEQB 为等腰 Rt 三角形，BEQ=45o因为GAQ=EGA=EQA=90o所以四边形 AGEQ 为矩形，11PB=PAAG=CPCA=CBAH=CB AC
12、D H=CBM=DBHCB=DBDH=DCPAC PBC=A=CBP=B PCBBAG=QAPBDH=MCBBE=ACAH=BPAP=BP BDH=APCAB=BCEADAADNFBOMDBECEBC【例【例1 1】EQ=AG=ADEF，EQ o o o o o ABABABAC BCCP CPBC ACBC AC BC ACPCPCPCPB PB PB PACEPC3BC ACPC3PA PB2CACB CACB CACBCACBBCCDCDCDCD33MN NC MN NC DE DE DE1AD2 AE23BP BP22AN MN AN MN DC DC DC23AD21MD2MC2MD
13、2MC2DE2227AC22OM CMMA MBMA MBDC2AD422PA PBPC PC22MD2MC2(MD MC)22MA2MBMD2MC2ABCA 60BDCEMA MBMA MBMA MBMA MBABC.ACBBDCEOBECD BCM ABD ABBDMN 60 MNDBANDMMN BC CEAEBC CE求证：BE+DF=AE.【例【例2 2】五边形 ABCDE 中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：AD平分 CDE12AAFBEBECDCD【例【例3 3】如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个6
14、0的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长NMBCD板块二、全等与角度【例 7】如图，在ABC中，BAC 60，AD是BAC的平分线，且AC AB BD，求ABC的度数.13AACDB由已知条件可以想到将折线ABD“拉直”成AE，利用角平分线AD可以构造全等三角形.同样地，将AC拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想.上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.【例 8】在正ABC内取一点D，使DA DB，在ABC外取一点E，使DBE DBC，且BE BA，求BED.AEDBC14