几何证明的好方法截长补短.doc

.\ 几何证明的好方法——截长补短 有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。…… 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 几种截长补短解题法类型 我们大致可把截长补短分为下面几种类型； 类型① ab=c 类型② ab=kc 类型③ 类型④ c=ab 对于类型①，可采取直接截长或补短，绕后进行证明。或者化为类型②证明。 对于②，可以将ab与c构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30的直角三角形等。 对于类型③，一般将截长或补短后的ab与c构建在一个三角形中，与类型②相同。实际上是求类型②中的k值。 对于类型④，将c=ab化为=的形式，然后通过相似三角形的比例关系进行证明。在证明相似三角形的过程中，可能会用到截长或补短的方法。 例： 在正方形ABCD中，DE=DF，DGCE，交CA于G，GHAF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系 方法一（好想不好证） 方法二（好证不好想） 例题不详解。 （第2页题目答案见第3、4页） （1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45。 求证：EF=DE+BF （1）变形a 正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45。 请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？ （1）变形b 正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45。 请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？ （1）变形c 正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=45。DB=DC，BDC=120。请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？ （1）变形d 正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAD=15，FAB=30。AD= 求AEF的面积 （1）解：（简单思路） 延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。 由四边形ABCD是正方形得 ADG=ABF=90 AD=AB 又DG=BF 所以ADGABF（SAS） GAD=FAB AG=AF 由四边形ABCD是正方形得 DAB=90=DAF+FAB =DAF+GAD=GAF 所以GAE=GAF-EAF =90-45=45 GAE=FAE=45 又AG=AF AE=AE 所以EAGEAF（SAS） EF=GE=GD+DE=BF+DE 变形a解：（简单思路） EF= BF-DE 在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG。 由四边形ABCD是正方形得 ADE=ABG=90 AD=AB 又DE=BG 所以ADEABG（SAS） EAD=GAB AE=AG 由四边形ABCD是正方形得 DAB=90=DAG+GAB =DAG+EAD=GAE 所以GAF=GAE-EAF =90-45=45 GAF=EAF=45 又AG=AE AF=AF 所以EAFGAF（SAS） EF=GF=BF-BG=BF-DE 变形b解：（简单思路） EF=DE-BF 在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG。 由四边形ABCD是正方形得 ADG=ABF=90 AD=AB 又DG=BF 所以ADGABF（SAS） GAD=FAB AG=AF 由四边形ABCD是正方形得 DAB=90=DAG+GAB =BAF+GAB=GAF 所以GAE=GAF-EAF =90-45=45 GAE=FAE=45 又AG=AF AE=AE 所以EAGEAF（SAS） EF=EG=ED-GD=DE-BF 变形c解：（简单思路） EF=BE+FC 延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG。 由ABC是正三角形得 ABC=ACB=60 又DB=DC，BDC=120 所以DBC=DCB=30 DBE=ABC+DBC=60+30=90 ACD=ACB+DCB=60+30=90 所以GCD=180-ACD=90 DBE=DCG=90 又DB=DC，BE=CG 所以DBEDCG（SAS） EDB=GDC DE=DG 又DBC=120=EDB+EDC =GDC+EDC=EDG 所以GDF=EDG-EDF =120-60=60 GDF=EDF=60 又DG=DE DF=DF 所以GDFEDF（SAS） EF=GF=CG+FC=BE+FC 变形d解：（简单思路） 延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。 过E作EHAG.前面如（1）所证， ADGABF，EAGEAF GAD=FAB=30，SEAG=SEAF 在RtADG中，GAD=30，AD= AGD=60，AG=2 设EH=x 在RtEGH中和RtEHA中 AGD=60，HAE=45 HG=x，AH=x AG=2=HG+AH=x+x,EH=x=3- SEAF=SEAG=EHAG2=3-. （第5页题目答案见第6页） （2） 正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分DAC。 求证：AC/2=AD-EO （2）加强版 正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE平分DNM。 请问MN、AD、EF有什么数量关系？ （2）解：（简单思路） 过E作EGAD于G 因为四边形ABCD是正方形 ADC=90，BD平分ADC，ACBD 所以ADB=ADC/2=45 因为AE平分DAC，EOAC，EGAD 所以EAO=EAG， DGE=AOE=AGE=90又AE=AE， 所以AEOAEG（AAS） 所以AG=AO，EO=EG 又ADB=45，DGE=90 所以DGE为等腰直角三角形 DG=EG=EO AD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2 （2）加强版解：（简单思路） MN/2=AD-EF 过E作EGAD于G，作EQAB于Q， 过B做BPMN于P 按照（2）的解法，可求证， GNEFNE（AAS） DGE为等腰直角三角形 AG=AD-DG=AD-EF， 因为四边形ABCD为正方形， ABC=GAQ=BCM=90 BD平分ABC，BC=BA ABD=ABC/2=45，又EQB=90 EQB为等腰Rt三角形，BEQ=45 因为GAQ=EGA=EQA=90 所以四边形AGEQ为矩形， EQ=AG=AD-EF，EQ//AG QEN=ENG 又ENG=ENF，所以QEN=ENF 由BC=BA，BCM=BAN=90，CM=AN， 所以BCMBAN（SAS） BM=BN，CBM=ABN ABC=90=ABM+CBM =ABM+ABN=MBN，又BM=BN 所以MBN为等腰Rt三角形， 又BP斜边MN于P， 所以NPB为等腰Rt三角形。 BP=MN/2，PNB=45。 BNE=ENF+PNB BEN=QEN+QEB 又QEN=ENF，PNB=QEB=45 所以BNE=BEN BN=BE， 又PNB=QEB=45=NBP=EBQ 所以BEQBNP（SAS） EQ=BP 因为EQ=AG=AD-EF，BP=MN/2 所以AD-EF=MN/2。 综合题体中的截长补短 1、如图，在⊙O中，C是的中点，直线CD⊥AB于点E，AB＝BE，PB、PA组成的⊙O的一条折弦，C是劣弧的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE＝PE+PB，请证明你的结论。 分析：本题要证明AE＝PE+PB，可以将AE分为两段，使其中一段长度等于PE，然后另一段长度关于PB。反之亦。证明△AHC≌△BPC。然后再证明PB＝PE，那么AE＝PE+PB。 证明：在AE上截取AH＝PB，连接AC、CH、BC、CP。 ∵ C是的中点 ∴＝ ∴ AC＝BC ∵＝ ∴∠A＝∠B ∴ 在△CAH与△CBP中 CA=CB ∠A=∠B AH=BP ∴ △CAH≌△CBP (SAS) ∴ CH＝CP ∵ CE⊥HP ∴ PE＝EH ∴ AE＝PE+PB 2、 如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角∠BCQ，∠ACB＝120， 求的值。 分析：要求的值，可用截长的方法来做，即可在AB上截取BE＝AC，使△PBE≌△PAC。即可求出的值。 解：连接PA、PB，在BC上截取BE，使BE＝AC，连接PE。 ∵∠QCP+∠PCA＝180 又∵∠PCA+∠PBA＝120 ∴∠QCP＝∠PBA ∵＝ ∴∠PCB＝∠PAB 又∵∠QCP＝∠PBA ∴∠PBA＝∠PAB ∴PA＝PB，＝ 在△PBE与△PAC中 PB=PA ∠PBC=∠QAP BE=AC ∴△PBE≌△PAC（SAS） ∴PC＝PE ∴∠PEC＝∠BCP＝30 ∴＝ ∴＝ 3、 如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角∠ACQ，∠ACB＝90， 求证：① ＝ ② AC－BC＝PC 分析： 要证明AC－BC＝PC，可使用截长的方法，即在AC上截取AH＝BC，HC＝AC-BC，然后将HC与PC构建一个等腰直角三角形，且HC为斜边，PC为直角边。通过求解△APH≌△CBP。即可证明AC－BC＝PC。 证明：连接PA、PB，在AC上截取AH＝BC。 ∵CP平分∠ACQ, ∠ACQ＝ 90 ∴∠PCA＝∠QCP＝ 45 ∵四边形APCB为圆的内接四边形 ∴∠PAB+∠PCB＝180＝∠PCQ＝∠PCB ∴＝ ∴PA＝PB ∵＝ ∴∠CBP＝∠PAC 在△APH与△CBP中 AH=CB ∠CBP=∠PAC AP=BP ∴△APH≌△CBP ∴PH＝PC ∵∠PCH＝45 又∵△PHC为等腰直角三角形 ∴AC－AH＝AC－CB＝HC＝PC ∴AC－BC＝PC 4、 如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分∠ACB，∠ACB＝120，求的值。 分析：要求，我们的思路是将CB延长至并与CD构建在一个三角形内，然后解三角形并证明延长线与CA相等。我们将CB延长至H，作CH=CA+CB，然后将CH和CD构建在一个三角形内，即过点D作∠CDH＝60延长CB，交DH于点H，即可证△CAD≌△HBD，再可求出的值。 解：过点D作∠CDH＝60延长CB，交DH于点H，连接AD、BD， ∵∠ADB＝CDH＝60 ∴∠BDH＝∠ADC ∵∠DCH＝60＝∠H＝∠ACD ∴DH＝DC 在△CAD与△HBD中 DH=DC ∠BDH=∠APC ∠H=∠ACD ∴△CAD≌△HBD（ASA） ∴CA＝BH ∴CB+BA＝CD ∴＝1 5、 如图，P是等边△ABC外接圆上任意一点，求证：PA＝PB+PC。 分析：要证明PA＝PB+PC，可用截长的方法，即在PA上截取AG＝CP，然后证明PG=BP即可。 证明：在AP上截取AG＝CP ∵△ABC为等边三角形 ∴AB＝BC ∵＝ ∴∠BAG＝∠PCB 在△ABG与△CBP中 ∠BAG=∠PCB AB=BC AG=CP ∴△ABG≌△CBP（SAS） ∴BP＝BG，∠ABG＝∠PBC ∴∠GBP＝60，BP＝PG ∴PA＝PB+PC 6、 如图，RT△ABC中，AD为斜边BC的高，P为AD的中点，BP交AC于N，NM⊥BC于M。求证：MN＝ANNC。 分析：要证明MN＝ANNC，可将此式化为＝，然后利用相似三角形的比例关系进行求解。 证明：延长BA、MN，交于点E。 ∵△ABC是等腰直角三角形 ∴∠EAN＝∠MNC＝90 ∵∠ANE＝∠MNC ∴∠C＝∠E ∴△AEM∽△MNC ∵AD∥MN ∴∠CNM＝∠CAD ∠CMN＝∠CDA ∵∠C＝∠C ∴△CNM∽△CAD ∴＝ ∴MN＝ANNC 7、 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点F，弦AE⊥CD于H，连接CE、OH。求证：OH⊥AC。 分析：要证明OH⊥AC，可用补短的方法，即延长CB、AE，交于点M，即可证OH∥AC。即可证明OH⊥AC。 证明：延长CB交AE的延长线于点M。 ∵AB为⊙O的直径 ∴∠ACM＝90 ∵AM⊥CD，且CD平分∠ACB ∴AH＝HM，OA＝OB ∵OH是△ACE的中位线 ∴OH∥CM 又∵∠ACM＝90 ∴OH⊥AC 8、 以△ABC的边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作DE⊥AC于E，DE为⊙O的切线。求的值。 分析 ：要求的值，可用补短的方法，即延长BA，过C作CM⊥BA的延长线交于点M，即可求出的值。 解 ：延长DA至M，作CM⊥BM于M。 ∵点D为BC中点 ∴AD平分∠BAC ∴∠DAE＝60，AD＝AD ∴DE＝＝AD ∵O与D分别为AB、BC的中点 ∴AC＝AB＝2AD ∵∠CAM＝ 180－120＝60 ∴AC＝2AD ∴CM＝AC＝AD ∴AM＝AC＝AD ∴OC＝＝AD ∴＝＝ 9、 如图，直径AB、CD互相垂直，点M是上一动点，连接AM、MC、MB、MD。 求证：为定值。 分析 ：要证明为定值，可用补短的方法，即延长MD，过A作AQ⊥AM,BH⊥MB,交AD的延长线于H。 解 ： 连接BC、AC、AD，作BH⊥MB交AD的延长线于H。 ∵CD为⊙O的直径 ∴△CBD、△CAD为等腰直角三角形 ∵∠CBD＝∠MBH＝90 ∴∠CBM＝∠DBH ∵∠BDH+∠MPB＝∠MCB+∠MDC＝180 ∴∠BDH＝∠MCB ∴CB＝DB ∴在△MCB与△BDH中 ∠BDH=∠MCB CB=DB ∠CBM=∠DBH ∴△MCB≌△BDH ∴DH＝MC ∴BM＝BH ∴△MBH为等腰直角三角 ∴MH＝MD+DH＝MD+MC＝MB 同理可得：MD－MC＝MA ∴＝＝2 ∴＝2 全等三角形中的截长补短 板块一、截长补短 【例1】 已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明． 　　 【例2】 如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系? 【例3】 如图2-9所示．已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE． 分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种： (1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和()，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等． (2)通过添辅助线先在求证中长线段()上截取与线段中的某一段(如)相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段()相等． 【例4】 已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE. 【例5】 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180，求证：AD平分∠CDE 【例6】 如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长． 板块二、全等与角度 【例7】如图，在中，，是的平分线，且，求的度数. 由已知条件可以想到将折线“拉直”成，利用角平分线可以构造全等三角形.同样地，将拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的. 需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想. 上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法. 【例8】 在正内取一点，使，在外取一点，使，且，求.