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1、湖南省娄底市第一中学 2020-2021 学年高一数学下学期期中试题 (时间：120 分钟 满分：150 分)一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)1计算131ii（）A12i B12i C12i D12i 2设m、n表示两条不同的直线，、表示不同的平面，则下列命题中错误的是（）Am，m，则/B/mn，m，则n Cm，n，则/mn D/m，n，则/mn 3.复数z113i和z213i在复平面内的对应点关于（）A实轴对称 B一、三象限的平分线对称 C虚轴对称 D二、四象限的平分线对称 4已知a，b均为单位向量，它们的夹角为 60，那么3ab等于（）A7 B10 C13
2、 D4 5 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，则下列说法中错误的是（）A平面PAB平面PAD B平面PAD平面PDC CABPD D平面PAD平面PBC 6.在平行四边形ABCD中，02,1,60,ABADDABE是BC的中点，则AE DB（）A1 B2 C3 D4 7右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：AC/EB；AC与DG成60角；DGMN与成异面直线且DGMN；NBABCD与面所成角为045 其中正确的个数是 A1 B2 C3 D4 8如图，在正方体ABCDA B C D 中，线段B D 上有两个动点E，F，若线段EF长度为一
3、定值，则下列结论中错误的是（）AACBE BBD 平面ABE C/EF平面ABCD D三棱锥BAEF的体积为定值 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分)9设向量(1,1),(0,2)ab，则下列结论正确的有（）A|ab B()/abb C()aba Da与b的夹角为4 10如图所示，四边形ABCD为梯形，其中ABCD，2ABCD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A12ACADAB B1122MCACBC C14MNADAB D12BCADAB 11在ABC中，角A，B，C的对边分别是a
4、，b，c，若22210,sinaabcabC，cossinaBbAc，则下列结论正确的是（）Atan2C B4A C2b DABC的面积为 6 12如图，在平面四边形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，2ABADCD，2 2BD，90BDC，将ABD沿对角线BD折起至A BD，使平面A BD 平面BCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（）A/EF平面A BC B异面直线CD与 A B所成的角为90 C异面直线EF与A C所成的角为60 D直线A C与平面BCD所成的角为30 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13已知复数11 2zii，其中i是虚数单位
5、，则z的虚部为_.14水平放置的ABC的斜二测直观图A B C如图所示，已知3,2A CB C，则ABC的面积为_.15中国南北朝时期，祖冲之与他的儿子祖暅通过对几何体体积的研究，早于西方 1100 多年，得出一个原理：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是面积，“势”是高.也就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.上述原理被称为祖暅原理.现有水平放置的三棱锥和圆锥各一个，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，所截得的两个截面面积都相等，若圆锥的侧面展开图是半径为 4的半圆，根据祖暅原理可知这个三棱锥的
6、体积为_.16在正三棱锥SABC中，6ABBCCA，点D是SA的中点，若SBCD，则该三棱锥外接球的表面积为_.四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(10 分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=（1,2）（1）若2 5b，且ab，求b的坐标（2）若10c，且2ac与43ac垂直，求a与c的夹角 18(12 分)在ABC中，3A，2b，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求（）B的大小；（）ABC的面积.条件：2222bacac；条件：cossinaBbA.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.19(12 分)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正
7、方形，PD垂直于底面ABCD，2PDCD,M是PC的中点.（1）证明：DM 平面PBC；（2）求三棱锥ABDM的体积.20(12 分)（1）如图 1，在直角梯形ABCD中，/AB CD，BCCD，26CDAB，45ADC，梯形绕着直线AB旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积；（2）有一个封闭的正三棱柱容器，高为 12，内装水若干（如图 2，底面处于水平状态），将容器放倒（如图 3，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点F，E，1E，1F分别为所在棱的中点，求图 2 中水面的高度.21(12 分)在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A为31海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距离
8、A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以10 3海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜.（1）问C船与B船相距多少海里？C船在B船的什么方向？（2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间.21.(12 分)如图，三棱柱111ABCABC中，122ABBCACBB，1B在底面ABC上的射影恰好是点A，E是11AC的中点.（1）证明：1/AB平面1BCE；（2）求1AB与平面11BCC B所成角的正弦值.娄底一中 2021 年高一第二学期期中数学测试卷答案 (时间：120 分钟 满分：150 分)一、单选题 1 【答案】B【详解】试题分析
9、：1 311 324121112iiiiiiii 考点：复数运算 2 【答案】D【详解】A 选项中命题是真命题，m，m，可以推出/；B 选项中命题是真命题，/mn，m，可得出n；C 选项中命题是真命题，m，n，利用线面垂直的性质得到/mn；D 选项中命题是假命题，因为两直线平行或异面 故选 D 3【答案】A 4【答案】C【详解】2223=(3)691 6 1 1 cos60913ababaa bb .故选：C 5【答案】D【详解】平面PAD平面ABCD，四边形ABCD为矩形，ADAB，AB平面PAD ABPD 又AB 平面PAB，平面PAB平面PAD 故 A，C 正确 同理可证平面PAD平面P
10、DC故 B 正确 D 显然不正确 故选：D 6.【答案】C【详解】12AE DBABADABAD2211322ABAB ADAD；故选 C 考点：1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积运算 7 【答案】A【详解】将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知AC与EB不平行，故错误；连接AF、FC将DG平移到AF，则AC与DG成60角，故正确；同理DGMN与成60角，故错误；NBABCD与面所成角不为045，故错误，综上可得只有正确，故选 A 8 【答案】B【详解】对 A，连接BD，底面ABCD是正方形，ACBD，又DD 平面ABCD，AC 平面ABCD，DDAC，BDDDD，AC平面BB D
11、D，BE 平面BB D D，ACBE，故 A 正确，不符合题意；对 B，若BD 平面ABE，AB 平面ABE，BDAB，但显然45ABD，所以BD 平面ABE不成立，故 B 错误，符合题意；对 C，正方体中，平面ABCD/平面A B C D ，EF 平面A B C D ，/EF平面ABCD，故 C正确，不符合题意；对 D，点A到平面BEF的距离也是点 A 到平面BB D D的距离，等于AC的一半，即三棱锥高为定值，而BEF的边EF为定值，高为BB为定值，故体积为定值，故 D 正确，不符合题意.故选：B.二、多选题 9 【答案】CD【详解】解：对于 A，因为(1,1),(0,2)ab，所以22(
12、1)12,2ab，所以ab，所以 A错误；对于 B，由(1,1),(0,2)ab，得(1,1)ab ，而(0,2)b，所以()ab与b不共线，所以 B 错误；对于 C，由(1,1)ab ，(1,1)a ，得()1(1)(1)10aba ，所以()ab与a垂直，所以 C 正确；对于 D，由(1,1),(0,2)ab，得22cos,22 2a b，而,0,a b，所以,4a b，所以 D 正确，故选：CD 10ABD【详解】12ACADDCADAB，A正确；11112222MCMAACBAACBCACACACBC，B正确；111244MNMAADDNABADABADAB，C错误；1122BCBAA
13、DDCABADABADAB，D正确.故选：ABD.11【答案】ABD【详解】因为222sinabcabC，所以222sinsincos222abcabCCCabab，所以sintan2cosCCC，故A正确；因为cossinaBbAc，利用正弦定理可得sincossinsinsinABBAC，因为()CAB，所以sinsin()sin()CABAB，所以sincossinsisin()sincoscossinnAABBABABAB，即sinsincossinBAAB 因为(0,)B，所以sin0B，所以tan1A，又(0,)A，所以4A，故B正确；因为tan2C，(0,)C 所以2 55sin
14、,cos55CC，所以2522 53 10sinsin()sincoscossin252510BACACAC，因为sinsinabAB，所以3 1010sin103 2sin22aBbA，故C错误；112 5sin103 26225ABCSabC，故D正确；故选：ABD【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积的求法，解题的关键在于灵活应用正余弦定理及面积公式，考查计算化简的能力，属中档题.12 【答案】ABD【详解】对于 A：因为E，F分别为A D和BD两边中点，所以/EFA B，又EF 平面A BC，所以/EF平面A BC，故 A 正确；对于 B：因为平面ABD平面BCD，交线
15、为BD，且CDBD，所以CD 平面ABD，即CDA B，故 B 正确；对于 C：取CD边中点M，连接EM，FM，则/EMA C，所以FEM或其补角为异面直线EF与AC所成角，又1EF，122EMAC，132FMBC，即90FEM，故 C 错误；D：连接A F，可得A FBD，由面面垂直的性质定理可得A F平面BCD，连接CF，可得A CF 为AC与平面BCD所成角，由21sin22 2A FACFAC，则直线AC与平面BCD所成的角为 30，故 D 正确 故选：ABD【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下
16、：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角 三、填空题 13【答案】3.【详解】11 21 221 3ziiiii ，所以复数z的虚部为3.故答案为：3.14【答案】6【详解】解：由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，如图所示；ABC的面积为：13 2262 .故答案为 6.15【答案】8 33【详解】设圆锥的底面半径为r，则12242r，解得2r，圆锥的高为22422 3h，所以圆锥的体积即为
17、三棱锥的体积为218 322 333V.故答案为：8 33.16【答案】54【详解】设ABC的中心为G，连接SG，BG，SG 平面ABC，AC 面ABC，SGAC，又ACBG，BGSGG，AC 平面SBG，SB 平面SBG，ACSB，又SBCD，ACCDC，SB 平面ACS.,SA SC 平面ACS，,SBSA SBSC，SABC为正三棱锥，SA，SB，SC两两垂直，3 2SASBSC，故外接球直径为 2223 23 23 23 6，故三棱锥SABC外接球的表面积为23 64542.故答案为：54.【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，解题的关键是通过线面垂直的判定定理和性质可得出SA，SB，S
18、C两两垂直，即可求出半径.四、解答题 17 【答案】（1）b=（2,4）或b=（-2，-4）；（2）4【详解】（1）ab；设bka，且2 5b，5a；52 5bk ak；k2；2 4b，或44b ，；（2）243acac，且510ac，；243acac 22832aca c 4030 10 2cosac，0；22cosac，；又0ac，；a与c的夹角为4【点睛】考查共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，根据向量坐标求向量长度，向量垂直的充要条件，以及向量夹角的范围，属于中档题.18【答案】（）4B（）334.19.【答案】（1）证明见解析；（2）23.【详解】（1）PD 平面ABCD，PDBC
19、.又ABCD是正方形，BCCD.PDCDD，BC 平面PCD.DM 平面PCD，DMBC.又2PDDC，E是PC的中点，所以DMPC.又BCPCC，DM 平面PBC.（2）在平面PCD内过M作/MN PD交CD于N，所以112MNPD且MN 平面ABCD，所以三棱锥MABD的体积为 11111222 1332323MABDABDVSMNAB AD MN .又三棱锥ABDM的体积等于三棱锥MABD的体积，三棱锥ABDM的体积等于23.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了棱锥的体积公式，属于中档题.20 【答案】（1）(459 2)；（2）9【详解】（1）依题意，旋转后形成的几何体可
20、以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的.由26CDAB，45ADC可知3BC，3 2AD.其表面积S 圆柱侧面积+圆锥侧面积+圆柱下底面积 223633 23 369 29(459 2)（2）F，E，1E，1F分别为所在棱的中点，AEFABC 113,244BCFEAEFBACABCSEFSBCSS梯形.所以棱柱1111BCFEBC FE的体积12VS梯形BCFE31294ABCABCSS，设图 2 中棱柱水面的高度为h，则9,9ABCABCShSh，即水面高度为 9.【点睛】本题考查旋转体的概念，考查圆柱圆锥的侧面积公式，柱体的体积公式，考查学生的空间想象能力，运算求解能力，属于中档题 21
21、【答案】（1）6BC，C船在B船的正西方向；（2）缉私艇沿东偏北30方向行驶610小时才能最快追上走私船 解：（1）由题意可知31AB，2AC，120BAC，在ABC中，由余弦定理得：2222cos1206BCABACAB AC，6BC，由正弦定理得：sinsinACBCABCBAC，即26sin32ABC，解得：2sin2ABC，45ABC，C船在B船的正西方向（2）由（1）知6BC，120DBC，设t小时后缉私艇在D处追上走私船，则10BDt，10 3CDt，在BCD中，由正弦定理得：10 310sin120sinttBCD，解得：1sin2BCD，30BCD，BCD是等腰三角形，106t
22、，即610t 缉私艇沿东偏北30方向行驶610小时才能最快追上走私船【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，以及解三角形的实际应用，考查转化能力和运算能力，属于中档题 22（1）证明见解析；（2）10535.【详解】（1）连接1BC与1BC相交于M，连接EM 由于E，M分别是11AC，1BC的中点，则1/EMAB 因为EM 平面1BCE，1AB 平面1BCE，所以1/AB平面1BCE.（2）取BC中点F，连接AF，1BF，则AFBC 因为1B A平面ABC，所以1B ABC 又1,AF B A平面1AB F，1AFB AA，所以BC 平面1AB F 又BC 平面11BCC B，所以平面1AB F 平面11BCC B，过N作1NOB F于O 因为NO 平面1AB F，平面1AB F 平面111BCC BB F 所以NO 平面11BCC B，连接OB，则OBN即为1AB与平面11BCC B所成角 设12BB，易知22110222BNANAB，62AF，1142B F 由11ONBAFB，114214B NONAFB F 所以105sin35ONOBNBN.【点睛】关键点睛：解决第一问的关键在于由中位线定理证明线线平行，再由线面平行的判定定理证明线面平行；解决第二问的关键在于由线面垂直找出线面角，再由直角三角形边角关系求出