二次函数直角三角形问题.pdf

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1、1、已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C是否存在实数 a，使得ABC 为直角三角形若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由 由 ，解得 ，点 A、B 的坐标分别为（-3，0），（，0），当 时，ACB90 由 ，得 解得 当 时，点 B 的坐标为（，0），于是 当 时，ABC 为直角三角形 当 时，ABC90 2：如图，抛物线 与 x 轴交与 A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为 D。交 Y 轴于 C，在抛物线第二象限图象上是否存在一点 M，使MBC 是以BCM 为直角的直角三角形，若存在，求出点 P 的坐标。若没有，请说明理由 抛物线 y=-x2+bx+c

2、 与 x 轴交予 A(1,0),B(-3,0)两点,得-1+b+c=0-9-3b+c=0 得 b=-2,c=3 该抛物线的解析式 y=-x2-2x+3 点 C 为（0.3）ABC 的面积为 1/2AB*OC=6 设在抛物线第二象限图象上存在点 M(x0,y0)使MBC 是以BCM 为直角的直角三角形 则 x00y0=-x02-2x0+3 (1)再由 MB2=MC2+BC2 得(x0+3)2+(y0-0)2=(x0-0)2+(y0-3)2+(0+3)2+(3-0)2 (2)(3)由（1）和（2）可解得 y0=3,x0=0 或者 y0=4，x0=-1 又 x00 所以y0=4，x0=-1 在抛物线

3、第二象限图象上存在点 M(-1,4)使MBC 是以BCM 为直角的直角三角形.3：（2012 云南）如图，在平面直角坐标系中，直线 交 x 轴于点 P，交 y 轴于点 A抛物线 的图象过点 E（-1，0），并与直线相交于 A、B 两点（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点 A 作 ACAB 交 x 轴于点 C，求点 C 的坐标；（3）除点 C 外，在坐标轴上是否存在点 M，使得MAB 是直角三角形？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 解答：解：（1）直线解析式为 y=x+2，令 x=0，则 y=2，A（0，2），抛物线 y=x2+bx+c 的图象过点 A（0，2），E（1

4、，0），解得 抛物线的解析式为：y=x2+x+2 （2）直线 y=x+2 分别交 x 轴、y 轴于点 P、点 A，P（6，0），A（0，2），OP=6，OA=2 ACAB，OAOP，RtOCARtOPA，OC=，又 C 点在 x 轴负半轴上，点 C 的坐标为 C（，0）（3）抛物线 y=x2+x+2 与直线 y=x+2 交于 A、B 两点，令 x2+x+2=x+2，解得 x1=0，x2=，B（，）如答图所示，过点 B 作 BDx 轴于点 D，则 D（，0），BD=，DP=6 =点 M 在坐标轴上，且MAB 是直角三角形，有以下几种情况：当点 M 在 x 轴上，且 BMAB，如答图所示 设 M（

5、m，0），则 MD=m BMAB，BDx 轴，即 ，解得 m=，此时 M 点坐标为（，0）；当点 M 在 x 轴上，且 BMAM，如答图所示 设 M（m，0），则 MD=m BMAM，易知 RtAOMRtMDB，即 ，化简得：m2 m+=0，解得：x1=，x2=，此时 M 点坐标为（，0），（，0）；（说明：此时的 M 点相当于以 AB 为直径的圆与 x 轴的两个交点）当点 M 在 y 轴上，且 BMAM，如答图所示 此时 M 点坐标为（0，）；当点 M 在 y 轴上，且 BMAB，如答图所示 设 M（0，m），则 AM=2 =，BM=，MM=m 易知 RtABMRtMBM，即 ，解得 m=，

6、此时 M 点坐标为（0，）综上所述，除点 C 外，在坐标轴上存在点 M，使得MAB 是直角三角形 符合条件的点 M 有 5 个，其坐标分别为：（，0）、（，0）、（，0）、（0，）或（0，）4：（2012?河池）如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，以底边 BC 的垂直平分线和 BC 所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线 经过 A、B 两点（1）写出点 A、点 B 的坐标；（2）若一条与 y 轴重合的直线 l 以每秒 2 个单位长度的速度向右平移，分别交线段 OA、CA 和抛物线于点 E、M 和点 P，连接 PA、PB设直线 l 移动的时间为 t（0t4）秒，求四边形 PBCA 的面积

7、S（面积单位）与 t（秒）的函数关系式，并求出四边形 PBCA 的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点 P，使得PAM 是直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）抛物线 y=x2+x+4 中：令 x=0，y=4，则 B（0，4）；令 y=0，0=x2+x+4，解得 x1=1、x2=8，则 A（8，0）；A（8，0）、B（0，4）ABC 中，AB=AC，AOBC，则 OB=OC=4，C（0，4）由 A（8，0）、B（0，4），得：直线 AC：y=x+4；依题意，知：OE=2t，即 E（2t，0）；P（2t，2t2+7t+4）、Q（2t，t+4）

8、，PQ=（2t2+7t+4）（t+4）=2t2+8t；S=SABC+SPAB=88+（2t2+8t）8=8t2+32t+32=8（t2）2+64；当 t=2 时，S 有最大值，且最大值为 64（3）PMy 轴，AMP=ACO90；而APM 是锐角，所以PAM 若是直角三角形，只能是PAM=90；由 A（8，0）、C（0，4），得：直线 AC：y=x4；所以，直线 AP 可设为：y=2x+h，代入 A（8，0），得：16+h=0，h=16 直线 AP：y=2x+16，联立抛物线的解析式，得：，解得 、存在符合条件的点 P，且坐标为（3，10）5：（2012?海南）如图，顶点为 P（4，-4）的二

9、次函数图象经过原点（0，0），点 A 在该图象上，OA 交其对称轴 l 于点 M，点 M、N 关于点 P 对称，连接 AN、ON，（1）求该二次函数的关系式；（2）若点 A 在对称轴 l 右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：证明：ANM=ONM；ANO 能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点 A 的坐标；如果不能，请说明理由 1）二次函数图象的顶点为 P（4，4），设二次函数的关系式为 。又二次函数图象经过原点（0，0），解得 。二次函数的关系式为 ，即 。（2）设直线 OA 的解析式为 ，将 A（6，3）代入得 ，解得 。直线 OA 的解析式为 。把 代入 得 。M（4，2

10、）。又点 M、N 关于点 P 对称，N（4，6），MN=4。（3）证明：过点 A 作 AH 于点 H，与 x 轴交于点 D。则 设 A（）,则直线 OA 的解析式为 。则 M（），N（），H（）。OD=4，ND=，HA=，NH=。6：（2012?赤峰）如图，抛物线 y=x2-bx-5 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 C 与点 F 关于抛物线的对称轴对称，直线 AF 交 y轴于点 E，|OC|：|OA|=5：1（1）求抛物线的解析式；（2）求直线 AF 的解析式；（3）在直线 AF 上是否存在点 P，使CFP 是直角三角形？若存在，求出 P 点坐

11、标；若不存在，说明理由 解答：解：（1）y=x2bx5，|OC|=5，|OC|：|OA|=5：1，|OA|=1，即 A（1，0），（2 分）把 A（1，0）代入 y=x2bx5 得 （1）2+b5=0，解得 b=4，抛物线的解析式为 y=x24x5；（4 分）（2）点 C 与点 F 关于对称轴对称，C（0，5），设 F（x0，5），x024x05=5，解得 x0=0（舍去），或 x0=4，F（4，5），（6 分）对称轴为 x=2，设直线 AF 的解析式为 y=kx+b，把 F（4，5），A（1，0），代入 y=kx+b，得 ，解得 ，所以，直线 FA 的解析式为 y=x1；（8 分）（3）存在

12、（9 分）理由如下：当FCP=90时，点 P 与点 E 重合，点 E 是直线 y=x1 与 y 轴的交点，E（0，1），P（0，1），（10 分）当 CF 是斜边时，过点 C 作 CPAF 于点 P（x1，x11），ECF=90，E（0，1），C（0，5），F（4，5），CE=CF，EP=EF，CP=PF，点 P 在抛物线的对称轴上，（11 分）x1=2，把 x1=2 代入 y=x1，得 y=3，P（2，3），综上所述，直线 AF 上存在点 P（0，1）或（0，1）使CFP 是直角三角形（12 分）7、如果一条抛物线 与 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物

13、线的“抛物线三角形”（1）“抛物线三角形”一定是 三角形；（2）若抛物线 的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求 的值；（3）如图，是抛物线 的“抛物线三角形”，是否存在以原点 为对称中心的矩形 若存在，求出过 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理 由 1、解：（1）等腰 （2）抛物线 的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，该抛物线的顶点 满足 （3）存在 如图，作 与 关于原点 中心对称，则四边形 为平行四边形 当 时，平行四边形 为矩形 又 ，为等边三角形 作 ，垂足为 ，设过点 三点的抛物线 ，则 解之，得 所求抛物线的表达式为 8、如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ；

14、二次函数 的图象与一次函数 的图象交于 两点，与 轴交于 两点，且 点坐标为（1,0）.（1）求二次函数的解析式；（2）求线段 的长及四边形 的面积 ；（3）在坐标轴上是否存在点 ，使得 是以 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 ，若不存在，请说明理由.（1）解：的坐标代入 得解析式 （2）解：设 ，则有:解得 ，.过点 作 轴于点 ,则点 坐标为:,.在直角三角形 中，由勾股定理得：由图可知：又由对称轴为 可知 （3）解法一：假设在 轴上符合条件的点 存在，设 .如图，过点 作 轴于 .则点 坐标为:,由勾股定理得：,整理得 ,解得 或 在 轴上所求的点 的坐标为 或 在 轴上符合

15、题意的点是 综上所述：满足条件的点 共有 3 个.评分说明：遗漏 扣 1 分，（3）解法二：假设在 轴上符合条件的点 存在，设 .如图，过点 作 轴于 .则点 坐标为:,即 ，整理得 ，解得 或 在 轴上所求的点 的坐标为 或 在 轴上符合题意的点是 综上所述：满足条件的点 共有 3 个 9、如图，抛物线 y=ax2+bx 经过点 A(4，0)，B(2，2).连结 OB，AB.(1)求该抛物线的解析式；(2)求证：OAB 是等腰直角三角形；(3)将OAB 绕点 O 按顺时针方向旋转 l35得到OAB，写出OAB 的边 AB的中点 P 的坐标试判断点 P 是否在此抛物线上，并说明理由.10、在平

16、面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点 ，点 ，如图所示：抛物线 经过点 （1）求点 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点 （点 除外），使 仍然是以 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 的坐标；若不存在，请说明理由 33、（1）过点 作 轴，垂足为 ，；又 ，点 的坐标为 ；（2）抛物线 经过点 ，则得到 ，解得 ，所以抛物线的解析式为 ；（3）假设存在点 ，使得 仍然是以 为直角边的等腰直角三角形：若以点 为直角顶点；则延长 至点 ，使得 ，得到等腰直角三角形 ，过点 作 轴，；，可求得点 ；若以点 为直角顶点；则过点

17、作 ，且使得 ，得到等腰直角三角形 ，过点 作 轴，同理可证 ；，可求得点 ；经检验，点 与点 都在抛物线 上 11.（2012 江苏苏州，29，10 分）如图，已知抛物线 与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴的正半轴交于点 C.点 B 的坐标为 ，点 C 的坐标为 （用含 b 的代数式表示）；请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO、QOA 和QAB中的任意两个

18、三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q的坐标；如果不存在，请说明理由.解：B（b，0），C（0，）；假设存在这样的点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点 P为直角顶点的等腰直角三角形.设点 P 坐标（x，y），连接 OP，则 ，.过 P 作 PDx 轴，PEy 轴，垂足分别为 D、E，PEO=EOD=ODP=90.四边形 PEOD 是矩形.EPD=90.PBC 是等腰直角三角形，PC=PB，BPC=90.EPC=BPD.PECPDB.PE=PD，即 x=y.由 ，解得：.由PECPDB 得 EC=DB，即 ，解得 符合题意.点 P 坐标为（，）

19、.假设存在这样的点 Q，使得QCO、QOA 和QAB 中的任意两个三角形均相似.QAB=AOQ+AQO，QABAOQ，QABAQO.要使得QOA 和QAB 相似，只能OAQ=QAB=90，即 QAx 轴.b2，ABOA.QOAQBA，QOA=AQB，此时OQB=90.由 QAx 轴知 QAy 轴，COQ=OQA.要使得QOA 和OQC 相似，只能OCQ=90或OQC=90.（）当OCQ=90时，QOAOQC.AQ=CO=.由 得：，解得：.，.点 Q 坐标为（1，）.（）当OQC=90时，QOAOCQ.，即 .又 .，即 .解得：AQ=4，此时 b=172 符合题意.点 Q 坐标为（1，4）.

20、综上可知：存在点 Q（1，）或（1，4），使得QCO、QOA 和QAB 中的任意两个三角形均相似.12、如图，已知抛物线 y=x2+bx-3a 过点 A（1,0），B(0,-3),与 x 轴交于另一点 C。（1）求抛物线的解析式；（2）若在第三象限的抛物线上存在点 P，使PBC 为以点 B 为直角顶点的直角三角形，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点 Q，使以 P,Q,B,C 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。13、如图，已知四边形 ABCD 是矩形，且 MO=MD=4,MC=3.(1)求直线 BM 的解析式;(2)求过

21、A、M、B 三点的抛物线的解析式;(3)在(2)中的抛物线上是否存在点 P,使PMB 构成以 BM 为直角边的直角三角形?若没有,请说明理由;若有,则求出一个符合条件的 P 点的坐标.解：(1)MO=MD=4,MC=3,M、A、B 的坐标分别为(0,4),(-4,0),(3,0)设 BM 的解析式为 ；则 ,BM 的解析式为 (2)方法一：设抛物线的解析式为 则 ，解得 （3）设抛物线上存在点 P,使PMB 构成直角三角形 方法一：分别过 M、B 作 MB 的垂线，它与抛物线的交点即为 P 点。过 M 作 MB 的垂线与抛物线交于 P，过 P 作 PHDC 交于 H，PMB=900，PMH=M

22、BC，MPHBMC，PH：HM=CM：CB=3：4 设 HM=4 (0),则 PH=3 P 点的坐标为(-4 ,4-3 )将 P 点的坐标代入 得:4-3 =解得 (舍出),P 点的坐标为()类似的,如果过 B 作 BM 的垂线与抛物线交于点 P,同样可求得 P 的坐标为()14、(07 年海口模拟一)如图 3，已知抛物线 经过 O(0,0)，A(4,0),B(3,)三点，连结 AB，过点 B 作 BC 轴交该抛物线于点 C.（1）求这条抛物线的函数关系式.（2）两个动点 P、Q 分别从 O、A 两点同时出发,以每秒 1 个单位长度的速度运动.其中，点 P 沿着线段 0A 向 A 点运动，点

23、Q 沿着折线 ABC 的路线向 C 点运动.设这两个动点运动的时间为 （秒)(0 4)，PQA 的面积记为 S.求 S 与 的函数关系式；当 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时PQA 的形状；是否存在这样的 值，使得PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时 P、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.（1）抛物线 经过 O(0,0)，A(4,0),B(3,)，.解得 .（2 分）所求抛物线的函数关系式为 .（3 分）(注：用其它方法求抛物线的函数关系式参照以上标准给分.)（2）过点 B 作 BE 轴于 E，则 BE=，AE=1，AB=2.由 tanBAE=，得BAE=60.（4

24、 分）（）当点 Q 在线段 AB 上运动，即 0 2 时，QA=t，PA=4-.过点 Q 作 QF 轴于 F，则 QF=，S=PAQF .（6 分）（）当点 Q 在线段 BC 上运动，即 2 4 时，Q 点的纵坐标为 ，PA=4-.这时，S=.（8 分）（）当 0 2 时，.，当 =2 时，S 有最大值，最大值 S=.（9 分）（）当 2 4 时，S 随着 的增大而减小.当 =2 时，S 有最大值，最大值 .综合（）（），当 =2 时，S 有最大值，最大值为 .PQA 是等边三角形.存在.当点 Q 在线段 AB 上运动时，要使得PQA 是直角三角形，必须使得PQA=90，这时 PA=2QA，即

25、 4-=2 ，.P、Q 两点的坐标分别为 P1(,0)，Q1(,).（13 分）当点 Q 在线段 BC 上运动时，Q、P 两点的横坐标分别为 5-和 ，要使得PQA 是直角三角形，则必须 5-=，P、Q 两点的坐标分别为 P2(,0)，Q2(,).15、如图，抛物线 y=x2+bx+c 的顶点为 D（-1，-4），与 y 轴交于点 C（0，-3），与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧）（1）求抛物线的解析式；（2）连接 AC，CD，AD，试证明ACD 为直角三角形；（3）若点 E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 F，使以 A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？若

26、存在，求出所有满足条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 ：（1）由题意得，-b/2=-1,4c-b24=-4 b=2，c=3，则解析式为：y=x2+2x3；（2）y=x2+2x3，x=1 或 x=3，由题意点 A（3，0），AC=9932，CD=112，AD=41625，由AC2+CD2=AD2，所以ACD 为直角三角形；3，若 AB 为一边，则 EF 平行且等于 AB等于 4，则 E、F 的纵坐标相等，设 F(X1,Y1)，则 X1=-5 Y1=12 或 X1=3 Y1=12，若AB 为对角线，则 EF 也为对角线，因 E 在对称轴上，根据平行四边形的性质，对角线平分，所以只有顶点 D

27、 符合。因此 F 点为（-5，12）或（3，12）或（-1，-4）16.如图，抛物线 y=ax2+bx 经过点 A（-4，0）、B（-2，2），连接 OB、AB，（1）求该抛物线的解析式 （2）求证：OAB 是等腰直角三角形 （3）将OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转 135，得到OAB，写出AB的中点 P 的坐标，试判断点 P 是否在此抛物线上 ：（1）由题意得 16a+4b=0 4a+2b=2，解得 a=-1/2 b=2；该抛物线的解析式为：y=-1/2x2+2x；（2）过点 B 作 BCx 轴于点 C，则 OC=BC=AC=2；BOC=OBC=BAC=ABC=45；OBA=90，OB=A

28、B；OAB 是等腰直角三角形；（3）OAB 是等腰直角三角形，OA=4，OB=AB=2 根号 2；由题意得：点A坐标为（-2 根号 2，-2 根号 2）AB的中点 P 的坐标为（-根号 2，-2 根号 2）；当 x=-根号 2 时，y=-1/2（-根号 2）2+2（-根号 2）-2 根号 2；点 P 不在二次函数的图象上 17、已知抛物线 与 x 轴交于不同的两点 A（x1，0）和 B（x2，0），与 y 轴交于点 C，且 x1，x2 是方程 x22x3=0 的两个根（x1x2）（1）求抛物线的解析式；（2）过点 A 作 ADCB 交抛物线于点 D，求四边形 ACBD 的面积；（3）如果 P

29、是线段 AC 上的一个动点（不与点 A、C 重合），过点 P 作平行于x 轴的直线 l 交 BC 于点 Q，那么在 x 轴上是否存在点 R，使得PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点 R 的坐标；若不存在，请说明理由 1)解方程 x*x-2x-3=0 得 x1=-1；x2=3;把它们分别代入抛物线 y=-2/3*x*x+bx+c 得 b=4/3:；c=2,。抛物线的解析式：y=-2/3*x*x+4/3*x+2(2)设 D（x,y）,CB 斜率为-2/3,AD 斜率 y/(x+1)=-2/3,代入 y=-2/3*x*x+4/3*x+2 得解X1=-1，X2=4，则 D（4，-10/3）则.AB

30、 长 4，所求面积=4*2/2+4*(10/3)/2=32/3.(3)存在，抛物线顶点为（1,8/3）,PQ 中垂线经过该点，则 R 为（1,0）18.已知抛物线 y=x2x2 （1）求抛物线顶点 M 的坐标；（2）若抛物线与 x 轴的交点分别为点 A、B（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C，点 N 为线段 BM 上的一点，过点 N 作 x 轴的垂线，垂足为点 Q当点 N 在线段 BM 上运动时（点 N 不与点 B，点 M 重合），设 NQ 的长为 t，四边形 NQAC 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点

31、 P，使PAC 为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 19、（四川省德阳市）25.如图，已知与 轴交于点 和 的抛物线 的顶点为 ，抛物线 与 关于 轴对称，顶点为 （1）求抛物线 的函数关系式；（2）已知原点 ，定点 ，上的点 与 上的点 始终关于 轴对称，则当点 运动到何处时，以点 为顶点的四边形是平行四边形？（3）在 上是否存在点 ，使 是以 为斜边且一个角为 的直角三角形？若存，求出点 的坐标；若不存在，说明理由 .解：（1）由题意知点 的坐标为 设 的函数关系式为 又 点 在抛物线 上，解得 抛物线 的函数关系式为 （或 ）（2）与 始终关于

32、轴对称，与 轴平行 设点 的横坐标为 ，则其纵坐标为 ，即 当 时，解得 当 时，解得 当点 运动到 或 或 或 时，以点 为顶点的四边形是平行四边形 （3）满足条件的点 不存在理由如下：若存在满足条件的点 在 上，则 ，（或 ），过点 作 于点 ，可得 ，点 的坐标为 但是，当 时，不存在这样的点 构成满足条件的直角三角形 20、.(荆门市)28.如图 1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片 OABC，已知 O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点 P 是 OA 边上的动点(与点 O、A 不重合)现将PAB 沿 PB 翻折，得到PDB；再在 OC 边上选取适当的点 E，将POE 沿 PE

33、 翻折，得到PFE，并使直线 PD、PF 重合 (1)设 P(x，0)，E(0，y)，求 y 关于 x 的函数关系式，并求 y 的最大值；(2)如图 2，若翻折后点 D 落在 BC 边上，求过点 P、B、E 的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点 Q，使PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点 Q 的坐标 (1)由已知 PB 平分APD，PE 平分OPF，且 PD、PF 重合，则BPE=90OPEAPB=90又APBABP=90，OPE=PBA RtPOERtBPA 即 y=(0 x4)且当 x=2 时，y 有最大值 (2)由已

34、知，PAB、POE 均为等腰三角形，可得 P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)设过此三点的抛物线为 y=ax2bxc，则 y=(3)由(2)知EPB=90，即点 Q 与点 B 重合时满足条件 直线 PB 为 y=x1，与 y 轴交于点(0，1)将 PB 向上平移 2 个单位则过点 E(0，1)，该直线为 y=x1 由 得 Q(5，6)故该抛物线上存在两点 Q(4，3)、(5，6)满足条件 21、.（07 年河池市）如图 12，四边形 OABC 为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）点 从 出发以每秒 2 个单位长度的速度向 运动；点 从 同时出发，以每秒 1 个单位长度的速度

35、向 运动其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动过点 作 垂直 轴于点 ，连结 AC 交 NP 于 Q，连结 MQ （1）点 （填 M 或 N）能到达终点；（2）求AQM 的面积 S 与运动时间 t 的函数关系式，并写出自 变量 t 的取值范围，当 t 为何值时，S 的值最大；（3）是否存在点 M，使得AQM 为直角三角形？若存在，求出点 M 的坐标，若不存在，说明理由 解：（1）点 M 1 分（2）经过 t 秒时，则 ，=当 时，S 的值最大 （3）存在设经过 t 秒时，NB=t，OM=2t 则 ，=若 ，则 是等腰 Rt 底边 上的高 是底边 的中线 点 的坐标为（1，0）若 ，此时 与 重合 点 的坐标为（2，0）