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1、- 1 - / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第五章平面向量精选高考数学一轮复习第五章平面向量 5-15-1 平平面向量的概念及线性运算学案理面向量的概念及线性运算学案理考纲展示 1.了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义考点 1 平面向量的有关概念向量的有关概念(1)向量：既有大小又有_的量叫做向量，向量的大小叫做向量的_(2)零向量：长度为_的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于
2、_的向量(4)平行向量：方向相同或_的非零向量，又叫共线向量规定：0 与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向_的向量(6)相反向量：长度相等且方向_的向量答案：(1)方向 模 (2)0 (3)1 个单位 (4)相反 (5)相同 (6)相反向量有关概念的理解误区：相等向量；共线向量(1)若四边形 ABCD 满足，则四边形 ABCD 的形状是- 2 - / 14_答案：平行四边形解析：表示 ADBC 且 ADBC，所以四边形 ABCD 是平行四边形(2)若四边形 ABCD 满足k(k0，k1)，则四边形 ABCD 的形状是_答案：梯形解析：k(k0，k1)表示 ADBC，但 AD 与 BC
3、不相等，所以四边形 ABCD 是梯形.典题 1 (1)给出下列命题：若|a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件；若 ab，bc，则 ac；若 ab，bc，则 ac.其中正确命题的序号是( )B A DC 答案 A解析 不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|且.又 A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形；- 3 - / 14反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则|，且，方向相同因此.正确ab，a，b 的长度相等且方向相同，又 bc，b，c 的长度相等且方向相同，a，c 的长度相等且
4、方向相同，故 ac.不正确当 b0 时，a，c 可能不平行综上所述，正确命题的序号是.(2)给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；若 a0( 为实数)，则 必为零；已知 ， 为实数，若 ab，则 a 与 b 共线其中错误命题的个数为( )B2 A1 D4C3 答案 C解析 错误两向量共线要看其方向而不是起点与终点；正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；错误当 a0 时，不论 为何值，a0；错误当 0 时，ab，此时，a 与 b 可以是任意向量点石成金 1.相等向量具有传递性，非零向量的
5、平行也具有传递性2共线向量即平行向量，它们均与起点无关3向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，- 4 - / 14不要把它与函数图象移动混为一谈4非零向量 a 与的关系：是 a 方向上的单位向量考点 2 向量的线性运算向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a ab b_；结合律：(a ab b)c ca a(_)减法求a a与b b的相反向量b b的和的运算a ab ba a(_)数乘求实数与向量a a的积的运算|a a|a a|，当0 时，a a与a a的方向_；当0 时，a a与a a的方向_；当0 时，a a0( a a)(_)a
6、a；()a a_；(a ab b)_答案：ba bc b 相同 相反 aa ab(1)教材习题改编向量和式()()化简后等于- 5 - / 14_答案：AC解析：原式.(2)教材习题改编已知三角形 ABC，用与表示 BC 边上的中线向量，则_.答案：AC1 2典题 2 (1)2017广东惠州高三二模如图，在正方形 ABCD中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个三等分点，那么( )B.A. AD1 2D.C. AD2 3答案 D解析 在CEF 中，有.因为点 E 为 DC 的中点，所以.因为点 F 为 BC 的一个三等分点，所以.所以，故选 D.(2)2017辽宁沈阳模拟已知AB
7、C 和点 M 满足0.若存在实数 m 使得m 成立，则 m( )B3 A2 D5C4 答案 B解析 由0 知，点 M 为ABC 的重心，设点 D 为底边 BC 的中点，则()()，所以3，故 m3.- 6 - / 14点石成金 向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果考点 3
8、 共线向量定理的应用共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 ，使得b_.答案：a处理向量问题的常见错误：忽视零向量；滥用结论(1)若 a 与 b 是共线向量，b 与 c 是共线向量，则 a 与 c 的关系是_答案：共线向量或不共线向量解析：若 b0，则 a 与 c 未必是共线向量；若 b 是非零向量，则a 与 c 是共线向量注意：在处理向量问题时不要忽略零向量(2)已知两向量 a，b，若|a|1，|b|2，则|ab|的范围是_答案：1,3解析：当 a，b 方向相同时，有|ab|3；当 a，b 方向相反时，- 7 - / 14有|ab|1；当 a，b 不共线时，1|
9、ab|3.所以|ab|的范围是1,3. 注意：在一般情况下，|ab|a|b|不成立.有关向量的几个结论：三点共线；向量的中线公式；三角形重心的向量表示(1)A，B，C 三点共线的充要条件是对不在直线 AB 上的任意一点O，存在实数 t 使得t_.答案：1t解析：根据共线向量定理知，A，B，C 三点共线的充要条件是存在实数 t 使得t，即t()，即t(1t).(2)ABC 中，D 是 BC 的中点，则()，则 _.答案：1 2解析：由，得2()()0，()典题 3 设两个非零向量 a 和 b 不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D 三点共线；(2)试确定实数 k，使 kab 与
10、 akb 共线(1)证明因为ab，2a8b，3(ab)，所以2a8b3(ab)5(ab)5，所以，共线又与有公共点 B，所以 A，B，D 三点共线- 8 - / 14(2)解 因为 kab 与 akb 共线，所以存在实数 ，使 kab(akb)，即解得 k1.即当 k1 时，kab 与 akb 共线题点发散 1 若将本例(1)中“2a8b”改为“amb” ，则当 m 为何值时，A，B，D 三点共线？解：(amb)3(ab)4a(m3)b，若 A，B，D 三点共线，则存在实数 ，使，即 4a(m3)b(ab)，所以解得 m7.故当 m7 时，A，B，D 三点共线题点发散 2 若将本例(2)中的“
11、共线”改为“反向共线” ，则k 为何值？解：因为 kab 与 akb 反向共线，所以存在实数 ，使 kab(akb)(0)，即解得 k1.又 0，k，所以 k1.故当 k1 时，两向量反向共线点石成金 1.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线2向量 a，b 共线是指存在不全为零的实数 1，2，使1a2b0 成立；若 1a2b0，当且仅当 120 时成立，则向量 a，b 不共线1.已知向量 a，b 不共线，且 cab，da(21)b，若- 9 - / 14c 与 d 同向，则实数 _.答案：1解析：由于 c 与
12、d 同向，所以 ckd(k0)，于是 abka(21)b，整理得 abka(2kk)b.由于 a，b 不共线，所以有Error!整理得 2210，所以 1 或 .又 k0，所以 0，故 1.2已知 a，b 是两个不共线的非零向量，且 a 与 b 起点相同若a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上，则 t_.答案：1 2解析：a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上，且 a 与b 起点相同atb 与 a(ab)共线，即 atb 与 ab 共线，存在实数 ，使 atb，解得Error!即当 t时，a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上.方法技巧 1.向量加法的三角形法则要素是“首尾相
13、接，指向终点” ；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量” ；平行四边形法则要素是“起点重合” 2对于平面上的任一点 O， ，不共线，满足xy(x，yR)，则P，A，B 共线xy1.易错防范 1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否- 10 - / 14也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.真题演练集训 12015新课标全国卷设 D 为ABC 所在平面内一点，3，则( )A. B.AC4 3C. D.AC1 3答案：A解析：().故选 A.22
14、014新课标全国卷设 D，E，F 分别为ABC 的三边BC，CA，AB 的中点，则( )B. A. D.C. BC1 2答案：A 解析：()()()，故选 A.32014新课标全国卷已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若()，则与的夹角为_答案：90解析：()，点 O 是ABC 边 BC 的中点，BC 为直径，根据圆的几何性质有， 90.课外拓展阅读 专题一 平面向量与三角形问题的综合- 11 - / 14典例 1 已知 P 是ABC 内一点，且，PBC 的面积是 2 015，则PAB 的面积是_思路分析 PBC，PAB 分别与ABC 共底边于 BC，AB，由平面几何知识，将每组共底边的三角
15、形面积之比转化为共底边上的对应高的比，即可得出面积关系，进而计算出PAB 的面积解析 设 SABCS，SPBCS12 015，SPABS2.解法一：(恰当切入，从“三点共线”突破)如图所示，延长 AP 交 BC 于 D，由平面几何知识，得.由 A，P，D 三点共线，可得(R)AD由 B，D，C 三点共线，可得(1)(R)AD联立和，有解得Error!则，那么，于是 SS1.同理，延长 CP 交 AB 于 E，计算可得，所以 S2S.于是 S2SS1S12 0152 821.解法二：(巧妙构造，引出向量“投影”取胜)如图所示，构造一个单位向量 e(其中 e)，那么，在单位向量 e 方向上的投影长
16、度|e|与|e|分别是PBC，ABC 的公共底边上的高，则 S|e|e|cose， |sinABC；- 12 - / 14因为AC7 18()，所以 S1|eBP|e(5 18BA7 18BC)|e5 18BA|cose， |(1 2|BC|BA|sinABC)5 18S.设 i 为与向量垂直的单位向量，同理，可以推出 S2S.于是 S2SS1S12 0152 821.解法三：(划归转化，牵手三角形“重心”巧解)由，可得 5670.令5，6，7，连接 AB，BC，CA，如图所示，于是0.即 P 是ABC的重心，SPABSPBC，根据已知条件，得S1|sinBPCsinBPC(1 2|PB|PC
17、|sin BPC)1 42SPBC，- 13 - / 14所以 SPBC42S1，同理可得 SPAB30S2.于是 S2S12 821.故填 2 821.答案 2 821温馨提示在寻找三个三角形面积之间的关系时，可以从多方面思考：可以从“三点共线”突破，运用三点共线向量式求解，思维起点低，思路直接，如解法一；可以从向量“投影”得出关系，构造出一个中介性辅助元素单位向量 e，i，如解法二；可以转化条件形式，将转化成 5670，利用三角形“重心”性质引出巧解，如解法三专题二 用几何法求解向量填空题利用向量加法的几何意义或向量减法的几何意义，可以将一些向量问题转化为几何问题，利用数形结合的方法，快速
18、得到答案，避免繁琐的运算和由于运算而产生的错误典例 2 已知 a，b 是两个非零向量，且|a|b|ab|，则a 与 ab 的夹角是_解析 令a，b，以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB，则 OCab，BAab，又|a|b|ab|，所以OAB 是正三角形，由向量加法的几何意义，可知 OC 是AOB 的平分线，所以 a 与 ab 的夹角是.答案 6典例 3 已知两个非零向量 a，b 满足|ab|ab|，则下面结论正确的是_- 14 - / 14ab；ab；|a|b|；abab.解析 根据向量加法、减法的几何意义可知，|ab|与|ab|分别为以向量 a，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|ab|ab|.所以该平行四边形为矩形，所以 ab.答案