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1、1 . 4.1生活中的优化问题举例(1)【学情分析】：导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题：2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、 效率最值问题。【教学目标工1 .掌握利用导数求函数最值的基本方法。2 .提裔将实际问题转化为数学问题的能力.提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能3 .体会导数在解决实际问题中的作用.【教学重点】：利用导数解决生活中的一些优化问题.【教学难点臬将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。【教学突破点】：利用
2、导数解决优化问题的基本思路:【教法、学法设计】:【教学过程设计】：教学环节教学活动设计 意图(1)复习引入：提问用导 数法求函数最值的基本 步骤学生回答：导数法求函数最值的基本步骤为课 题作 铺 垫.(2)典型例题讲解例1、把边长为。cm的正方形纸板的四个角剪去四个相等的小正 方形(如图示)，折成一个无盖的盒子，问怎样做才能使盒子的容积 最大？解设剪去的小方形的边长为X,则盒子的为V = x(a-2x)2 (0x3),求导数，得Vf = (a- 2x)2 - 4x(a - 2x) = (2x - a)(6x - a),选择 一个 学生 感觉 不是 很难 的题 目作 为例 题，令丫=0得工=或工
3、=,其中不合题意，故在区间 622(0,三)内只有一个根：x = y,26显然，oxo时(幻0662因此，当四角剪去边长为cm的小正方形时，做成的纸盒的容积 6最大.让学 生自 己体 验一 下应 用题 中最 优化 化问 题的 解法。(3)利用导数解决优化 问题的基本思路：1、生活中的优化问题转化为数学问题2、立数学模型(勿忘确定函数定义域)3、利用导数法讨论函数最值问题使学 生对 该问 题的 解题 思路 清析 化。(4)加强巩固1例2、铁路AB段长100千米，工厂C到铁路的距离AC为20千 米，现要在AB上找一点D修一条公路CD,已知铁路与公路每吨 千米的运费之比为3:5,问D选在何处原料从B
4、运到C的运费最 省？解：设AD的长度为x千米，建立运费y与AD的长度x之间的 函数关系式，则CD= J20W , BD=100-x,公路运费5k元/Tkm,铁路运费3k 元/ Tkmy= 5%，400 + 叩2 + 3%(100 - x), (x g 0,100)Slcx求出 f(x)= 1-3k,a/400 + x2令(x)=0,得 3600+9x2=25x2解得 X = 15, x2=-15(舍去),Vy(15)=330ky(0)=400k, y(100)510k原料中转站D距A点15千米时总运费最省。使学 生能 熟练 步 骤.(5)加强巩固2例3、某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶
5、子的制造成本 是().84，分，其中是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大 半径为6cm问题：(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2 )瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解.：由于瓶子的半径为广，所以每瓶饮料的利润是4()=/(r) = 02x 4八一0.8笈/=().8万r2 ,0 r 63I 3,令r&) = ().8万(产一2r)=0 解得 r = 2 (/=0舍去)当厂(0,2)时，/r(r)0 .当半径2时，(广)0它表示/(r)单调递增，即半径越大， 利润越高；当半径，时; r(r)()它表示/上)单调递减
6、，即半径越大， 利润越低.(1)半径为2cm时，利润最小，这时/(2)3时，利润才为正值.当，(),2)时，/()0, /为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时; 瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm 时，利润最小.提高 提高 问题 的综 合性， 锻炼 学生 能力。(6)课堂小结1、建立数学模型(确立目标函数)是解决应用性性问题的关键2、要注意不能漏掉函数的定义域3、注意解题步骤的规范性(7)作业布置:教科书P104 A组1,2, 3。(8备用题目:1、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm,要使其体积最大，则其高为(A )2020A -cm B l(X)cm C 20cm D cm
7、332、设正四棱柱体积为V,那么其表面积最小时，底面边长为(A )A i/v B 国 C V4V D 2 折3、设8分成两个数，使其平方和最小，则这两个数为o4、用长度为的铁丝围成长方形，则围成的最大面积是4。5、某厂生产产品固定成本为500元，每生产一单位产品增加成本10元。已知需求函数为:4 = 200 4，问：产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？解：先求出利润函数的表达式：r/ dz 厂(、 = 0,90 - 2x 0, x 0/. 0 x 0,那么叭%)为增函数当x e (10,24)时W(x) 0,那么V(x)为增函数3xg(10, 24)时。(X) 0,那么 V(x)为减函数因此在定义域(0,24)内，函数V。)只有当x = l丽取得最大值其最大值为 V(10) = 10 x (90 20) x (48 20) = 19600(。/)答:当容器的高为10c耐，容器的容积最大，最大容积为19600(c加)