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1、专题十三第二章复习与检测一知识结构图内容生上 考点关注点第二章复习与检测导数的几何意义求曲线的切线方程导数的运算复合函数求导函数的单调性函数单调性与导函数正负的关系函数的极值与最值极值与最值的关系应用问题将数学问题转化为数学问题二.学法指导1 .导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yyo= /(xo)(x刈)，明确“过点p(xo,州)的曲线y=/(x)的切线方程”与“在点p(xo,)，o)处的曲线y=/(x) 的切线方程”的异同点.2 .围绕着切点有三个等量关系：切点(如 泗)，则仁广(xo), yo=/5), 5)，泗)满足切线方程，在求 解参数问题中经
2、常用到.3 .利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用火幻与其导数了(x)之间的对应关系，然后结合函数 的单调性等知识求解.求解参数范围的步骤为：(1)对含参数的函数次x)求导，得到/(x)；(2)若函数段)在(，/?)上单调递增，则/(%)()恒成立；若函数x)在(，/?)上单调递减，则/(x)(0 恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有/(x)=0.若/(x)=0恒成立，则函数人幻在(小。)上为常函 数，舍去此参数值.4,求连续函数/1)在区间M上的最值的方法(1)若函数/(x)在区间，加上单调递增或递减，则/(。)与/()一个为最大值，一个为最
3、小值；若函数/在闭区间m切内有极值，则要先求出。，加上的极值，再与Q)，八。)比较,最 大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.5.已知函数的极值(最值)情况求参数的值(取值范围)的方法根据极值和最值的关系，与最值有关的问题一般可以转化为极值问题.已知/(x)在某点就处有极值，求参数的值(取值范围)时，应逆向考虑，可先将参数当作常数，按 照求极值的一般方法求解，再依据极值与导数的关系，列等式(不等式)求解.6.解决优化问题的步骤(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域.(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在
4、这个过程中，导数是一个有力的工具.(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.三.知识点贯通知识点1 导数的几何意义例题1 ,已知函数/(工)=X3+工一16.(1)求曲线y=/(%)在点(2, 6)处的切线方程；(2)直线/为曲线y=/a)的切线，且经过原点，求直线/的方程及切点坐标；(3)如果曲线y=/(%)的某一切线与直线y=5+3垂直,求切点坐标与切线的方程.【解析】/(x) = (x3+x16y=3f+l, (x)在点(2, 6)处的切线的斜率为攵=广(2)=13. 切线的方程为y= 13(x2) + ( 6),即 y=13x32.(2)设切点为(xo, jo),则直线/的斜率为/Go)
5、 = 3/+1, 直线/的方程为y=(3 焉 + l)(xxo)+xj+xo-16.又直线/过点(0, 0), *.O=(3xo+1)(xo)+xj+xo16.整理得，焉=一8,二xo= -2. *o=(-2)3 + (-2)-16=-26.Z=3x(-2)2+1 = 13. 直线/的方程为y=13x,切点坐标为(一2, -26).x(3);切线与直线y=a+3垂直，二切线的斜率k=4.设切点坐标为(xo,州)，贝 I /(m)=3/+1=4, X()= 土 1 .x()= 1,Jx()= - 1,10= 14 或1泗=一18.即切点为(1, 一14)或(一1, -18).切线方程为 y=4(
6、x1)14 或 y=4(x+1)18.即 y=4x18 或 y=4x14.知识点二函数的单调性与导数例题2：若函数,f (x)=x；sin 2x+qsin x在(一8,+8)上单调递增，则。的取值范围是()A. 1, 1 1 11c -?句【答案】C1B. f 3_D-1, Y2【负牟析】)f(x)=lqcos 2x+cosx=l 451) + COS X= cos2x+tzcos x+g, f(x)在R上单调递增,则/(x)20在R上恒成立,令cosxj ze-l, 1,则一则一,1上恒成立,即 “一3S一5W0在1, 1上恒成立，令 (04Z2 3at 5,f(l)=4-3a-50,则lg
7、(1)=4+3一5W0,解得一故选C.知识点三函数的极值 最值与导数例题3 .已知函数/(%)=%3+af+匕的图象上一点P(l, 0)且在点P处的切线与直线3% +y=0平行.(1)求函数/(%)的解析式；(2)求函数/(%)在区间0, (0/3)上的最大值和最小值.【解析】(1)因为/(%) = 3/+2公，曲线在P(l, 0)处的切线斜率为1(l)=3+2a,即3 +2。=3, a= -3.又函数过(1, 0)点,即-2+5=0, b=2.所以 a=3, b=2, /。)=/一3f+2.(2)由(1)得/a)=2 3f+2,得尸(x) = 3f6x.由尸(x)=0,得 x=0 或 x=2
8、.当0VW2时，在区间(0,“上，/(X)VO, /(X)在0, 上是减函数，所以/(X)max =/(0) = 2, /(%)min=/) = /-3产+ 2.当2Vt3时，当x变化时，/(x), /(x)的变化情况如下表：X0(0, 2)2(2,1)t尸00+f(x)2-2/t3-3t1+2/(X)min=/(2)=-2, /(X)max 为/(0)与/中较大的一个./(0-/(0) = /3-3z2=/2a-3)0,所以 f(X)max=f(0) = 2.知识点四导数在生活中的应用例题4.如图，曲线4”是一条居民平时散步的小道，小道两旁是空地，当地政府为了丰 富居民的业余生活，要在小道两
9、旁规划出两块地来修建休闲活动场所，已知空地4BCZ) 和规划的两块用地(阴影区域)都是矩形，A3=144, AQ=150, CH=33若以43所在直 线为x轴，A为原点，建立如图平面直角坐标系，则曲线的方程为丁=6&,记AM =t，规划的两块用地的面积之和为S(单位：米).A M B x(1)求S关于1的函数S;(2)求S的最大值.【解析】(1)根据所建平面直角坐标系，可得点”(144, 120),所以120=WT脑，解得 。=10,又所以P。ICh),所以S关于的函数关系式为S) = M150IS”) +( 144力 1 讨=150/ 20M+1 4403(0 t 144).(2)令机=3，
10、贝U S=150m2-20m3+ l 440m(0m0 0m8; 5f08m0,解得 xl,令尸(x)V0,解得 OVxVl, ：.f(x)在(0, 1)上为减函数，在(1, +8)上为增函数.(2)令E=lnx+x,则，=lnx+x在(0,+8)上单调递增，且/R,(x)=xe(ln x+x)=etat9 令 g(，)=e一G.，/(x)在(0, +8)上有两个零点等价于g= e,一m在，上有两个零点.当。=0时，g(/) = e在R上递增，且g0,故g无零点；当。V0时，g) = e，一0, g在R上单调递增,1又g(0)=l0, g - =e-l0时，由g)=e一。= 0,可知/(8,
11、Ina)时，g)V0, g为减函数； re (In a,+8)时,g)0, g为增函数,g在E=ln 时有唯一的一个极小值g(ln 。)=(1 In a).若 OViVe,则 gmin=g(lna) = o(llna)0, g无零点；若 4 = e,则 gmin = 0, g 只有一个零点；若。e,则 gmin=g(lna) = (llna)VO,而 g(0)=l0,由于 f(x) n x=-工在xe时为减函数，可知当e时，eaaco2.从而 g(a) = e/o,./(1)在(0, In a)和(In a, + 8)上各有一个零点.综上可知：当。e时，/(x)有两个零点，即所求。的取值范围是(e, +8).误区警示由函数的零点求参数的范围，要构造合适的函数，利用导数研究函数的性质，借助函数的单调性、 最值解决参数问题。