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1、专题六 第一章复习与检测一知识结构图空间向盘及运 算的坐标表示空间向盘及运 算的坐标表示r1c.r1 y - . (用空间向ht 研究在找、 平面的位置 关系7空间向质与平行美系1用空间向fit 研究距肉、 央角向JS飙两询砸mil空间向盘与空间加1单位正交分解I阳州T砌羽剂二.学法指导.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它 们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据 图形，利用向量运算法则表示所需向量.1 .空间向量的数量积4,h(1)空间向量的数量积的定义表达式0b=|aHcos a, b)及其变式c
2、os 8, b) =浸而是两个网重要公式.(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如加=|2,。在上的投影 ah而=|a|-cos 等.2 .利用空间向量证明空间中的位置关系证明直线的方向向量与平面的法向量平行:线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直.线面平行证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表 示.线面垂直利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.面面平行证明两个平面的法
3、向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题.面面垂直证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题.用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0。忘90。，需找到两异面宜线的方向向量，借 助方向向量所成角求解.(2)直线与平面所成的角：要求直线。与平面a所成的角0,先求这个平面a的法向量与直线 。的方向向量。夹角的余弦cos，a),易知夕=，或端一11, a).(3)平面与平面的夹角：如图，有两个平面a与6分别作这两个平面的法向量小与2,则平面 a与4所成的角跟法向量n与in所成的角相等或互补.3 .向量求和的注意点三角形法则对于两个向量共线
4、时也适用.两个向量的和向策仍是一个向量.(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.三.知识点贯通知识点1 空间向量的线性运算和数量积 例题L已知正四面体0/WC的棱长为1,如图.求:五.懑(+&).(&+&);5+己+而【解析】在正四面体0ABe中，|之|=|而|=|笈1=1.04, 6b= =懑 0C =60. OAOB=OAOBcosZAOB=X 1 Xcos 60=1. 的+苏.(& + &)=(OA + OB)(OA-OC+OB-OC)=(OA-OB)(OA + OB-2OC)= OA2-2OAOB-2OAOC+OB2-2OBOC=12+2X 1X1 Xcos 600-2X 1X1
5、 Xcos 600+ 12-2X 1X1 Xcos 60= 1 + 1 - l + l - 1 = 1.5 + 法+亦=l(OA + OB-i-OC)2 =/l2+l2+l24-(2Xl X IXcos 600)X3 =6.知识点二空间向量基本定理基底的判断方法判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判断这三个向量是否共面.首先应考虑三个向量 中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共 面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三 个向量不共面.例题2：如图，已知空间四边形。/WC,对角线OB, AC, M,
6、 N分别是对边。4, 8c的中点，点G 在线段MN上，且MG=2GM用基底向量。4, OB, 0C表示向量0G.2【解析】OG=OM+MG=OM+qMN12 1f -1 -*=5。4+1 -OB-OQ-zOA1 -*1 -*-* I -*=OA +g(OB+OO？Q41 -* 1 -* 1 -*=+2+产 知识点三空间向量的坐标表示空间向量的坐标运算公式设。=(笛，V，Z|), b=(X2 丫2, Z2),(1)加减运算:ab=(xiX2, yij2, ziZ2).(2)数量积运算：a-b=xXi+yy2-irzZ2.(3)向量夹角：cos (a, b)(4)向量长度：设 MG1, yi, Z
7、l), M2(X2, t2, Z2 ),则 MMd =7(Xi 及)2 + ()、-V2)2 +(Z| - Z2)2.(5)a/ bx = Ar2且 yi =yz 且 zi =Kzi.例题 3 .已知 a=(l,5, -I),力=(一2,3,5).当（而+ZO（a3与时，求实数入的值;当33仍，(熊+)时，求实数人的值.【解析】。=(1,5, -1),力=(-2,3,5),._3b=(1,5, 一 1)一3(235)=(15, 1)一(一6,9,15)=(7, -4, -16),牖+、=入(1,5, -1) +(-2,3,5)=(1, 53 九)+( 2,3,5)=(入-2,51+3, 一入+
8、5)./ Qa+b)(a-3b),.2-2 5A+3 2+5= -4 = -16 *解得入=一.；33b)_L(Xa+b),(7, -4, - 16)。一2,51+3, 一入+5)=0,即 7(入一2)-4便+3) 16(一 入+5)=0,解得入= .知识点四利用空间向量证明平行、垂直问题例题 4.在四楂锥 P-/WC。中，AIHAD, CDAD, 底面 A/3C。，PA=AD=CD=2AB=2, M 为PC的中点.(1)求证：BM平面附。；(2)平面加。内是否存在一点N,使MN_L平面PB。？若存在，确定N的位置；若不存在，说明 理由.【解析】平面以。的一个法向量为=(1,0,0),；嬴=0
9、,即嬴J_/2,又BMC平面陶。，8M平面办D(2)0=(-1,2,0),而=(1,0, -2),假设平面PAD内存在一点N,使MNJ_平面PBD.设 MO, y, z),则加=(一1, y-1, z-1),仄布 MNIBD, MNtPB,A/MBQ=0,l+2(v-l)=0,即,-*- 1 -2(z- 1)=0,MNPB=0t:aa(o, 1, ),在平面玄。内存在一点/知识点五用空间向量求空间角和空间距离例题 5 长方体 ABCD-A用iGOi 中，AB=4f AO=6, 44=4,且|CP|=2,。是。的中点，求:(l)M到直线PQ的距离；(2)M到平面人所户的距离.【解析】 如图，建立
10、空间直角坐标系B-xyz,则A(4,0,0)0(0,。使 MN人平面 PBD.M是4G的中点，P在线段上, ,M(2,3,4), P(0,4,0), Q(4.6,2).(l)V0W=(-2, -3,2), gP=(-4, -2, -2),:.QM在QP上的射影的模=IQMS (2)X(4) + (3)X( 2)+2X( 2)QP/(-4)2+(-2)2+(-2)210_56 =+z=0,m =(小,1,2),设限与平面PCB的夹角为邑则sin9=|cos?，五)|=地41= : 同向I ,。=45。.故直线PA与平面PBC所成的角为45.直线与平面所成角的正弦值是直线的方向向晟与平面的法向最成角余弦值的绝对值。