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1、第第4章章 平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量、数系的扩充与复数的引入第第3课时课时平面向量的数量平面向量的数量积积及平面向量的及平面向量的应应用用举举例例 考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考温故夯基温故夯基面对高考面对高考第第3课课时时平平面面向向量量的的数数量量积积及及平平面面向向量量的的应应用用举举例例温故夯基温故夯基面对高考面对高考1数量数量积积的概念的概念(1)定定义义：已知两个非零向量：已知两个非零向量a和和b，它，它们们的的夹夹角角为为，则则_叫做叫做a与与b的数量的数量积积，记记作作ab，即，即ab _；(2)几何意几何意义义：数量：数量积积
2、ab等于等于a的的长长度与度与b在在a方方向上的投影向上的投影|b|cos的乘的乘积积|a|b|cos|a|b|cos思考感悟思考感悟向向量量的的数数量量积积是是一一个个数数量量，它它的的符符号号是是怎怎样样确确定的？定的？提提示示：当当a，b为为非非零零向向量量时时，ab的的符符号号由由夹夹角角的的余余弦弦来来确确定定：当当090时时，ab0；当当90180时时，ab0；当当a与与b至至少少有有一一个个为为零向量或零向量或90时时，ab0|a|cos|a|b|a|b|a|2ab03数量数量积积的运算律的运算律(1)abba；(2)(a)b_a(b)；(3)(ab)c_.(ab)acbcx1x
3、2y1y2x2y2x1x2y1y20考点探究考点探究挑战高考挑战高考考点突破考点突破考点突破考点突破考点一考点一平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算平平面面向向量量数数量量积积的的运运算算有有两两种种形形式式，一一是是依依据据长长度度与与夹夹角角，二二是是利利用用坐坐标标来来计计算算，具具体体应用哪种形式由已知条件的特征来选择应用哪种形式由已知条件的特征来选择例例例例1 1【思路分析思路分析】(1)作出三角形，找出向量作出三角形，找出向量夹夹角，角，利用数量利用数量积积公式求解公式求解(2)写出向量坐写出向量坐标标，代入公式求解，代入公式求解【规规律律小小结结】向向量量的的数数量量积积的的
4、运运算算结结果果是是一一个个数数量量，平平面面向向量量数数量量积积的的运运算算类类似似于于多多项项式式的的乘乘法法我我们们遇遇到到求求向向量量的的模模时时，可可先先求求向向量量模的平方，再通过向量数量积的运算求解模的平方，再通过向量数量积的运算求解互互动动探究探究若若本本例例(1)中中将将等等边边三三角角形形改改为为等等腰腰直直角角三三角角形，形，C90，又将如何求解？，又将如何求解？考点二考点二平面向量的夹角平面向量的夹角例例例例2 2【规规律律小小结结】求求向向量量的的夹夹角角时时要要注注意意：(1)向向量量的的数数量量积积不不满满足足结结合合律律；(2)数数量量积积大大于于0说说明明不不
5、共共线线的的两两向向量量的的夹夹角角为为锐锐角角，数数量量积积等等于于0说说明明两两向向量量的的夹夹角角为为直直角角，数数量量积积小小于于0且且两两向量不共向量不共线时线时两向量的两向量的夹夹角关系是角关系是钝钝角角考点三考点三两向量的平行与垂直关系两向量的平行与垂直关系向向量量的的平平行行、垂垂直直都都是是两两向向量量关关系系中中的的特特殊殊情情况况，判判断断两两向向量量垂垂直直可可以以借借助助数数量量积积公公式式如如果果已已知知两两向向量量平平行行或或垂垂直直可可以以根根据据公公式式列列方方程程(组组)求解求解 已知已知|a|4，|b|8，a与与b的的夹夹角是角是120.(1)计计算算|a
6、b|，|4a2b|；(2)当当k为为何何值时值时，(a2b)(kab)?例例例例3 3(2)若若(a2b)(kab)，则则(a2b)(kab)0，ka2(2k1)ab2b20，即即16k16(2k1)2640，k7.【方法方法总结总结】(1)非零向量非零向量ab0ab是非常是非常重要的性重要的性质质，它，它对对于解决平面几何于解决平面几何图图形中有关的形中有关的垂直垂直问题问题十分有效，十分有效，应应熟熟练练掌握掌握(2)若若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则则abx1x2y1y20.(3)ababx1y2x2y10(b0)方法感悟方法感悟方法感悟方法感悟方法技巧方法技巧1数量数量积积ab
7、中中间间的符号的符号“”不能省略，也不能不能省略，也不能用用“”来替代来替代2要熟要熟练类练类似似(ab)(satb)sa2(ts)abtb2的运算律的运算律(、s、tR)3求向量模的常用方法：利用公式求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，将，将模的运算模的运算转转化化为为向量数量向量数量积积的运算的运算4一般地，一般地，(ab)c(bc)a，即乘法的，即乘法的结结合律不成合律不成立因立因ab是一个数量，所以是一个数量，所以(ab)c表示一个与表示一个与c共共线线的向量，同理右的向量，同理右边边(bc)a表示一个与表示一个与a共共线线的向的向量，而量，而a与与c不一定共不一定共线线，故一般
8、情况下，故一般情况下(ab)c(bc)a.失失误误防范防范1零向量：零向量：(1)0与与实实数数0的区的区别别，不可写，不可写错错：0a00，a(a)00，a0 00；(2)0的方向的方向是任意的，并非没有方向，是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，与任何向量平行，我我们们只定只定义义了非零向量的垂直关系了非零向量的垂直关系2ab0不能推出不能推出a0或或b0，因，因为为ab0时时，有可能有可能ab.3abac(a0)不能推出不能推出bc，即消去律不成，即消去律不成立立考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考考情分析考情分析考情分析考情分析通过对近几年广东高考试题的分析，向量的数量通过对近几年广东
9、高考试题的分析，向量的数量积及运算律一直是高考数学的热点内容之一，对积及运算律一直是高考数学的热点内容之一，对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到整个命题过程紧扣课析几何等内容时经常用到整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接，全面考查向量的数量积及运知识的交汇与链接，全面考查向量的数量积及运算律等内容算律等内容预预测测2012年年广广东东高高考考仍仍将将以以向向量
10、量的的数数量量积积的的运运算算、向向量量的的平平行行、垂垂直直为为主主要要考考点点，以以与与三角、解析几何知三角、解析几何知识识交交汇汇命命题为题为考向考向规范解答规范解答规范解答规范解答例例例例【名名师师点点评评】本本题题考考查查了了平平面面向向量量坐坐标标的的基基本本运运算算及及平平面面向向量量的的应应用用，试试题题为为一一般般题题型型，难难度度较较小小，但但仍仍有有考考生生出出错错，其其原原因因是是犯犯了了经经验错误验错误，误误以以为为AC为为平行四平行四边边形的形的对对角角线线名师预测名师预测名师预测名师预测1设设向量向量a(1,1)，b(3,5)，则则(ab)(ab)等于等于()A(32,48)B(32，48)C(32,48)D(32，48)答案：答案：A答案：答案：B答案：答案：C4(教材教材习题习题改改编编)已知已知a(m1，3)，b(1，m1)，且，且(ab)(ab)，则则m的的值值是是_答案：答案：2本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束点此点此进进入入课课件目件目录录按按ESC键键退出全屏播放退出全屏播放谢谢谢谢使用使用