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1、9.1 9.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验一、一、问题的引出：问题的引出：非平稳变量与经典回归模型非平稳变量与经典回归模型二、二、时间序列数据的平稳性时间序列数据的平稳性三、三、平稳性的图示判断平稳性的图示判断四、四、平稳性的单位根检验平稳性的单位根检验五、五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程单整、趋势平稳与差分平稳随机过程第1页/共269页一、问题的引出：非平稳变量与经一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型典回归模型第2页/共269页常见的数据类型常见的数据类型到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有：时间序列数据（time-series data)截面数据(cro
2、ss-sectional data)平行/面板数据（panel data/time-series cross-section data)时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据第3页/共269页经典回归模型与数据的平稳性经典回归模型与数据的平稳性经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。数据非平稳，大样本下的统计推断基础“一致性”要求被破怀。经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变量第4页/共269页依概率收敛：(2)放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求：(1)X与随机扰动项 不相关 Cov(X,)=0 第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的“一致性”特性：第（1）条是OLS估计
3、的需要第5页/共269页如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势），则（2）不成立，回归估计量不满足“一致性”，基于大样本的统计推断也就遇到麻烦。因此：注意：在双变量模型中：第6页/共269页 表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性（有较高的R2)。例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。数据非平稳，往往导致出现数据非平稳，往往导致出现“虚假回虚假回归归”问题问题第7页/共269页 在现实经济生活中，实际的时间序列数据往往是非平稳的，而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或
4、下降。这样，仍然通过经典的因果关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。第8页/共269页 时间序列分析模型方法就是在这样的情况下，以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发展起来的全新的计量经济学方法论。时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内容，并广泛应用于经济分析与预测当中。第9页/共269页二、时间序列数据的平稳性二、时间序列数据的平稳性第10页/共269页定义：定义：假定某个时间序列是由某一随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列Xt（t=1,2,）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：1）均值E(XE(Xt t)=)=是与时间t
5、 无关的常数；2）方差Var(XVar(Xt t)=)=2 2是与时间t 无关的常数；3）协方差Cov(XCov(Xt t,X,Xt+kt+k)=)=k k 是只与时期间隔k有关，与时间t 无关的常数；则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。第11页/共269页 例9.1.1一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：E(XE(Xt t)=)=0 0，方差Var(XVar(Xt t)=)=2 2,Cov(XCov(Xt t,X,Xt+kt+k)=)=0 0该 序 列 常 被
6、称 为 是 一 个 白 噪 声（white noise）。符合古典回归假定的随机扰动项序列是白噪声序列 由于X Xt t具有相同的均值与方差，且协方差为零,由定义,一个白噪声序列是平稳的。第12页/共269页 例9.1.2另一个简单的随机时间序列被称为随机游走（random walk），该序列由如下随机过程生成：X t=Xt-1+t 这里，t是一个白噪声。容易知道该序列有相同的均值：E(XE(Xt t)=E(X)=E(Xt-1t-1)为了检验该序列是否具有相同的方差，假设Xt的初值为X0，则易知:第13页/共269页 X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 X3=X2+3=X0+1+2+
7、3 X Xt t=X=X0 0+1+2+t 由于X X0 0为常数，t t是一个白噪声，因此:Var(XVar(Xt t)=t)=t 2 2即Xt的方差与时间t t有关而非常数，它是一非平稳序列。第14页/共269页然而，对X X取一阶差分（first difference）:Xt=Xt-Xt-1=t由于 t t是一个白噪声，则序列 Xt是平稳的。后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。第15页/共269页事实上，随机游走过程是下面我们称之为1阶自回归AR(1)过程的特例:Xt=Xt-1+t 不难验证:1)|1时，该随机过程生成的时间序列是发散的，表现
8、为持续上升(1)或持续下降(-1)，因此是非平稳的；2)=1时，是一个随机游走过程，也是非平稳的。第16页/共269页9.2中将证明:只有当-1-1 10，样本自相关系数近似地服从以0为均值，1/n 为方差的正态分布，其中n为样本数。即rk approximately N(0,1/n)第28页/共269页检验对所有k0自相关系数都为0的联合假设，可通过如下Ljung（杨）-Box 统计量QLB进行：该统计量近似地服从自由度为m m的 2 2分布（m m为滞后长度）。即因此:如果计算的Q Q值大于显著性水平为 的临界值，则有1-1-的把握拒绝所有 k k(k0)(k0)同时为0 0的假设。第29
9、页/共269页 例9.1.39.1.3（P325P325）:表9.1.19.1.1序列Random1Random1是通过一随机过程（随机函数）生成的有1919个样本的随机时间序列。第30页/共269页第31页/共269页第32页/共269页容易验证：该样本序列的均值为0 0，方差为0.07890.0789。从图形看：它在其样本均值它在其样本均值0 0附近上下波动，附近上下波动，且样本自相关系数迅速下降到且样本自相关系数迅速下降到0 0，随后在，随后在0 0附近附近波动且逐渐收敛于波动且逐渐收敛于0 0。第33页/共269页 由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存在序列相关性，因此该序列为一白
10、噪声。根据BartlettBartlett的理论：k kN(0,1/19)0,1/19)，因此任一r rk k(k0)(k0)的95%95%的置信区间都将是:第34页/共269页可以看出:k0时，rk的值确实落在了该区间内，因此可以接受 k(k0)为0的假设。同样地，从QLB统计量的计算值看，滞后17期的计算值为26.38，未超过5%显著性水平的临界值27.58，因此,可以接受所有的自相关系数 k(k0)都为0的假设。因此，该随机过程是一个平稳过程。第35页/共269页 序列Random2Random2是由一随机游走过程 X Xt t=X=Xt-1t-1+t t生成的一随机游走时间序列样本。其
11、中，第0 0项即X X0,0,取值为0 0，t t是由Random1Random1表示的白噪声。第36页/共269页第37页/共269页 图形表示出：该序列具有相同的均值，但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速下降到0，但随着时间的推移，则在0附近波动且呈发散趋势。样本自相关系数显示：r r1 1=0.48=0.48，落在了区间-0.4497,0.4497-0.4497,0.4497之外，因此在5%5%的显著性水平上拒绝 1 1的真值为0 0的假设。该随机游走序列是非平稳的。第38页/共269页例9.1.4 检验中国支出法GDP时间序列的平稳性。表9.1.2 19782000年中国支出法GDP
12、（单位：亿元）第39页/共269页第40页/共269页 图形：表现出了一个持续上升的过程，可初步判断是非平稳的。样本自相关系数：缓慢下降，再次表明它的非平稳性。第41页/共269页 从滞后18期的QLB统计量看：QLB(18)=57.1828.86=20.05 拒绝：该时间序列的自相关系数在滞后1期之后的值全部为0的假设。结论:19782000年间中国GDP时间序列是非平稳序列。第42页/共269页例9.1.59.1.5 检验2.102.10中关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。原图 样本自相关图 第43页/共269页从图形上看：人均居民消费（CPCCPC）与人均国内生产总
13、值（GDPPCGDPPC）是非平稳的。从滞后从滞后1414期的期的QLB统计量看：统计量看：CPCCPC与与GDPPCGDPPC序列的序列的统计量计算值均为统计量计算值均为57.1857.18，超过了显著性水平为，超过了显著性水平为5%5%时的临界值时的临界值23.6823.68。再次。再次表明它们的非平稳性。表明它们的非平稳性。第44页/共269页就此来说，运用传统的回归方法建立它们的回归方程是无实际意义的。不过，9.3中将看到，如果两个非平稳时间序列是协整的，则传统的回归结果却是有意义的，而这两时间序列恰是协整的。第45页/共269页四、平稳性的单位根检验四、平稳性的单位根检验 （unit
14、 root test）第46页/共269页 1 1、DFDF检验检验 随机游走序列:Xt=Xt-1+t是非平稳的，其中 t是白噪声。而该序列可看成是随机模型:Xt=Xt-1+t中参数=1时的情形。第47页/共269页（*）式可变形为差分形式：Xt=(-1)Xt-1+t =Xt-1+t (*)检验（*）式是否存在单位根=1，也可通过（*）式判断是否有 =0。对式：Xt=Xt-1+t （*）进行回归，如果确实发现=1，就说随机变量Xt有一个单位根。第48页/共269页一般地:检验一个时间序列X Xt t的平稳性，可通过检验带有截距项的一阶自回归模型：X Xt t=+X Xt-1t-1+t t （*
15、）中的参数 是否小于1 1。或者：检验其等价变形式：X Xt t=+X Xt-1t-1+t t （*）中的参数 是否小于0 0。第49页/共269页 在第二节中将证明，（*）式中的参数 1或=1时，时间序列是非平稳的;对应于（*）式，则是 0或 =0。因此，针对式：Xt=+Xt-1+t 我们关心的检验为：零假设 H0：=0。备择假设 H1：0第50页/共269页上述检验可通过OLS法下的t检验完成。然而，在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下t统计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的t 检验无法使用。Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t统计量服从的分布（这时的t统计量称为 统
16、计量），即DF分布（见表9.1.3）。由于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零值的偏态分布。第51页/共269页 因此，可通过OLS法估计：X Xt t=+X Xt-1t-1+t t 并计算t统计量的值，与DF分布表中给定显著性水平下的临界值比较：第52页/共269页如果：t临界值，则拒绝零假设H0：=0，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。注意：在不同的教科书上有不同的描述，但是结果是相同的。例如：“如果计算得到的t统计量的绝对值大于临界值的绝对值，则拒绝 =0”的原假设，表明原序列不存在单位根，为平稳序列。第53页/共269页 问题的提出：问题的提出：在利用 X Xt t=+X Xt-1
17、t-1+t t对时间序列进行平稳性检验中，实际上假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的。但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用OLS法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关（autocorrelation），导致DF检验无效。2 2、ADFADF检验检验第54页/共269页 另外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的自相关随机误差项问题。为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和Fuller对DF检验进行了 扩 充，形 成 了 ADF（Augment
18、 Dickey-Fuller）检验。第55页/共269页 ADF ADF检验是通过下面三个模型完成的：检验是通过下面三个模型完成的：第56页/共269页模型3 中的t是时间变量，代表了时间序列随时间变化的某种趋势（如果有的话）。模型1与另两模型的差别在于是否包含有常数项和趋势项。检验的假设都是：针对H1:临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。时间T的t统计量小于ADF分布表中的临界值，因此不能拒绝不存在趋势项的零假设。需进一步检验模型2。第63页/共269页 2）经试验，模型2中滞后项取2阶：LM检验表明模型残差不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值
19、，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。常数项的t统计量小于ADF分布表中的临界值，不能拒绝不存常数项的零假设。需进一步检验模型1。第64页/共269页3)3)经试验，模型1中滞后项取2阶：LM检验表明模型残差项不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。可断定中国支出法GDP时间序列是非平稳的。第65页/共269页例9.1.7 检验2.102.10中关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。1)对中国人均国内生产总值GDPPC来说，经过偿试，三个模型的适当形式分别为：第66页/共269页第67页/
20、共269页 三个模型中GDPPCt-1的参数的估计值的t统计量均大于各自ADF分布的临界值，因此不能拒绝存在单位根的零假设。结论：人均国内生产总值（GDPPC）是非平稳的。第68页/共269页 2 2）对于人均居民消费CPC时间序列来说，三个模型的适当形式为：第69页/共269页第70页/共269页 三个模型中CPCt-1的参数估计量的t统计量的值均比ADF临界值表中各自的临界值大，不能拒绝该时间序列存在单位根的零假设。因此,可判断人均居民消费序列CPC是非平稳的。第71页/共269页五、单整、趋势平稳与差分平稳随五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程机过程第72页/共269页 随机游走序列Xt
21、=Xt-1+t经差分后等价地变形为 Xt=t，由于 t是一个白噪声，因此差分后的序列 Xt是平稳的。如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原序列是一阶单整（integrated of 1）序列，记为I(1)。一般地，如果一个时间序列经过d次差分后变成 平 稳 序 列，则 称 原 序 列 是 d 阶 单 整（integrated of d）序列，记为I(d)。单整单整第73页/共269页显然，I(0)代表一平稳时间序列。现实经济生活中:1)只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，如利率等;2)大多数指标的时间序列是非平稳的，如一些价格指数常常是2阶单整的，以不变价格表示的消费额、收入等常表
22、现为1阶单整。第74页/共269页 大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多次差分的形式变为平稳的。但也有一些时间序列，无论经过多少次差分，都不能变为平稳的。这种序列被称为非单整的（non-integrated）。第75页/共269页例9.1.8 中国支出法GDP的单整性。经过试算，发现中国支出法GDP是1阶单整的，适当的检验模型为：第76页/共269页例9.1.9 中国人均居民消费与人均国内生产总值的单整性。经过试算，发现中国人均国内生产总值GDPPC是2阶单整的，适当的检验模型为：第77页/共269页 同样地，CPC也是2阶单整的，适当的检验模型为：第78页/共269页 趋势平稳与差分平稳
23、随机过程趋势平稳与差分平稳随机过程 前文已指出，一些非平稳的经济时间序列往往表现出共同的变化趋势，而这些序列间本身不一定有直接的关联关系，这时对这些数据进行回归，尽管有较高的R2，但其结果是没有任何实际意义的。这种现象我们称之为虚假回归或伪回归（spurious regression）。第79页/共269页 如：用中国的劳动力时间序列数据与美国GDP时间序列作回归，会得到较高的R2，但不能认为两者有直接的关联关系，而只不过它们有共同的趋势罢了，这种回归结果我们认为是虚假的。为了避免这种虚假回归的产生，通常的做法是引入作为趋势变量的时间，这样包含有时间趋势变量的回归，可以消除这种趋势性的影响。第
24、80页/共269页 然而这种做法，只有当趋势性变量是确定性 的（deterministic）而 非 随 机 性 的（stochastic），才会是有效的。换言之，一个包含有某种确定性趋势的非平稳时间序列，可以通过引入表示这一确定性趋势的趋势变量，将确定性趋势分离出来。第81页/共269页 1)如果=1，=0，则（*）式成为一带位移的随机游走过程：Xt=+Xt-1+t （*）根据 的正负，Xt表现出明显的上升或下 降 趋 势。这 种 趋 势 称 为 随 机 性 趋 势（stochastic trend）。考虑如下的含有一阶自回归的随机过程：Xt=+t+Xt-1+t （*）其中:t是一白噪声，t为
25、一时间趋势。第82页/共269页2)如果=0，0，则（*）式成为一带时间趋势的随机变化过程：Xt=+t+t （*）根据 的正负，Xt表现出明显的上升或下降趋 势。这 种 趋 势 称 为 确 定 性 趋 势（deterministic trend）。3)如果=1，0，则X Xt t包含有确定性与随机性两种趋势。第83页/共269页判断一个非平稳的时间序列，它的趋势是随机性的还是确定性的，可通过ADF检验中所用的第3个模型进行。该模型中已引入了表示确定性趋势的时间变量t，即分离出了确定性趋势的影响。因此：(1)如果检验结果表明所给时间序列有单位根，且时间变量前的参数显著为零，则该序列显示出随机性趋
26、势;(2)如果没有单位根，且时间变量前的参数显著地异于零，则该序列显示出确定性趋势。第84页/共269页 随机性趋势可通过差分的方法消除随机性趋势可通过差分的方法消除例如：对式：Xt=+Xt-1+t 可通过差分变换为：Xt=+t 该时间序列称为差分平稳过程（difference stationary process）；第85页/共269页确定性趋势无法通过差分的方法消除，而确定性趋势无法通过差分的方法消除，而只能通过除去趋势项消除只能通过除去趋势项消除例如：对式：Xt=+t+t可通过除去 t变换为：Xt-t=+t该时间序列是平稳的，因此称为趋势平稳过程（trend stationary pro
27、cess）。需要说明的是，需要说明的是，趋势平稳过程代表了一个时间趋势平稳过程代表了一个时间序列长期稳定的变化过程，因而用于进行长期序列长期稳定的变化过程，因而用于进行长期预测更为可靠。预测更为可靠。第86页/共269页9.2 9.2 随机时间序列分析模型随机时间序列分析模型一、一、时间序列模型的基本概念及其适用性时间序列模型的基本概念及其适用性二、二、随机时间序列模型的平稳性条件随机时间序列模型的平稳性条件三、三、随机时间序列模型的识别随机时间序列模型的识别四、四、随机时间序列模型的估计随机时间序列模型的估计五、五、随机时间序列模型的检验随机时间序列模型的检验第87页/共269页说明说明经典
28、计量经济学模型与时间序列模型经典计量经济学模型与时间序列模型确定性时间序列模型与随机性时间序列模确定性时间序列模型与随机性时间序列模型型第88页/共269页一、时间序列模型的基本概念及一、时间序列模型的基本概念及其适用性其适用性第89页/共269页1 1、时间序列模型的基本概念、时间序列模型的基本概念时间序列模型（time series model）是指仅用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为:Xt=F(Xt-1,Xt-2,t)建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题：第90页/共269页(1)模型的具体形式(2)时序变量的滞后期(3)随机扰动项的结构 例如，取线性方程、一期
29、滞后以及白噪声随机扰动项（t=t），模型将是一个1阶自回归过程AR(1)：Xt=Xt-1+t，这里，t特指一白噪声。第91页/共269页 一般的p阶自回归过程AR(p)是 Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t (*)(1)如 果 随 机 扰 动 项 是 一 个 白 噪 声(t=t)，则称(*)式为一纯AR(p)过程（pure AR(p)process），记为:Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t 第92页/共269页(2)如果 t不是一个白噪声，通常认为它是一个q阶的移动平均（moving average）过程MA(q)：t=t-1t-1-2t-2-qt-q 该式给出了一个纯M
30、A(q)过程（pure MA(q)process）。第93页/共269页 将纯AR(p)AR(p)与纯MA(q)MA(q)结合，得到一个一般的自回归移动平均（autoregressive moving average）过程ARMA（p,q）：Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t-1t-1-2t-2-qt-q 该式表明：（1）一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过程生成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随机扰动项来解释。第94页/共269页（2）如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的行为来预测未来。这也正是随机时间序列分析模型
31、的优势所在。第95页/共269页经典回归模型的问题：迄今为止，对一个时间序列Xt的变动进行解释或预测，是通过某个单方程回归模型或联立方程回归模型进行的，由于它们以因果关系为基础，且具有一定的模型结构，因 此 也 常 称 为 结 构 式 模 型（structural model）。2 2、时间序列分析模型的适用性、时间序列分析模型的适用性第96页/共269页 然而，如果Xt波动的主要原因可能是我们无法解释的因素，如气候、消费者偏好的变化等，则利用结构式模型来解释Xt的变动就比较困难或不可能，因为要取得相应的量化数据，并建立令人满意的回归模型是很困难的。有时，即使能估计出一个较为满意的因果关系回归
32、方程，但由于对某些解释变量未来值的预测本身就非常困难，甚至比预测应变量的未来值更困难，这时因果关系的回归模型及其预测技术就不适用了。第97页/共269页例如，时间序列过去是否有明显的增长趋势，如果增长趋势在过去的行为中占主导地位，能否认为它也会在未来的行为里占主导地位？或者时间序列显示出循环周期性行为，能否利用过去的这种行为来外推它的未来走向？随机时间序列分析模型，就是要通过序列过去的变化特征来预测未来的变化趋势。另一条预测途径：通过时间序列的历史数据，得出关于其过去行为的有关结论，进而对时间序列未来行为进行推断。第98页/共269页使用时间序列分析模型的另一个原因在于：如果经济理论正确地阐释
33、了现实经济结构，则这一结构可以写成类似于ARMA(p,q)式的时间序列分析模型的形式。第99页/共269页使用时间序列分析模型的另一个原因：如果经济理论正确地阐释了现实经济结构，则这一结构可以写成类似于ARMA(p,q)的形式。例如，对于如下最简单的宏观经济模型：Ct、It、Yt分别表示消费、投资与国民收入。Ct与Yt作为内生变量，它们的运动是由作为外生变量的投资It的运动及随机扰动项 t的变化决定的。第100页/共269页上述模型可作变形如下：两个方程等式右边除去第一项外的剩余部分可看成一个综合性的随机扰动项，其特征依赖于投资项It的行为。如果It是一个白噪声，则Ct就成为一个AR(1)过程
34、，而Yt就成为一个ARMA(1,1)过程。第101页/共269页二、随机时间序列模型的平稳性条件二、随机时间序列模型的平稳性条件第102页/共269页 自回归移动平均模型（ARMA）是随机时间序列分析模型的普遍形式，自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）是它的特殊情况。关于这几类模型的研究，是时间序列分析的重点内容：主要包括模型的平稳性分析、模型的识别和模型的估计。1 1、AR(p)AR(p)模型的平稳性条件模型的平稳性条件第103页/共269页 随机时间序列模型的平稳性，可通过它所生成的随机时间序列的平稳性来判断。如果一个p阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳的，就说该AR(p)模型
35、是平稳的。否则，就说该AR(p)模型是非平稳的。第104页/共269页 考虑p阶自回归模型AR(p)Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t (*)(*)引入滞后算子（lag operator）L：LXt=Xt-1,L2Xt=Xt-2,LpXt=Xt-p(*)(*)式变换为：Xt=1LXt+2 L2Xt+p LpXt+t (1-1L-2L2-pLp)Xt=t 第105页/共269页记(L)=(1-1L-2L2-pLp),则称多项式方程：(z)=(1-1z-2z2-pzp)=0为AR(p)的特征方程(characteristic equation)。可以证明，如果该特征方程的所有根均在单位圆
36、之外（根的模大于1），则AR(p)模型是平稳的。第106页/共269页 例9.2.1 AR(1)模型的平稳性条件。对1阶自回归模型AR(1)方程两边平方再求数学期望，得到Xt的方差：由于Xt仅与 t相关，因此，E(Xt-1 t)=0。如果该模型稳定，则有E(Xt2)=E(Xt-12)，从而上式可变换为：第107页/共269页在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有|1。而AR(1)的特征方程：的根为：z=1/AR(1)稳定，即|1，意味着特征根的绝对值大于1，即特征根在单位圆之外。第108页/共269页例9.2.2 AR(2)模型的平稳性条件。对AR(2)模型：方程(1)(1)两边同乘以X
37、Xt t，再取期望得：方程(1)(1)两边同乘以t t，再取期望得：(1)(2)(3)第109页/共269页(3)(3)代入（2 2）得：方程（1 1）两边分别同乘以X Xt-1t-1、X Xt-2 t-2，再取期望得从（5 5）、（6 6）中解出1 1 、2 2，代入（4 4）得方差为：（4）（5）（6）（7）第110页/共269页 由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，于是有 1+21,2-11,|2|1 这就是AR(2)的平稳性条件，或称为平稳域。它是一顶点分别为（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形。第111页/共269页 对应的特征方程1-1-1 1z-z-2 2z z
38、2 2=0=0 的两个根z z1 1、z z2 2满足：z z1 1z z2 2=-1/=-1/2 2 ,z z1 1+z+z2 2=-=-1 1/2 2 AR(2)模型：解出 1 1，2 2：第112页/共269页由AR(2)的平稳性，|2 2|=1/(|z z1 1|z|z2 2|)1，有：于是|z z2 2|1。由 2 2-1 1 1可推出同样的结果。第113页/共269页 对高阶自回模型AR(p)来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性：(1)AR(p)模型稳定的必要条件是：1+2+p1 (2)(2)由于 i i(i=1,2
39、,(i=1,2,p)p)可正可负，AR(p)模型稳定的充分条件是：|1|+|2|+|p|1 第114页/共269页对于移动平均模型MA(q)：Xt=t-1t-1-2t-2-qt-q 其中 t是一个白噪声，于是：2、MA(q)模型的平稳性 第115页/共269页当滞后期大于q时，X Xt t的自协方差系数为0。综上，有限阶移动平均模型总是平稳的。第116页/共269页 由于ARMA(p,q)模型是AR(p)模型与MA(q)模型的组合：Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t-1t-1-2t-2-qt-q 3、ARMA(p,q)模型的平稳性 而MA(q)模型总是平稳的，因此ARMA(p,q)模
40、型的平稳性取决于AR(p)部分的平稳性。当AR(p)部分平稳时，则该ARMA(p,q)模型是平稳的，否则，ARMA(p,q)模型不是平稳的。第117页/共269页 4、总结 （1 1）一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的随机过程或模型；（2 2）一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。第118页/共269页 因此，如果我们将一个非平稳时间序列通过d d次差分，将它变为平稳的，然后用一个平稳的ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型作为它的生成模型，则说原时间序列是一个自回归单整移动平均（autoregress
41、ive integrated moving autoregressive integrated moving averageaverage）时间序列，记为ARIMA(p,d,q)ARIMA(p,d,q)。第119页/共269页 例如，一个ARIMA(2,1,2)ARIMA(2,1,2)时间序列在它成为平稳序列之前先得差分一次，然后用一个ARMA(2,2)ARMA(2,2)模型作为它的生成模型。当然，一个ARIMA(p,0,0)ARIMA(p,0,0)过程表示一个纯AR(p)AR(p)平稳过程；一个ARIMA(0,0,q)ARIMA(0,0,q)表示一个纯MA(q)MA(q)平稳过程。第120页
42、/共269页三、随机时间序列模型的识别三、随机时间序列模型的识别第121页/共269页 所谓随机时间序列模型的识别，就是对于一个平稳的随机时间序列，找出生成它的合适的随机过程或模型，即判断该时间序列是遵循一纯AR过程、纯MA过程或ARMA过程。所使用的工具主要是时间序列的自相关 函 数（autocorrelation function，ACF）及 偏 自 相 关 函 数（partial autocorrelation function，PACF）。第122页/共269页 1 1、AR(p)AR(p)过程过程 (1)(1)自相关函数自相关函数ACFACF 1阶自回归模型AR(1)：Xt=Xt-1
43、+t 的k阶滞后自协方差为：k=1,2,第123页/共269页因此，AR(1)模型的自相关函数为：k=1,2,由AR(1)的稳定性知|1，因此，k k时，呈指数形衰减，直到零。这种现象称为拖尾或称AR(1)有无穷记忆（infinite memory）。注意，0时，呈振荡衰减状。第124页/共269页 Xt=1Xt-1+2Xt-2+t 该模型的方差 0 0以及滞后1期与2期的自协方差 1 1,2 2分别为：阶自回归模型AR(2)类似地,可写出一般的k期滞后自协方差：(k=2,3,)第125页/共269页于是,AR(2)的k 阶自相关函数为：(K=2,3,)其中:0=1，1=1/(1-2)如果如果
44、AR(2)AR(2)稳定，则由稳定，则由 1 1+2 211知知|k k|衰减趋衰减趋于零，呈拖尾状。于零，呈拖尾状。至于衰减的形式，要看至于衰减的形式，要看AR(2)AR(2)特征根的实特征根的实虚性，虚性，若为实根，则呈单调或振荡型衰减，若若为实根，则呈单调或振荡型衰减，若为虚根，则呈正弦波型衰减。为虚根，则呈正弦波型衰减。第126页/共269页一般地，p阶自回归模型AR(p)：Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+tk期滞后协方差为:从而有自相关函数:第127页/共269页 可见，无论无论k k有多大，有多大，k k的计算均与其到的计算均与其到p p阶滞后的自相关函数有关阶滞后的自相
45、关函数有关，因此呈拖尾状呈拖尾状。如果如果AR(p)AR(p)是稳定的，则是稳定的，则|k k|递减且趋于零递减且趋于零。事实上，自相关函数：是一p阶广义差分方程，其通解为：第128页/共269页 其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的特征根，由AR(p)平稳的条件知，|zi|p，Xt与Xt-k间的偏自相关系数为零。AR(p)的一个主要特征是:kp时，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0 即 k*在p以后是截尾的。一随机时间序列的一随机时间序列的识别原则识别原则：若若X Xt t的的偏偏自自相相关关函函数数在在p p以以后后截截尾尾，即即kp时时，k*=0=0，而而它它的的自自相相关关
46、函函数数 k是是拖拖尾尾的的，则则此此序序列是列是AR(p)AR(p)序列。序列。第133页/共269页 在实际识别时，由于样本偏自相关函数r rk k*是总体偏自相关函数 k k*的一个估计，由于样本的随机性，当kp时，r rk k*不会全为0，而是在0的上下波动。但可以证明，当kp时，r rk k*服从如下渐近正态分布:rk*N(0,1/n)式中n表示样本容量。需指出的是，第134页/共269页我们就有95.5%的把握判断原时间序列在p p之后截尾。因此，如果计算的rk*满足：第135页/共269页 对MA(1)过程：2、MA(q)MA(q)过程过程 可容易地推导出它的自协方差系数：于是，
47、MA(1)过程的自相关函数为：第136页/共269页可见，当k1时，k=0，即Xt与Xt-k不相关，MA(1)自相关函数是截尾的。MA(1)过程可以等价地写成 t关于无穷序列Xt，Xt-1，的线性组合的形式：或：（*）(*)是一个AR(AR()过程，它的偏自相关函数非截尾但却趋于零，因此MA(1)MA(1)的偏自相关函数是的偏自相关函数是非截尾但却趋于零的。非截尾但却趋于零的。第137页/共269页 注意:(*)式只有当|1时才有意义，否则意味着距X Xt t越远的X值，对X Xt t的影响越大，显然不符合常理。因此，我们把把|1|q时，Xt与Xt-k不相关，即存在截尾现象，因此，当kq时，k
48、 k=0是MA(q)的一个特征。于是：可可以以根根据据自自相相关关系系数数是是否否从从某某一一点点开开始一直为始一直为0 0来判断来判断MA(q)MA(q)模型的阶。模型的阶。与MA(1)相仿，可以验证MA(q)过程的偏自相关函数是非截尾但趋于零的。第140页/共269页 MA(q)模型的识别规则：若随机序列的自相若随机序列的自相关函数截尾，即自关函数截尾，即自q q以后，以后，k k=0=0（kqkq）；而它）；而它的偏自相关函数是拖尾的，则此序列是的偏自相关函数是拖尾的，则此序列是MA(q)MA(q)序序列。列。同样需要注意的是：在实际识别时，由于样本自相关函数r rk k是总体自相关函数
49、 k k的一个估计，由于样本的随机性，当kq时，r rk k不会全为0，而是在0的上下波动。但可以证明，当kq时，r rk k服从如下渐近正态分布:第141页/共269页rkN(0,1/n)式中n表示样本容量。因此，如果计算的rk满足：我们就有就有95.5%95.5%的把握判断原时间序列在的把握判断原时间序列在q q之后之后截尾截尾。第142页/共269页 ARMA(p,q)的自相关函数，可以看作MA(q)的自相关函数和AR(p)的自相关函数的混合物。当p=0时，它具有截尾性质；当q=0时，它具有拖尾性质；当p、q都不为0时，它具有拖尾性质3 3、ARMA(p,q)ARMA(p,q)过程过程
50、第143页/共269页从识别上看，通常：ARMA(p，q)过程的偏自相关函数（PACF）可能在p阶滞后前有几项明显的尖柱（spikes），但从p阶滞后项开始逐渐趋向于零；而它的自相关函数（ACF）则是在q阶滞后前有几项明显的尖柱，从q阶滞后项开始逐渐趋向于零。第144页/共269页第145页/共269页第146页/共269页第147页/共269页第148页/共269页四、随机时间序列模型的估计四、随机时间序列模型的估计第149页/共269页 AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模 型 的估计方法较多，大体上分为3类：（1）最小二乘估计；（2）矩估计；（3）利用自相关函数的直接估计。下面有