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1、计量经济学第八章时间序列计量经济学模型1现在学习的是第1页，共27页8.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验8.2 随机时间序列分析模型随机时间序列分析模型8.3 协整与误差修正模型协整与误差修正模型第八章第八章 时间序列计量经济学模型时间序列计量经济学模型现在学习的是第2页，共27页一、时间序列模型的基本概念及其适用性一、时间序列模型的基本概念及其适用性二、随机时间序列模型的平稳性条件二、随机时间序列模型的平稳性条件三、随机时间序列模型的识别三、随机时间序列模型的识别8.2 8.2 随机时间序列分析模型随机时间序列分析模型现在学习的是第3页，共27页1 1、时间序列模型的基本
2、概念、时间序列模型的基本概念 随随机机时时间间序序列列模模型型（time series modeling）是指仅用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为 Xt=F(Xt-1,Xt-2,t)建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题：(1)模型的具体形式模型的具体形式 (2)时序变量的滞后期时序变量的滞后期 (3)随机扰动项的结构随机扰动项的结构 例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动项（t=t），模型将是一个1阶自回归过程阶自回归过程AR(1)：Xt=Xt-1+t这里，t特指一白噪声一白噪声。一、时间序列模型的基本概念及其适用性一、
3、时间序列模型的基本概念及其适用性现在学习的是第4页，共27页 一般的p阶自回归过程阶自回归过程AR(p)是 Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t (*)(1)如果随机扰动项是一个白噪声(t=t)，则称(*)式为一纯纯AR(p)过程（过程（pure AR(p)process），记为 Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t (2)如果t不是一个白噪声，通常认为它是一个q阶的移移动动平平均均（moving average）过程）过程MA(q)：t=t-1t-1-2t-2-qt-q 该式给出了一个纯纯MA(q)过程（过程（pure MA(p)process）。一、时间序列模型的基本概念及
4、其适用性一、时间序列模型的基本概念及其适用性现在学习的是第5页，共27页 将纯AR(p)与纯MA(q)结合，得到一个一般的自回归移动平均自回归移动平均（autoregressive moving average）过程）过程ARMA（p,q）：Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t-1t-1-2t-2-qt-q 该式表明：该式表明：（1）一一个个随随机机时时间间序序列列可可以以通通过过一一个个自自回回归归移移动动平平均均过过程程生生成成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随机扰动项来解释。（2）如如果果该该序序列列是是平平稳稳的的，即它的行为并不会随着时间的推移而变化，那么我们就可以通
5、过该序列过去的行为来预测未来。那么我们就可以通过该序列过去的行为来预测未来。这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。一、时间序列模型的基本概念及其适用性一、时间序列模型的基本概念及其适用性现在学习的是第6页，共27页 经典回归模型的问题：经典回归模型的问题：迄迄今今为为止止，对一个时间序列Xt的变动进行解释或预测，是通过某个单方程回归模型或联立方程回归模型进行的，由于它们以因果关系为基础，且具有一定的模型结构，因此也常称为结结构式模型（构式模型（structural model）。然然而而，如果Xt波动的主要原因可能是我们无法解释的因素，如气候、消费者偏好的变化等，则利用结构式模型来解释Xt的
6、变动就比较困难或不可能，因为要取得相应的量化数据，并建立令人满意的回归模型是很困难的。有有时时，即使能估计出一个较为满意的因果关系回归方程，但由于对某些解释变量未来值的预测本身就非常困难，甚至比预测被解释变量的未来值更困难，这时因果关系的回归模型及其预测技术就不适用了。2 2、时间序列分析模型的适用性、时间序列分析模型的适用性现在学习的是第7页，共27页 例例如如，时时间间序序列列过过去去是是否否有有明明显显的的增增长长趋趋势势，如果增长趋势在过去的行为中占主导地位，能否认为它也会在未来的行为里占主导地位呢？或者时时间间序序列列显显示示出出循循环环周周期期性性行行为为，我们能否利用过去的这种行
7、为来外推它的未来走向？随随机机时时间间序序列列分分析析模模型型，就就是是要要通通过过序序列列过过去去的的变变化化特特征征来来预预测未来的变化趋势测未来的变化趋势。使用时间序列分析模型的另一个原因在于使用时间序列分析模型的另一个原因在于：如果经济理论正确地阐释了现实经济结构，则这一结构可以写成类似于ARMA(p,q)式的时间序列分析模型的形式。在这些情况下，我们采用另一条预测途径在这些情况下，我们采用另一条预测途径：通过时间序列的历史数据，得出关于其过去行为的有关结论，进而对时间序列未来行为进行推断。现在学习的是第8页，共27页 例如，例如，对于如下最简单的宏观经济模型：这里，Ct、It、Yt分
8、别表示消费、投资与国民收入。Ct与与Yt作作为为内内生生变变量量，它它们们的的运运动动是是由由作作为为外外生生变变量量的投资的投资It的运动及随机扰动项的运动及随机扰动项 t的变化决定的。的变化决定的。现在学习的是第9页，共27页上述模型可作变形如下：两个方程等式右边除去第一项外的剩余部分可看成一个综合性的随机扰动项，其特征依赖于投资项It的行为。如如果果It是是一一个个白白噪噪声声，则消费序列Ct就成为一个1阶阶自自回回归归过过程程AR(1)，而收入序列Yt就成为一个(1,1)阶的自回归移动平均过程阶的自回归移动平均过程ARMA(1,1)。现在学习的是第10页，共27页 自回归移动平均模型（
9、ARMA）是随机时间序列分析模型的普遍形式，自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）是它的特殊情况。关于这几类模型的研究，是时时间间序序列列分分析析的的重重点点内内容容：主主要要包包括括模型的平稳性分析模型的平稳性分析、模型的识别和模型的估计模型的识别和模型的估计。1 1、AR(p)AR(p)模型的平稳性条件模型的平稳性条件 随随机机时时间间序序列列模模型型的的平平稳稳性性，可可通通过过它它所所生生成成的的随随机机时时间间序序列列的的平稳性来判断平稳性来判断。如如果果一个p阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳的，就说该AR(p)模型是平稳的，否则否则，就说该AR(p)模型是非平稳的。一、
10、随机时间序列的平稳性条件一、随机时间序列的平稳性条件现在学习的是第11页，共27页 对于移动平均模型MR(q)：Xt=t-1t-1-2t-2-qt-q 其中t是一个白噪声，于是 2、MA(q)模型的平稳性模型的平稳性 当滞后期大于q时，Xt的自协方差系数为0。因此:有限阶移动平均模型总是平稳的有限阶移动平均模型总是平稳的。现在学习的是第12页，共27页 由于ARMA(p,q)模型是AR(p)模型与MA(q)模型的组合：Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t-1t-1-2t-2-qt-q 3、ARMA(p,q)模型的平稳性模型的平稳性 而而MA(q)模型总是平稳的，因此模型总是平稳的，因此
11、ARMA(p,q)模型的平稳性取决模型的平稳性取决于于AR(p)部分的平稳性。部分的平稳性。当当AR(p)部分平稳时，则该部分平稳时，则该ARMA(p,q)模型是平稳的，否则，模型是平稳的，否则，不是平稳的。不是平稳的。现在学习的是第13页，共27页 最后最后 （1 1）一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的随机过程）一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的随机过程或模型；或模型；（2 2）一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的方法将）一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时间序列也可找出对应的平它变换为平稳的，对差分后平稳的时间序列也可找出对
12、应的平稳随机过程或模型。稳随机过程或模型。因此，如果我们将一个非平稳时间序列通过因此，如果我们将一个非平稳时间序列通过d d次差分，将它变次差分，将它变为平稳的，然后用一个平稳的为平稳的，然后用一个平稳的ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型作为它的生成模型，模型作为它的生成模型，则我们就说该原始时间序列是一个自回归单整移动平均则我们就说该原始时间序列是一个自回归单整移动平均（autoregressive integrated moving averageautoregressive integrated moving average）时间序列，记）时间序列，记为为ARIMA(p,d,q)A
13、RIMA(p,d,q)。例如，一个例如，一个ARIMA(2,1,2)ARIMA(2,1,2)时间序列在它成为平稳序列之前先得差分时间序列在它成为平稳序列之前先得差分一次，然后用一个一次，然后用一个ARMA(2,2)ARMA(2,2)模型作为它的生成模型的。模型作为它的生成模型的。当然，一个当然，一个ARIMA(p,0,0)ARIMA(p,0,0)过程表示了一个纯过程表示了一个纯AR(p)AR(p)平稳过程；一平稳过程；一个个ARIMA(0,0,q)ARIMA(0,0,q)表示一个纯表示一个纯MA(q)MA(q)平稳过程。平稳过程。现在学习的是第14页，共27页 所所谓谓随随机机时时间间序序列列
14、模模型型的的识识别别，就是对于一个平稳的随机时间序列，找出生成它的合适的随机过程或模型，即判断该时间序列是遵循一纯AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程。所所使使用用的的工工具具主要是时间序列的自自相相关关函函数数（autocorrelation function，ACF）及偏偏自自相相关关函函数数（partial autocorrelation function，PACF）。三、随机时间序列的识别三、随机时间序列的识别现在学习的是第15页，共27页识别原则一随机时间序列的识别原则：一随机时间序列的识别原则：若若XtXt的的偏偏自自相相关关函函数数在在p p以以后后截截尾尾，即即kp时时
15、，k*=0=0，而而它它的的自自相相关关函函数数 k是是拖拖尾尾的的，则则此此序序列是自回归列是自回归AR(p)AR(p)序列。序列。若随机序列的自相关函数截尾，即自若随机序列的自相关函数截尾，即自q q以后，以后，k k=0=0（kqkq）；而它的偏自相关函数是拖尾的，）；而它的偏自相关函数是拖尾的，则此序列是滑动平均则此序列是滑动平均MA(q)MA(q)序列。序列。16现在学习的是第16页，共27页 ARMA(p,q)的自相关函数的自相关函数，可以看作MA(q)的自相关函数和AR(p)的自相关函数的混合物。当当p=0时，它具有截尾性质时，它具有截尾性质；当当q=0时，它具有拖尾性质；时，它
16、具有拖尾性质；当当p、q都不为都不为0时，它具有拖尾性质时，它具有拖尾性质 从识别上看，通常：从识别上看，通常：ARMA(p，q)过程的偏自相关函数（过程的偏自相关函数（PACF）可能在）可能在p阶滞后前有阶滞后前有几项明显的尖柱（几项明显的尖柱（spikes），但从），但从p阶滞后项开始逐渐趋向于零；阶滞后项开始逐渐趋向于零；而它的自相关函数（而它的自相关函数（ACF）则是在）则是在q阶滞后前有几项明显的尖柱，阶滞后前有几项明显的尖柱，从从q阶滞后项开始逐渐趋向于零。阶滞后项开始逐渐趋向于零。现在学习的是第17页，共27页现在学习的是第18页，共27页现在学习的是第19页，共27页现在学习的
17、是第20页，共27页现在学习的是第21页，共27页一、长期均衡关系与协整一、长期均衡关系与协整经经典典回回归归模模型型（classical regression model）是建立在稳定数据变量基础上的，对于非稳定变量，不能使用经典回归模型，否则会出现虚假回归虚假回归等诸多问题。由于许多经济变量是非稳定的，这就给经典的回归分析方法带来了很大限制。但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，即即它它们们之之间间是是协协整整的的（cointegration)，则则是可以使用经典回归模型方法建立回归模型的。例如，中国居民人均消费水平与人均例如，中国居民人均消费水平与人均GDPGDP变量的例子中：变量的例子
18、中：因果关系回归模型要比因果关系回归模型要比ARMAARMA模型有更好的预测功能，模型有更好的预测功能，其其原原因因在在于于，从经济理论上说，人均GDP决定着居民人均消费水平，而且它们之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的（cointegration）。现在学习的是第22页，共27页 经经济济理理论论指指出出，某些经济变量间确实存在着长期均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述 1 1、长期均衡、长期均衡式中:t是随机扰动项。该均衡关
19、系意味着该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的均衡值也随之确定为0+1X。现在学习的是第23页，共27页在在t-1期末，存在下述三种情形之一：期末，存在下述三种情形之一：（1）Y等于它的均衡值：Yt-1=0+1Xt；（2）Y小于它的均衡值：Yt-1 0+1Xt；在时期t，假设X有一个变化量Xt，如果变量X与Y在时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，则Y的相应变化量由式给出:式中，vt=t-t-1。现在学习的是第24页，共27页 实际情况往往并非如此实际情况往往并非如此 如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即Y的值小于其均衡值，则Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化Yt大一些；反之
20、，如果Y的值大于其均衡值，则Y的变化往往会小于第一种情形下的Yt。可可见见，如如果果Yt=0+1Xt+t正正确确地地提提示示了了X与与Y间间的的长长期期稳稳定定的的“均均衡衡关关系系”，则则意意味味着着Y对对其其均均衡衡点点的的偏偏离离从从本本质质上上说说是是“临时性临时性”的。的。因此，一一个个重重要要的的假假设设就就是是:随随机机扰扰动动项项 t t必必须须是是平平稳稳序序列。列。显然，如果 t t有随机性趋势（上升或下降），则会导致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被消除。现在学习的是第25页，共27页 式Yt=0+1Xt+t中的随机扰动项也被称为非均衡误差非均衡误差（dis
21、equilibrium error），它是变量X与Y的一个线性组合：(*)因此，如果Yt=0+1Xt+t式所示的X与Y间的长期均衡关系正确的话，（*）式表述的非均衡误差应是一平稳时间序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。从从这这里里已已看看到到，非非稳稳定定的的时时间间序序列列，它它们们的的线线性性组组合合也也可可能能成成为为平稳的。平稳的。例例如如：假设Yt=0+1Xt+t式中的X与Y是I(1)序列，如果该式所表述的它们间的长期均衡关系成立的话，则意味着由非均衡误差（*）式给出的线性组合是I(0)序列。这时我们称称变变量量X与与Y是协整的（是协整的（cointegrated）
22、。）。现在学习的是第26页，共27页协整的定义：协整的定义：两个或多个非平稳时间序列的线性组合序列可能是平稳的，假如这样一种平稳的或I(0)(零阶单整序列)的线性组合存在，那么这些非平稳时间序列之间就被认为是具有协整关系的协整协整 在中国居民人均消费与人均在中国居民人均消费与人均GDP的例中的例中，该两序列都是2阶单整序列，而且可以证明它们有一个线性组合构成的新序列为0阶单整序列，于是认为该两序列是(2,2)阶协整。由此可见由此可见:如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能协整。协整。现在学习的是第27页，共27页