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1、一、数系的扩充和复数的概念1.复数的概念形如a+bi(a,bR)的数叫做复数,通常记为z=a+bi(复数的代数形式),其中i叫虚数单位(i2=-1),a叫实部,b叫虚部,数集C=a+bi|a,bR叫做复数集.第1页/共42页2.复数的分类(1)(2)集合表示:第2页/共42页3.复数相等的充要条件a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d(a,b,c,dR).4.复平面建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面.x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示非纯虚数.第3页/共42页5.复数的几何意义(1)复数z=a+bi 复平面内
2、的点Z(a,b)(a,bR);(2)复数z=a+bi 平面向量 (a,bR).6.复数的模向量 的模r叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=r=(r0,rR,a,bR).第4页/共42页【辨析】复数、复平面内的点、复平面内的向量 任意一个复数都可以由它的实部和虚部唯一确定,当把实部、虚部看成有序数对时就对应复平面内的一个点,每一个点都对应一个以原点为起点,以该点为终点的向量,所以复数、复平面内的点、复平面内的向量是统一的.第5页/共42页二、复数代数形式的四则运算1.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c
3、,dR),则加法加法z z1 1+z+z2 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i减法减法z z1 1-z-z2 2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i乘法乘法z z1 1 z z2 2=(a+bi)=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i除法除法第6页/共42页(2)对复数运算法则的认识.复数代数形式的加减运算,其运算法则是对它们的实部与虚部分别进行加减运算,在运算过程中应注意分清每一
4、个复数的实部与虚部.复数加法法则的合理性:()当b=0,d=0时,与实数加法法则一致.()加法交换律和结合律在复数集中仍成立.()符合向量加法的平行四边形法则.第7页/共42页(3)复数满足的运算律:复数的加法满足交换律、结合律,即对任意z1,z2,z3C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律,即对任意z1,z2,z3C,有z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.第8页/共42页(4)复数加减法的几何意义.复数加法的几何意义:复数的加法可以按照向量的加法来进
5、行(满足平行四边形、三角形法则).复数的减法运算也可以按向量的减法来进行.第9页/共42页2几个重要的结论(1)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2).(2)z =|z|2=|2.(3)若z为虚数,则|z|2z2.(4)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,nN*.第10页/共42页3.共轭复数的性质复数z=a+bi的共轭复数 =a-bi.(1)z R.(2)=z.(3)任一实数的共轭复数仍是它本身;反之,若z=则z是实数.(4)共轭复数对应的点关于实轴对称.4.巧用向量解复数问题复数的加减运算可转化为向量的加减运算.第11页/共42页 请你
6、根据下面的体系图快速回顾本章内容,从备选答案中选择准确选项,填在图中的相应位置,构建出清晰的知识网络吧.第12页/共42页第13页/共42页一、复数的概念与分类 形如a+bi(a,bR)的数,称为复数,所有复数构成的集合称复数集,通常用C来表示.设z=a+bi(a,bR),则(1)z是虚数b0;(2)z是纯虚数 ;(3)z是实数b=0.第14页/共42页【例1】(2012无锡高二检测)已知复数z=m(m+1)+mi,i为虚数单位,mR.(1)当复数z为纯虚数时,求m的值;(2)当复数z在复平面上的对应点在第二、四象限角平分线上时,求m的值;(3)若(1+i)z=1+3i,求|z|.第15页/共
7、42页【解析】(1)由题意得 m=-1,当m=-1时,z是纯虚数.(2)由题意得m2+m=-m,解得m=0或m=-2.(3)(1+i)z=1+3i,|(1+i)z|=|1+3i|,|z|=|z|=第16页/共42页二、复数的四则运算 复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除,加减法是对应实部、虚部相加减,而乘法类比多项式乘法,除法类比根式的分母有理化,要注意i2=-1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1,(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=-i,=i.第17页/共42页【例2】计算:(1)(2)【解析】(1)原式=(2)原式第18页/共42页【例3】已知复数z
8、 zai(aR),当|时,求a的取值范围第19页/共42页【解析】zai1iai1(a1)i,a22a20,1 a1故a的取值范围是1 1 第20页/共42页三、复数的几何意义及数形结合思想的应用 复数z=a+bi(a,bR)和复平面上的点Z(a,b)一一对应,和向量 一一对应,复数z对应的点所在象限由z的实部和虚部的符号确定,正确的求出复数的实部和虚部,是解决此类问题的关键.复数的几何意义为数形结合解决复数问题提供了条件,灵活运用数形结合思想可达到事半功倍的效果.运用数形结合的思想,挖掘题目中知识的多功能因素,使问题出奇制胜地得到解决.第21页/共42页【例4】已知复数z满足z-3-4i=2
9、,则z的最大值为_.【解析】z-3-4i=2表示复平面内动点Z的轨迹是以点(3,4)为圆心,以2为半径的圆,所以zmax=5+2=7.答案:7第22页/共42页【例5】已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.【解析】设z=x+yi(x,yR),则z+2i=x+(y+2)i,由题意知 z=4-2i.第23页/共42页(z+ai)2=4+(a-2)i2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,由已知得 2a6,实数a的取值范围是(2,6).第24页/共42页四、复数的模与共轭复数 若z=a+bi(a,bR),则 =a-b
10、i称为z的共轭复数,复数的模与复数的代数形式紧密相关,复数模的计算也可以转化为复数的乘积,即:z =|z|2.第25页/共42页【例6】使复数为实数的充分而不必要条件是()(A)z=(B)|z|=z(C)z2为实数 (D)z+为实数【解析】选B.z=zR;|z|=zzR,反之不行,如z=-2;z2为实数不能推出zR,如z=i;对于任意z,z+都是实数.第26页/共42页【例7】已知 z2=(x2+a)i,对于任意xR,均有|z1|z2|成立,试求实数a的取值范围【解析】|z1|z2|,x4+x2+1(x2+a)2,(1-2a)x2+(1-a2)0对xR恒成立当1-2a=0,即a=时,不等式成立
11、;当1-2a0时,-1a综上,a(-1,第27页/共42页五、复数中的轨迹问题 通过引入参变量架起已知通向未知的桥梁,这样,把问题转化为对参变量的讨论.这种方法运用的巧妙,可以达到化难为易、化繁为简、化生为熟、化未知为已知的效果.第28页/共42页【例8】已知复数z11,且 是纯虚数,复数求复数z在复平面内对应的点的轨迹.【解析】设 =bi(bR,b0),则z1=-1,z=(1-bi)2=1-b2-2bi.设z=x+yi(x,yR),得 消去b得,y2=-4(x-1)(x1),即复数z对应的点的轨迹为抛物线(除去顶点).第29页/共42页【例9】已知z=t+3+3 i,其中tC,且 为纯虚数(
12、1)求t的对应点的轨迹;(2)求|z|的最大值和最小值第30页/共42页【解析】(1)设t=x+yi(x,yR),则 为纯虚数,即t的对应点的轨迹是以原点为圆心,3为半径的圆,并除去(-3,0)(3,0)两点.第31页/共42页(2)由t的轨迹可知,|t|=3,|z-(3+3 i)|=3,圆心对应3+3 i,半径为3,|z|的最大值为|3+3 i|+3=9,|z|的最小值为|3+3 i|-3=3第32页/共42页1.(2012浙江高考)已知i是虚数单位,则 =()(A)1-2i (B)2-i (C)2+i (D)1+2i【解析】选D.第33页/共42页2.已知|z|3,且z3i是纯虚数,则z(
13、)(A)3i (B)3i (C)3i (D)4i【解析】选B.令zabi(a,bR),则a2b29,又z3ia(3b)i是纯虚数,由得a0,b3,z3i,故应选B.第34页/共42页3.复数zxyi(x,yR)满足|z4i|z2|,则2x4y的最小值为()(A)2 (B)4 (C)4 (D)8【解析】选C.|z4i|z2|,且zxyi,|x(y4)i|x2yi|,x2(y4)2(x2)2y2,x2y3,2x4y22y34y8 4y第35页/共42页4.满足条件|z+i|+|zi|=4的复数z在复平面上对应点的轨迹是()(A)一条直线 (B)两条直线(C)圆 (D)椭圆【解析】选D.复数z在复平
14、面上对应点到定点(0,1),(0,-1)的距离之和为定值4,故对应点的轨迹是椭圆.第36页/共42页5.(2012东城高二检测)若复数(1+ai)(2+i)=3-i,则实数a的值为_.【解析】(1+ai)(2+i)=3-i,(2-a)+(2a+1)i=3-i,a=-1.答案:-1第37页/共42页6.已知复数(x-2)+yi(x,yR)的模为 求 的最大值【解析】|x-2+yi|=(x-2)2+y2=3,故(x,y)在以C(2,0)为圆心,为半径的圆上,表示圆上的点(x,y)与点(-1,-1)连线的斜率如图,由平面几何知识,易知 的最大值为第38页/共42页第39页/共42页第40页/共42页第41页/共42页感谢您的观看!第42页/共42页