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1、第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念 3 L 1数系的扩充和复数的概念教学目标：1 .知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位2 .过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律.3 .情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚 数、实部、虚部理解并掌握复数相等的有关概念.教学重点：复数的概念，虚数单位/,复数的分类（实数、虚数、纯虚数）和复数相等等概念 是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用.教学难点：虚数单位，的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单 位，并同时规定
2、了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定，的第二条性质时，原有的加、 乘运算律仍然成立*教具准备：多媒体、实物投影仪教学设想：生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说, 也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除 的矛盾.，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.教学过程：学生探究过程：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等 劳动中，由于计数的需要，就产生了 1, 2, 3, 4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全 体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念
3、也得到发展.为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各 种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数 集Q.显然NWQ.如果把自然数集（含正整数和0）与负整数集合并在一起，构成整数集Z,则 有ZWQ、NWZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集.有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有 理数表示，为了解决这个矛盾，人们乂引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有 理数集与无理数集合并在起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数（包括整数、有 限小数），无理数都
4、是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集.因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解 决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛 盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数 集扩到实数集R以后，像这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于一 1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i,叫做虚数单位.并由此产生的了复数.讲解新课：1.虚数单位i:（1）它的平方等于-1,即/2=-1（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2. i与-1的关系：i
5、就是一1的一个平方根，即方程1的一个根，方程1的 另一个根是一i!3. i 的周期性：z4n+l=i, /4n+2=-1, z4n+3=-i, /4n=L4. 复数的定义：形如。+从（。,/?）的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全 体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*.3 .复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z = a + （a/R）,把复数表示成万 的形式，叫做复数的代数形式.4 .复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数当且仅当斤0 时，复数。+初3、R）是实数；当8W0时，复数z=a+i叫做虚数；当折0且W0时， z=叫做纯虚数；当且仅当。=氏0时，z就是实数0.（0
6、正实数，上n是实数a非纯虚数的虚数5 .复数集与其它数集之间的关系：NWZ卸美R星C6 .两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个 复数相等.这就是说，如果 a, b, c, dR,那么 a+Z?i=c+dia=c, b-cL复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据.一般地，两个复数只能 说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5/与4+3，不能比较大小.现有一个命题：“任何两个发数都不能比较大小”对吗？不对,如果两个复数都是实数, 就可以比较大小.只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小.例1请说出复数2 + 3。-3 +工。一工，,一6 一石，的实
7、部和虚部，有没有纯虚数? 23答：它们都是虚数，它们的实部分别是2, 3, 0, 一JG;虚部分别是3,23-6;一i是纯虚数. 3例2复数一2H3.14的实部和虚部是什么？ 答：实部是3.14,虚部是一2.易错为：实部是一2,虚部是3.14!例3 (课本例1)实数?取什么数值时，复:数z=/+1+(L1),是：(1)实数？(2)虚数？ (3)纯虚数？分析因为mR，所以加+1, ?一1都是实数，由复数z=a+机是实数、虚数和纯虚 数的条件可以确定用的值.解：(1)当?一1=0,即加 =1时，复数z是实数;(2)当71W0,即?#1时，复数z是虚数；(3)当3+1=0,且 ?一1W0时，即?=1
8、时，复数z是纯虚数.例 4 已知(2r 1 )+i=y (3 y)i,其中 X, y R,求，与 y.2x-l = y,5解：根据复数相等的定义，得方程组/ ,所以下一，y=4.U = -(3-y)2 -巩固练习：1 .设集合C=复数), A=实数,纯虚数,若全集S=C,则下列结论正确的是()A.A U B=C B. CSA=B C.AH CsB=0 D.BU C产C2 .复数(21+5入-+2)+(/+x-2)j为虚数，则实数x满足()Ar= B.x=-2 或一 C.xK 2D/KI 且xW222 .已知集合 M= 1 2, (m23/nl)+(m25m6)i)f 集合 P= -1 3) .
9、MCiP= 3, 则实数?的值为()A.-I B.-l 或4C.6D.6 或一 I3 .满足方程a22x3+(9)26y+l)i=0的实数对(x, y)表示的点的个数是.4 .复数 Z=a+ I b I i, Z2=c+ I d I i(a、b、c、dR),则 zi=Z2 的充要条件是.5 .设复数 z=log2Q，F 3m3)+ilog2(3,)(? R),如果 z 是纯虚数，求 rn 的值.6 .若方程+(+2，.+(2+/山户0至少有一个实数根，试求实数小的值.7 .已知? R,复数z= ?)+(m2+2?-3)i,当m为何值时，m-(l)zR;(2)z 是虚数：(3)z 是纯虚数；(4
10、)z=+4i.2答案：l.D 2.D 3.解析：由题设知 3M,nr3ni 1 +(nr5m6)/=3nr - 3/?z-1=3f m = 4或机=-1,sm= 1,故选 A.m - 5m-6 = 0m = 6或团=-l4.解析：由题意知x2-2x-3 = 0, 9y2 -6y +1 =0,x = 3cx = -11y = -3点对有(3,1)，(-1, 1)共有2个.答案：2 335.解析：Z1=Z2=a=c且=，尸.答案：=c且/=才m2 - 3m-3 = 1，, 3 加工13 ？0m2 - 3m-3 = 1，, 3 加工13 ？01| 昨 Mllog, (/ - 3z - 3) = 0,
11、6.解:由题意知4 62log 2(3- 7)。0，m -3at?-4 = 0 。7? = 4或机=-1:.1 rm= - 1.tn w 2且? 33且?工 2、x + 优 + 2 = 07 .解：方程化为(.广+/“+2)+(2+1)，=0.，2x + ？ = 0户一耳.丹宁+ 2 =。，2收m + 2m-3 = 0,8 .解：(I)机须满足，解之得：?=3./%一 1二1.(2)/n 须满足尸+2?一3#0 且 m IW0,解之得：mW 1 且 mW 3.?(? +2) =U, (3)in须满足 m 1解之得：/0或m=2.m2 + 2加一3 Ho.m(m + 2) _ 1(4)，须满足，
12、m-2 解之得：小 0m2 + 2m-3 = 4.课后作业：课本第106页 习题3.11,2,3教学反思：这节课我们学习了虚数单位，及它的两条性质，系数的定义、实部、虚部及有关分类问 题，复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实 数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们 采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要， 也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史 和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚 数的概念、复数的概念、复数的分类.