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1、考向 1 圆锥曲线中的定点问题【典例1】(2012福建高考)如图,等边三角形OAB的边长为 ,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p0)上.(1)求抛物线E的方程.(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.第1页/共79页【思路点拨】(1)利用等边三角形边长为 及抛物线的性质确定出点B的坐标，从而用待定系数法求出p.(2)设出P点坐标，建立直线l的方程，与y=-1联立求得Q点坐标，再设以PQ为直径的圆恒过y轴上的点M(0,y1)，根据0恒成立，求出y1为常数得证，或对P点坐标取特殊值，先研究出以PQ为直径的圆与y轴交于的定点，再证
2、明与变量无关.第2页/共79页【规范解答】(1)依题意，OB ,BOy=30.设B(x,y)，则x=|OB|sin 30 ，y=|OB|cos 3012，所以B(,12).因为点B在x2=2py上，所以 解得p=2.故抛物线E的方程为x2=4y.第3页/共79页(2)由(1)知设P(x0,y0)(x00)，且l的方程为即 由得 所以第4页/共79页方法一：设以PQ为直径的圆与y轴的一个交点为M(0，y1)，令 对满足 的x0,y0恒成立.由得即(y12+y1-2)+(1-y1)y0=0 (*)由于(*)式对满足 的y0恒成立，所以解得y1=1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).第
3、5页/共79页方法二：取x0=2,此时P(2,1),Q(0,-1),以PQ为直径的圆为(x-1)2+y2=2,交y轴于点M1(0，1)或M2(0，-1)；取x0=1,此时以PQ为直径的圆为交y轴于M3(0,1)或故若满足条件的M存在，是M(0，1).以下证明点M(0，1)就是所要求的点，第6页/共79页因为故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1).第7页/共79页【拓展提升】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.第
4、8页/共79页【变式训练】(2013淮南模拟)在平面直角坐标系中，已知向量a=(x,y)，b=(x,ky-4)(kR),ab,动点P(x,y)的轨迹为T.(1)求轨迹T的方程，并说明该方程表示的曲线的形状.(2)当k=0时，过点F(0，1)作轨迹T的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，试判断直线MN是否过定点？并说明理由.第9页/共79页【解析】(1)ab,ab=(x,y)(x,ky-4)=0,得x2+ky2-4y=0.当k=0时，方程为x2=4y表示抛物线；当k=1时，方程表示以(0，2)为圆心，2为半径的圆；当k0且k1时，方程表示椭圆；当k0，设A(x1,y1),
5、B(x2,y2),则有第19页/共79页同理所以第20页/共79页当直线m斜率不存在时，此时AB3，CD4，综上，第21页/共79页考向 3 圆锥曲线中的最值与取值范围问题【典例3】(1)椭圆b2x2+a2y2=a2b2(ab0)和圆x2+y2=(+c)2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆离心率e的范围为()第22页/共79页(2)(2012山东高考)在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C:x2=2py(p0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为求抛物线C的方程；是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在
6、，求出点M的坐标；若不存在，说明理由;若点M的横坐标为 ，直线l：与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当 k2时，AB|2+|DE|2的最小值.第23页/共79页【思路点拨】(1)利用椭圆的两个顶点(a,0)与(0,b)一个在圆外，一个在圆内构建不等式组求解.(2)利用抛物线定义及三角形的外接圆圆心在三边的垂直平分线上构建p的方程求解；利用斜率与导数相等求解；分别利用弦长公式求出|AB|2与DE2，再利用导数求AB2+DE2的最小值.第24页/共79页【规范解答】(1)选A.此题的本质是椭圆的两个顶点(a,0)与(0，b)一个在圆外、一个在圆内，即第25页/共7
7、9页(2)由F是抛物线C：x2=2py(p0)的焦点，点F的坐标为 抛物线的准线为过M，F，O三点的圆的圆心为Q，则圆心Q在线段OF的垂直平分线 上,所以 所以p1.所以抛物线C的方程为x2=2y.第26页/共79页假设存在这样的点M，设点M的坐标为(x0,y0)(x00,y00),焦点F的坐标为所以线段MO的中点坐标为圆心Q在MO的垂直平分线上，因为所以MO的垂直平分线方程为圆心Q在线段OF的垂直平分线 上，解得点Q坐标为第27页/共79页所以直线MQ与抛物线C相切于点M，抛物线 的导数为y=x,过点M的切线斜率为整理得2y02-y0-1=0,第28页/共79页解得:y0=1或 (舍去)，所
8、以 所以点M的坐标为点M的横坐标为 ,由知圆心半径圆心 到直线l:的距离为：第29页/共79页联立 消去y可得：设A(x1,y1),B(x2,y2),|AB|2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2(1+k2)(4k2+2),于是，AB2+DE2第30页/共79页令1+k2=t ，5，AB2+DE2设当 时，恒成立,第31页/共79页所以当 即 时，故当 时，第32页/共79页【互动探究】本例题(2)中条件不变，求AB2+DE2的取值范围.【解析】在例(2)中已解出AB2+|DE|2的最小值为由例(2)解题过程可知，设g(t)=第33页/共79页当 时，恒成立,当t=5，即k=2时，综上可
9、得AB|2+|DE|2的取值范围为第34页/共79页【拓展延伸】1.圆锥曲线中的取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.第35页/共79页(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.第36页/共79页2.圆锥曲线中常见最值问题及求解方法(1)两类最值问题：涉及距离、面积的最值以及与之相
10、关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.(2)两种常见解法：几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.第37页/共79页【提醒】求最值问题时，一定要注意对特殊情况的讨论.如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等.第38页/共79页【变式备选】(1)(2013南昌模拟)已知双曲线(a0,b0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF14PF2
11、，则此双曲线的离心率e的取值范围是_.第39页/共79页【解析】由题意结合双曲线的定义得PF1|-|PF2|=2a,设PF2r,则PF14r，故3r2a，即根据双曲线的几何性质，即故双曲线的离心率e的取值范围是答案：第40页/共79页(2)如图，已知半椭圆C1:(a1,x0)的离心率为 曲线C2是以半椭圆C1的短轴为直径的圆在y轴右侧的部分，点P(x0,y0)是曲线C2上的任意一点，过点P且与曲线C2相切的直线l与半椭圆C1交于两个不同点A，B.求a的值及直线l的方程(用x0,y0表示)；OAB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.第41页/共79页【解析】由题意知所以
12、a2=4,a=2.故半椭圆C1的方程为曲线C2的方程为x2+y2=1(x0).如果x00且y00,则直线OP的斜率为从而过点P的圆的切线l的斜率为因此，所求直线l的方程为第42页/共79页化简，得所以，直线l的方程为如果x0=0或y0=0，当x0=0时，直线l与半椭圆只有一个交点，不满足题意.当y0=0时，可以验证切线的方程也可以表示为x0 x+y0y=1.所以，所求直线l的方程为x0 x+y0y=1(x00).第43页/共79页(i)当y00时，由得因为点P(x0,y0)在C2:x2+y2=1(x0)上，所以x02+y02=1.所以(*)式即为(3x02+1)x2-8x0 x+4x02=0.
13、设A(x1,y1),B(x2,y2)，第44页/共79页则因为原点O到直线l的距离等于1,x00,所以OAB的面积第45页/共79页当且仅当 即 (舍去)时，OAB的面积存在最大值，且最大面积等于1.(ii)当y0=0时，直线lx轴，此时OAB的面积综上，OAB的面积存在最大值，且最大面积等于1.第46页/共79页【满分指导】解答圆锥曲线的综合问题【典例】(12分)(2012江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).已知(1，e)和(e,)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.第47页/共79页(1)求椭圆的方程.(2)设A，B是椭圆上位于x轴上
14、方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.若 求直线AF1的斜率；求证：|PF1|+|PF2|是定值.第48页/共79页【思路点拨】第49页/共79页【规范解答】(1)由题设知，由点(1,e)在椭圆上，得 c2=a2-1.2分椭圆的方程为 4分第50页/共79页(2)由(1)得F1(-1,0),F2(1,0),又AF1BF2，设AF1，BF2的方程分别为my=x+1,my=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),y10,y20.第51页/共79页同理，6分解 得m2=2.注意到m0,m=.直线AF1的斜率为7分第52页/共79页AF1BF2,即由点B在椭圆上知，9分同
15、理.第53页/共79页|PF1|+|PF2|.10分第54页/共79页【失分警示】(下文见规范解答过程)第55页/共79页1.(2013 吉安模拟)已知抛物线y2=4x上两个动点B，C和点A(1，2)，且BAC=90，则动直线BC必过定点()(A)(2，5)(B)(-2，5)(C)(5，-2)(D)(5，2)第56页/共79页【解析】选C.设 BC的中点为D(x0,y0),则y1+y2=2y0,直线BC：即4x-2y0y+y1y2=0 又y1y2=-4y0-20，代入式得：2(x-5)-y0(y+2)=0,则动直线BC恒过x-5=0与y+2=0的交点(5，-2).第57页/共79页2.(201
16、3 芜湖模拟)过点M(1，0)作直线与抛物线y2=4x交于A,B两点，则【解析】当直线的斜率存在时，设直线方程为y=k(x-1),代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则第58页/共79页 当直线的斜率不存在时，答案：1第59页/共79页3.(2013 西安模拟)设F是椭圆 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i=1,2,3,)，使FP1，FP2，FP3，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为_.第60页/共79页【解析】若公差d0，则FP1最小，数列中的最大项为 并设为第n项，则注意到d0,得0d ;若d0，易得 db0)的离
17、心率 左、右焦点分别为F1,F2，定点P(2，)满足|F1F2|=|PF2|.(1)求椭圆C的方程.(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为,且+=，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标.第66页/共79页【解析】(1)由椭圆C的离心率 得 其中 椭圆C的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),又|F1F2|=|PF2|，解得c=1,a2=2,b2=1,椭圆的方程为第67页/共79页(2)由题意，知直线MN存在斜率，且其方程为y=kx+m.由 消去y,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.直线l与椭圆交于M，N两点，0.(4km)
18、2-4(1+2k2)(2m2-2)0,化简得：m2-2k20),由题意得：p=2,所以抛物线的方程为x2=4y.第71页/共79页(2)抛物线焦点与x2+(y-1)2=1的圆心重合，即为E(0,1),设过抛物线焦点的直线方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),x2-4kx-4=0,得到x1+x2=4k,x1x2=-4.由抛物线的定义可知AE|=y1+1,|BE|=y2+1,第72页/共79页|AC|BD(AE-1)(BE-1)即|AC|BD为定值1.第73页/共79页(3)所以y=x,所以切线AM的方程为切线BM的方程为解得 即M(2k,-1).所以点M到直线AB的距离为第74页/共79页设令所以y=4t3-2t,y=12t2-20,所以y=4t3-2t在1,+)上是增加的，当t=1,即k0时，ymin=2,即ACM与BDM面积之和的最小值为2.第75页/共79页第76页/共79页第77页/共79页第78页/共79页感谢您的观看！第79页/共79页