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1、二二、纯弯曲梁横截面上的正应力公式、纯弯曲梁横截面上的正应力公式（一）变形几何关系：（一）变形几何关系：由纯弯曲的变形规律纵向线应变的变化规律。1 1、观察实验：、观察实验：第1页/共46页abcdabcdMM2 2、变形规律：、变形规律：、横向线、横向线：仍为直线，：仍为直线，只是相对转动了一个角度只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。且仍与纵向线正交。、纵向线、纵向线：由直线变为：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸缩短，靠近下部的纤维伸长。长。3 3、假设：、假设：（1 1）弯曲平面假设：）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平梁变形
2、前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。动了一个角度。第2页/共46页凹入凹入一侧纤维一侧纤维缩短缩短突出突出一侧纤维一侧纤维伸长伸长 根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层-称为中中性层性层。中间层与横截面中间层与横截面的交线的交线中性轴中性轴（2 2）纵向纤维假设：）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维 之间无挤压。之间无挤压。梁的弯曲变形实际上是
3、各截面绕各自的中性轴转动梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。第3页/共46页AabcdA4 4、线应变的变化规律：、线应变的变化规律：dxyoo1在弹性范围内，（二）物理关系：（二）物理关系：由纵向线应变的变化由纵向线应变的变化规律规律正应力的分布规律。正应力的分布规律。abcd第4页/共46页应力的分布图：应力的分布图：MZymaxmax中性轴的位置？中性轴的位置？为梁弯曲变形后的曲率第5页/共46页yxMZ（中性轴（中性轴Z轴为形心轴）轴为形心轴）（y轴为对称轴，自然满足轴为对称轴，自然满足）y
4、zA弯曲变形计算的基本公式弯曲变形计算的基本公式（三）、静力方面：（三）、静力方面：由横截面上的弯矩和正应由横截面上的弯矩和正应力的关系力的关系正应力的计算公正应力的计算公式。式。第6页/共46页弯曲正应力计算公式。弯曲正应力计算公式。弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。当当M 0时，下拉上压；时，下拉上压；当当M 5（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲正应力公式弯曲正应力公式可推广应用于横力弯曲和小曲率梁1m2mBA截面关于中性轴对称截面关于中性轴不对称(最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内)横力弯曲梁上的最大正应力
5、横力弯曲梁上的最大正应力第10页/共46页F FAYAYF FBYBYBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.C 截面上K点正应力2.C 截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.已知E=200GPa，C 截面的曲率半径FSx90kN90kN1.求支反力求支反力（压应力）（压应力）解：解：xM2.C 截面上截面上K点正应力点正应力例例第11页/共46页BAl=3mF FAYAYq=60kN/mF FBYBYxC1m30zy180120KFSx90kN90kN3.C 截面最大正应力截面最大正应力C 截面弯矩xM第12页/共46页BAl=3mF FAYAYq=60kN/mF F
6、BYBYxC1m30zy180120KFSx90kN90kN4.全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩xM第13页/共46页BAl=3mF FAYAYq=60kN/mF FBYBYxC1m30zy180120KFSx90kN90kN5.C 截面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩xM第14页/共46页例：例：求图示悬臂梁的最大、压应力。已知：10槽钢解：1）画弯矩图2）查型钢表：3）求应力：cmaxtmax第15页/共46页zybh8.2.2 梁横截面的切应力一、一、矩形截面梁横截面上的切应力矩形截面梁横截面上的切应力1 1、假设：、假设：横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。横
7、截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力大小相等）。各点切应力大小相等）。2 2、公式推导、公式推导xd x图图ayQ第16页/共46页关于横截面切应力分布规律的假设：关于横截面切应力分布规律的假设：侧边上的切应力与侧边相切侧边上的切应力与侧边相切 切应力沿切应力沿 z 的方向均匀分布的方向均匀分布用切应力互等定律简单证明用切应力互等定律简单证明2.矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力第17页/共46页2.矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力第18页/共46页2.矩形截面梁的弯曲切应力
8、矩形截面梁的弯曲切应力第19页/共46页2.矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力第20页/共46页3 3、矩形截面剪应力的分布：、矩形截面剪应力的分布：t t(1)(1)t t 沿截面高度按二次抛物线规律变化；沿截面高度按二次抛物线规律变化；(2)同一横截面上的最大切应力同一横截面上的最大切应力t tmax在中性轴处在中性轴处(y=0)；(3)上下边缘处上下边缘处（y=h/2)，切应力为零切应力为零。第21页/共46页二、非矩形截面梁二、非矩形截面梁圆截面梁圆截面梁切应力的分布特征：切应力的分布特征：边缘各点切应力的方向与圆周相切；边缘各点切应力的方向与圆周相切；切切应力分布与应力分布
9、与 y 轴对称；与轴对称；与 y轴相交各点处轴相交各点处的切应力其方向与的切应力其方向与y轴一致。轴一致。关于其切应力分布的假设：关于其切应力分布的假设：1 1、离中性轴为任意距离、离中性轴为任意距离y的水平直线段上各的水平直线段上各点处的切应力汇交于一点点处的切应力汇交于一点 ；2 2、这些切应力沿、这些切应力沿 y方向的分量方向的分量t ty 沿宽度相沿宽度相等。等。zyOtmaxkkOd第22页/共46页最大切应力最大切应力t t max 在中性轴处在中性轴处zyOtmaxkkOdyzOC2d/3p第23页/共46页1 1、工字形薄壁梁、工字形薄壁梁假设假设:t t/腹板侧边，腹板侧边，
10、并沿其厚度均匀分布并沿其厚度均匀分布 腹板上的切应力仍按矩形截面的公式计算。下侧部分截面对中性轴 z 的静矩三、薄壁截面梁三、薄壁截面梁第24页/共46页2 2、盒形薄壁梁、盒形薄壁梁w w第25页/共46页3 3、薄壁环形截面梁、薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁弯曲切应力的分布特薄壁环形截面梁弯曲切应力的分布特征：征：(1)(1)d h 时，时，s smax t tmax第32页/共46页8.3.1 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件材料的许用弯曲正应力材料的许用弯曲正应力中性轴为横截面对称轴的等直梁中性轴为横截面对称轴的等直梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁拉、压强度不相等的铸铁等
11、脆性材料制成的梁Ozyytmaxycmax为充分发挥材料的强度，最合理的设计为第33页/共46页弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件 1 1、强度校核 2、设计截面尺寸 3、确定外荷载 s ss s max；maxs sMWz ;maxs szWM 第34页/共46页例例 图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知材料的许用应力材料的许用应力FaFb（3 3）B B截面，截面，C C截面需校核截面需校核（4 4）强度校核）强度校核（1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图解：解：B B截面截面：C C截面截面：（5 5）结论）结论:轮
12、轴安全轮轴安全第35页/共46页解：1)求约束反力例、例、T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的 t=30 M Pa，c=60 M Pa.其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，I z=763cm4，试校核此梁的强度。1m1m1mABCD2.5kNm-4k N m2 2）画弯矩图3 3）求应力B截面截面（上拉下压）（上拉下压）MC截面截面（下拉上压）（下拉上压）第36页/共46页C截面截面（下拉上压）（下拉上压）:1m1m1mABCDF 2=4kNF 1=9kN4)4)强度校核强度校核A1A2A3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa2.5kNm-4k N mMB截面截面（上
13、拉下压）（上拉下压）:最大拉、压应力不在同一截面上最大拉、压应力不在同一截面上第37页/共46页A1A2y 2y 1C CzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa结论结论对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面一个截面：对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面两个截面：x 2.5kNm-4k N mMM第38页/共46页8.3.2 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 一般一般t tmaxmax发生在发生在FSmax所在截面的中性轴处。不计挤压，所在截面的中性轴处。不计挤压，则则t tmaxmax所在点处于所在点处于纯剪切应力纯剪切应力状态状态。梁的切应力强度条件为梁的切应力强度条
14、件为材料在横力弯曲时的许用切应力材料在横力弯曲时的许用切应力对等直梁，有对等直梁，有Et tmaxFt tmaxEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2第39页/共46页弯曲切应力的强度条件弯曲切应力的强度条件1 1、校核强度、校核强度2 2、设计截面尺寸、设计截面尺寸3 3、确定外荷载。、确定外荷载。需要校核剪应力的几种特殊情况：(2)铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力(1)梁的跨度较短，M 较小，而 Q 较大时，要校核剪应力。(3)各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。第40页/共46页 悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度悬臂
15、梁由三块木板粘接而成。跨度为为1 1m m。胶合面的许可切应力为胶合面的许可切应力为0.340.34MPaMPa，木材的木材的=10 MPa=10 MPa，=1MPa=1MPa，求许可载荷。求许可载荷。1.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图2.2.按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可载荷 3.3.按切应力强度条件计算许可载荷按切应力强度条件计算许可载荷 解：解：第41页/共46页4.4.按胶合面强度条件计算许可按胶合面强度条件计算许可载荷载荷 5.5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为 第42页/共46页第43页/共46页第44页/共46页第45页/共46页感谢您的观看。第46页/共46页