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1、一、惟一一、惟一性性定理 2.2 若收敛,则它只有一个极限.证 设下面证明对于任何定数若 a，b 都是 an 的极限，则对于任何正数 0,第1页/共28页当 n N 时(1),(2)同时成立,从而有第2页/共28页二、有界性二、有界性即存在证对于正数若令则对一切正整数 n,都有定理 2.3 若数列第3页/共28页件.注 数列是有界的,但却不收敛.这就说明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条第4页/共28页三、保号性三、保号性定理 2.4对于任意两个实数 b,c,证注我们可取这也是为什么称该定理为保号性定理的原因.,则存在 N,当 n N 时,第5页/共28页例1 证明证 对任意正数 ,所以
2、由 这就证明了定理 2.4,第6页/共28页四、保不等式性四、保不等式性定理 2.5均为收敛数列,如果存在正证所以第7页/共28页是严格不等式.注 若将定理 2.5 中的条件 改为这就是说,即使条件是严格不等式,结论却不一定也只能得到例如,虽然第8页/共28页五、迫敛性五、迫敛性 (夹逼原理夹逼原理)定理 2.6 设数列都以 a 为极限,证 对任意正数 所以分这就证得满足:存在则第9页/共28页例2 求数列的极限.所以由迫敛性，求得又因解有第10页/共28页六、四则运算法则六、四则运算法则定理2.7则(1)(2)当为常数 c 时,(3)也都是收敛数列,且有第11页/共28页所以的任意性,得到证
3、明(2)对于任意证明(1)第12页/共28页的任意性,证得 证明(3)由(2),只要证明据保号性,于是第13页/共28页又因为即第14页/共28页七、一些例子七、一些例子例3 用四则运算法则计算(1)当 m=k 时,有分别得出:解第15页/共28页(2)当 m N 时,有又因为所以由极限的迫敛性,证得第19页/共28页例6 解所以由极限四则运算法则,得故得第20页/共28页例7 为 m 个正数,证明证由以及极限的迫敛性,可得第21页/共28页定义1注第22页/共28页定理 2.8证注第23页/共28页例8 证(必要性)第24页/共28页第25页/共28页例9解因此,第26页/共28页1.极限的保号性与保不等式性有什么不同？2.仿效例题5的证法,证明：复习思考题第27页/共28页感谢您的观看。第28页/共28页