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1、两数和乘以这两数的差第1页，本讲稿共28页回顾与思考回顾与思考 回顾回顾&思考思考(mm+a a)()(n n+b b)=如果如果m=n，且都用，且都用 x 表示，那么上式就成为表示，那么上式就成为:多项式乘法多项式乘法法则是法则是:用一个多项式的每一项用一个多项式的每一项用一个多项式的每一项用一个多项式的每一项 乘另一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项再把所得的积相加。再把所得的积相加。再把所得的积相加。再把所得的积相加。mnmn+mb b+an+a ab =(x x+a a)()(x x+b b)x x2 2+(+(a a+b b)x+ab
2、这是上一节学习的这是上一节学习的一种特殊多项式的乘法一种特殊多项式的乘法 两个相同字母的两个相同字母的两个相同字母的两个相同字母的二项式的乘积二项式的乘积二项式的乘积二项式的乘积 .如果如果(x+a)(x+b)中的中的a、b再有某种特殊关系，再有某种特殊关系，又将得到什么特殊结果呢又将得到什么特殊结果呢?这就是从本课起要学习的内容这就是从本课起要学习的内容这就是从本课起要学习的内容这就是从本课起要学习的内容 第2页，本讲稿共28页平平 方方 差差 公公 式式计算下列各题计算下列各题:做一做做一做(1)(x+3)(x3)；(2)(1+2a)(12a)；(3)(x+4y)(x4y)(4)(y+5z
3、)(y5z)；=x x2 29;9;=1 1 4 4a a2 2;=x x2 16y2;=y y2 2 2525z2;观察观察&发现发现 观察以上观察以上算式及其运算结果，算式及其运算结果，你发现了什么规律？你发现了什么规律？你发现了什么规律？你发现了什么规律？用自己的语言叙用自己的语言叙用自己的语言叙用自己的语言叙述你的发现。述你的发现。述你的发现。述你的发现。=x2 2 32 2;=1 12 2(2(2a)2 2;=x2 2(4(4y)y)2 2;=y2 2(5z)z)2 2.(a+b)(ab)=a2b2.两数和与这两数差的积两数和与这两数差的积两数和与这两数差的积两数和与这两数差的积,等
4、于等于等于等于这两数的平方的差这两数的平方的差这两数的平方的差这两数的平方的差.用式子表示，即：用式子表示，即：用式子表示，即：用式子表示，即：第3页，本讲稿共28页l3.观察这个公式，说说它左右两边的特征.(a+b)(a-b)=a2-b2特征特征:两个数的和两个数的和 这两个数的差这两个数的差这两数的平方差这两数的平方差第4页，本讲稿共28页(a+b)(a-b)=a2-b2特征特征:两个二项两个二项式相乘式相乘第5页，本讲稿共28页(a+b)(a-b)=a2-b2特征特征:相同相同第6页，本讲稿共28页(a+b)(a-b)=a2-b2特征特征:相反数相反数第7页，本讲稿共28页(a+b)(a
5、-b)=a2-b2特征特征:平方差平方差第8页，本讲稿共28页(a+b)(a-b)=a2-b2特征特征:(相同项相同项)2 2-(-(相反项相反项)2 2第9页，本讲稿共28页初初 识识 平平 方方 差差 公公 式式(a+b)(ab)=x2b2 (1)(1)(1)(1)公式左边两个二项式必须是公式左边两个二项式必须是公式左边两个二项式必须是公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；相同两数的和与差相乘；且且左边两括号内的第一项相等、左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反第二项符号相反 互为相反数互为相反数互为相反数互为相反数(式式式式);(2)(2)(2)(2)公式右边是这两个数的平方差
6、；公式右边是这两个数的平方差；公式右边是这两个数的平方差；公式右边是这两个数的平方差；即即即即右边是左边右边是左边右边是左边右边是左边括号内的括号内的括号内的括号内的第一项的平方第一项的平方第一项的平方第一项的平方 减去第二项的平方减去第二项的平方减去第二项的平方减去第二项的平方.(3)(3)(3)(3)公式中的公式中的公式中的公式中的 a a和和b b 可以代表数，可以代表数，可以代表数，可以代表数，也可以是代数式也可以是代数式 特征特征结构结构第10页，本讲稿共28页=-=-.4.请你用图形说明它的正确性.第11页，本讲稿共28页1、两数和乘以它们的差两数和乘以它们的差公式：公式：(ab)
7、(ab)=a b 两数和与它们的差的积，等于这两数的两数和与它们的差的积，等于这两数的平方差平方差。条件：条件：二项式二项式二项式二项式；两个二项式中，有一项两个二项式中，有一项完全相同，完全相同，另一项另一项互为相反数的项。互为相反数的项。结论：结论：两项的两项的平方差平方差；(完全相同项完全相同项)2(互为相反项互为相反项)2 简记：简记：（）（）（）（）表示一个单项式或者多项式表示一个单项式或者多项式“”注意：注意：5.请用语言叙述这个公式请用语言叙述这个公式.（也叫平方（也叫平方差公式）差公式）第12页，本讲稿共28页首先请你仔细观察下图，你能用下面的图解首先请你仔细观察下图，你能用下
8、面的图解释两数和乘以它们的差公式吗？释两数和乘以它们的差公式吗？ABCD第13页，本讲稿共28页例题解析例题解析 学一学学一学 例例例例1 1 利用平方差公式计算：利用平方差公式计算：(1)(1)(5(5+6x x)(5 6x)；(2)(x x+2 2y y)()(x x2y y););(3)(mm+n n)()(mm n n).).解解:(1)(1)(5(5+6 6x)(5)(5 6x)=5 55 5第一数第一数第一数第一数a a5 52 2平方平方平方平方 6x6x第二数第二数第二数第二数b b平方平方平方平方要用括号把这个数整个要用括号把这个数整个要用括号把这个数整个要用括号把这个数整个
9、括起来，括起来，括起来，括起来，注意注意 当当“第第一一(二二)数数”是一分数是一分数或是数与字母的乘积或是数与字母的乘积时时,再平方再平方再平方再平方;()()2 26 6x=2525 最后的结最后的结果又要去掉括号。果又要去掉括号。3636x x2 2;(2)(2)(x x+2y y)()(x x 2y y)=xxx x2 2()2 22y2y2 2y y=x x2 2 4 4y y2 2;(3)(3)(mm+n n)()(mm n n)=mm mm()()2 n nn n2 2=mm n n2 2.第14页，本讲稿共28页【例例1】计算：计算：（1）（2）（3）（4）要分清是哪两要分清是
10、哪两个数的和乘以个数的和乘以这哪两数的差这哪两数的差哦！哦！知识应用知识应用第15页，本讲稿共28页拓拓 展展 练练 习习本题是公式的变式训练，以加深对公式本质特本题是公式的变式训练，以加深对公式本质特本题是公式的变式训练，以加深对公式本质特本题是公式的变式训练，以加深对公式本质特征的理解征的理解征的理解征的理解 运用平方差公式计算：运用平方差公式计算：(4 4a a 1)(4a a 1)1)(用两种方法用两种方法用两种方法用两种方法)运用平方差公式时，运用平方差公式时，运用平方差公式时，运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，要紧扣公式的特征，要紧扣公式的特征，要紧扣公式的特征，找出相等的找出相
11、等的“项项项项”和符号相反的和符号相反的和符号相反的和符号相反的“项项项项”，然后应用公式，然后应用公式，然后应用公式，然后应用公式 法一法一法一法一 利用加法交换律，利用加法交换律，变成公式标准形式。变成公式标准形式。(4 4a a 1)(41)(4a1)1)=(1)1)2 2(4(4a)2 2=1 1 1616a a2 2。法二法二法二法二 提取两提取两“”号中的号中的“”号，号，变成公式标准形式。变成公式标准形式。(4a a1)(4(4a a 1)=(4a+1)1)(4 4a 1)1)(4a a 1)1)=(4a a)2 2 1 1 计算时千万别忘计算时千万别忘了你提出的了你提出的“”号
12、、添括号；号、添括号；注意注意 =1 11616a2。(4 4a 1)(41)(4a a 1 )1 )1 1 4 4a a 1 1+4 4a a第16页，本讲稿共28页下面两题能用两数和乘以它们的差公式下面两题能用两数和乘以它们的差公式?如如果能，答案应该是多少？果能，答案应该是多少？(2mn)(n2m)(-a-b)(-ab)=n-(2m)=n-4m=(-a)-b=a-b 能力能力提升提升：=(n2m)(n2m)（注意：交换两项的位置，（注意：交换两项的位置，满足公式的特征）满足公式的特征）第17页，本讲稿共28页开放题：开放题：观观察察：(2xy)()，在在括括号号内内填填入入怎怎样样的的代
13、代数数式式，才能运用两数和才能运用两数和乘以它们的差公式进行计算？乘以它们的差公式进行计算？解：解：(2xy)(2xy)(2xy)(2xy)=(2x)(y)=(y)(2x)=y 4x=4x y第18页，本讲稿共28页练习:1、请你判断以下的计算是否正确，并说明理、请你判断以下的计算是否正确，并说明理由；由；、(m3n)(m3n)=m 3n ()、(m3n)(m3n)=m 9n ()、(m 3n)(m 3n)=m 9n ()、(m3n)=m 9n ()第19页，本讲稿共28页=(2x)()=4x=(x)2=x42、计算：、计算：、(2x )(2x )、(x2)(x2)、(2xy)(2xy)、(y
14、 x)(x y)=y(2x)=y4x=(x)y=xy解解:第20页，本讲稿共28页19982002=(20002)(2000 2)=(2000)2=4000000 4=3999996比一比，看谁算得又简便又快：比一比，看谁算得又简便又快：计算：19982002知识应用知识应用方法一：直接计算；19982002=3999996方法二：构造公式计算；写成两数和乘以写成两数和乘以这两数的差的形这两数的差的形式可以使运算简式可以使运算简便！便！第21页，本讲稿共28页街心花园有一块边长为街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要加长南北方向要加长2米，
15、而东西方向要缩短米，而东西方向要缩短2米。问改造后的米。问改造后的长方形草坪的面积是多少？长方形草坪的面积是多少？知识应用知识应用2：(a2)(a2)=a4解：答：改造后的长方形草坪的面积是答：改造后的长方形草坪的面积是(a4)平方米。平方米。（规划前）（规划后）第22页，本讲稿共28页1.下列多项式相乘，哪些可用平方差 公式？怎样用公式计算？1)(a+b)(-b+a)2)(ab+1)(-ab+1)3)(a+b)(b-c)4)(-2xy+z)(-2xy-z)5)(a+b)(-a-b)6)(a2-3bc)(3bc+a2)2.(a+b+c)(a+b-c),是否可用平方差公式计 算？怎样应用公式计算
16、？第23页，本讲稿共28页2.(a+b+c)(a+b-c),是否可用平方差公式计 算？怎样应用公式计算？解：(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)+c(a+b)-c =(a+b)2-c2 =(a+b)(a+b)c2 =(a2+ab+ab+b2)c2 =(a2+2ab+b2)c2 =a2+2ab+b2 c2第24页，本讲稿共28页3.将下列各式变形为可利用平方差公式 计算的形式：1)(a+2b+3)(a+2b-3)2)(a+2b-3)(a-2b+3)3)(a-2b+3)(a-2b-3)4)(a-2b-3)(a+2b-3)5)(3a-5b-2c)(-3a-5b+2c)6)(x+y+m+n)(x+
17、y-m-n)(a+2b)+3(a+2b)-3a+(2b-3)a-(2b-3)(a-2b)+3(a-2b)-3(a-3)-2b(a-3)+2b(-5b)+(3a-2c)(-5b)-(3a-2c)(x+y)+(m+n)(x+y)-(m+n)第25页，本讲稿共28页4.下列各式哪些能用平方差公式计算？怎样用？1)(a-b+c)(a-b-c)2)(a+2b-3)(a-2b+3)3)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)4)(a-b+c-d)(-a-b-c-d)第26页，本讲稿共28页5.计算：1)(y+2)(y-2)-(3-y)(3+y)2)3x(x+1)(x-1)-x(3x+2)(2-3x)3)4
18、(2y-)(+2y)+3(2y-3)(2y+1)4)(x+)(x2+)(x-)解：1)(y+2)(y-2)-(3-y)(3+y)=(y2-4)(9-y2)=y2-4 9+y2 =2y2-13第27页，本讲稿共28页本节课你的收获是什么？本节课你的收获是什么？本节课你学到了什么?试用语言表述平方差公式试用语言表述平方差公式(a+b)(ab)=x2b2。应用平方差公式应用平方差公式 时要注意一些什么？时要注意一些什么？两数和与两数和与两数和与两数和与这这这这两数差的积，等于它们的平方差。两数差的积，等于它们的平方差。两数差的积，等于它们的平方差。两数差的积，等于它们的平方差。变成公式标准形式后，再用公式。变成公式标准形式后，再用公式。或提取两或提取两或提取两或提取两“”“”号中的号中的号中的号中的“”“”号，号，号，号，运用平方差公式时，运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，要紧扣公式的特征，找出相等的找出相等的“项项”和符号相反的和符号相反的“项项”，然后应用公，然后应用公式；式；要利用加法交换律，要利用加法交换律，要利用加法交换律，要利用加法交换律，对于不符合平方差公式标准形式者，对于不符合平方差公式标准形式者，第28页，本讲稿共28页