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1、高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第02讲 全等三角形知识图谱错题回顾顾题回顾全等三角形知识精讲一三角形基本知识 1三角形三边关系（1）三角形任何两边的和大于第三边（2）三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边即、三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段2三角形内角和定理：三角形三个内角和等于推论1：直角三角形的两个锐角互余推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角3三角形的外角三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有
2、六个外角，其中有三个与另外三个相等每个顶点处的两个外角是相等的4三角形角平分线相关结论：（1）两条内角平分线相交（如图1）结论：（2）两条外角平分线相交（如图2）结论：（3）内角平分线与外角平分线相交（如图3）结论：二全等三角形的性质和判定1全等三角形的判定方法：（1）边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 （2）角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（3）边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等（4）角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（5）斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角
3、三角形全等2角平分线的性质（1）角平分线上的点到角两边的距离相等；（2）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上3全等三角形中的辅助线 （1）倍长中线构造全等 （2）角平分线构造全等三等腰/等边三角形性质和判定1等腰三角形的性质和判定 （1）等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合性质3：等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高 （2）等腰三角形的判定判定1：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）；判定2：如果三角形一个外角的平分线平行于三角
4、形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；2等边三角形的性质和判定 （1）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 （2）等边三角形判定判定1：如果一个三角形的三个角都相等，那么它是等边三角形判定2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形3直角三角形性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半方法点拨1对于三角形中角度的计算，常常利用添加不同辅助线的办法，把大角划为小角，或把不规则图形转化为规则图形，从而挖掘或联系相关性质解题三角形或者星形中常见辅助线的作法如下：三点剖析一考点：三角形三边关系，全等三角形的性质及判定，等腰三角形和等边三角形的性质和
5、判定二重难点：全等三角形的性质及判定，等腰/等边三角形的性质和判定三易错点：1全等三角形的对应边和对应角不正确；2三角形三边关系应用不正确题模精讲题模一：三角形基本知识例1.1.1方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A12B12或15C15D不能确定【答案】C【解析】解方程x2-9x+18=0，得x1=6，x2=3当底为6，腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边关系等腰三角形的腰为6，底为3周长为6+6+3=15故选C例1.1.2正三角形ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则A1B1C1的
6、面积是（）ABCD【答案】B【解析】依题意画出图形，如下图所示：过点A1作A1DBC，交AC于点D，易知AA1D是边长为1的等边三角形又AC1=AC-CC1=3-1=2，AD=1，点D为AC1的中点，S AA1C1=2S AA1D=212=；同理可求得S CC1B1=S BB1A1=，S A1B1C1=S ABC-S AA1C1-S CC1B1-S BB1A1=32-3=故选B例1.1.3中，AE平分，CG是外角的平分线，若，则_ABCDEFG【答案】【解析】该题考查的是角度计算，；CG是ABC外角的平分线，在ACG中，即，又，例1.1.4在中，平分，点为直线上一动点，于点（1）如图1，当，点
7、与点重合时，；（2）如图2，当点在延长线时，求证：；（3）如图3，当点在边所示位置时，请直接写出与，等量关系式.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】该题考查的是角度的计算（1），BO平分，1分（2）作射线AO，如图，即，BO平分，5分（3）记CP与BO的交点为M，BO平分， 6分题模二：全等三角形的性质和判定例1.2.1如图，在PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若MKN=44，则P的度数为（）A44B66C88D92【答案】D【解析】PA=PB，A=B，在AMK和BKN中，AMKBKN，AMK=BKN，MKB=MKN+NKB=A+AMK
8、，A=MKN=44，P=180AB=92，例1.2.2如图，已知长方形的边长，点在边上，如果点从点出发在线段上以的速度向点运动，同时，点在线段上从点到点运动则当与全等时，时间为_【答案】或【解析】， ，当时，则有，即，解得；当时，则有，即，解得，故答案为或例1.2.3如图：已知ABC中，AB=AC，BAC=90，直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：AE=CF；APE=CPF；EPF是等腰直角三角形；EF=AP；S四边形AEPF=S ABC当EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的序号有_【答案】 【解析】A
9、B=AC，BAC=90，点P是BC的中点，EAP=BAC=45，AP=BC=CP在AEP与CFP中，EAP=C=45，AP=CP，APE=CPF=90-APF，AEPCFP，AE=CF正确；由知，AEPCFP，APE=CPF正确；由知，AEPCFP，PE=PF又EPF=90，EPF是等腰直角三角形正确；只有当F在AC中点时EF=AP，故不能得出EF=AP，错误；AEPCFP，同理可证APFBPES四边形AEPF=S AEP+S APF=S CPF+S BPE=S ABC正确故正确的序号有例1.2.4已知，如图，在四边形ABCD中，E、F分别是线段BC、CD上的点，且求证：【答案】见解析【解析】
10、该题考查的是全等三角形的判定与性质延长FD到H，使，又，可得：ABEADH（SAS），又，AF为公共边，故AEFAHF（SSS），故例1.2.5已知MAN，AC平分MAN（1）在图1中，若MAN=120，ABC=ADC=90，求证：AB+AD=AC；（2）在图2中，若MAN=120，ABC+ADC=180，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在图3中：MAN=60，ABC+ADC=180，则AB+AD=AC；若MAN=（0180），ABC+ADC=180，则AB+AD=AC（用含的三角函数表示），并给出证明【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解
11、析；(3)证明见解析【解析】（1）证明：AC平分MAN，MAN=120，CAB=CAD=60，ABC=ADC=90，ACB=ACD=30，AB=AD=AC，AB+AD=AC（2）解：成立证法一：如图，过点C分别作AM，AN的垂线，垂足分别为E，F，AC平分MAN，CE=CF，ABC+ADC=180，ADC+CDE=180，CDE=ABC，CED=CFB=90，CEDCFB，ED=FB，AB+AD=AF+BF+AEED=AF+AE，由（1）知AF+AE=AC，AB+AD=AC，证法二：如图，在AN上截取AG=AC，连接CG，CAB=60，AG=AC，AGC=60，CG=AC=AG，ABC+ADC
12、=180，ABC+CBG=180，CBG=ADC，CBGCDA，BG=AD，AB+AD=AB+BG=AG=AC；（3）证明：由（2）知，ED=BF，AE=AF，在RtAFC中，cosCAF=，即cos，AF=ACcos，AB+AD=AF+BF+AEED=AF+AE=2AF=2cosAC把=60，代入得AB+AD=AC题模三：等腰三角形和等边三角形例1.3.1在等边ABC外侧作直线，点关于直线的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线于点E（1）依题意补全图1；（2）若，求ACE的度数；（3）如图2，若，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明图1图2【答案】（1）如
13、图1；（2）；（3）线段AB，CE，ED可以构成一个含有60角的三角形，证明见解析【解析】（1）补全图形，如图1所示（2）连接AD，如图2点D与点B关于直线AP对称，图1图2（3）线段AB，CE，ED可以构成一个含有60角的三角形证明：连接AD，EB，如图3点D与点B关于直线AP对称，可证得，设AC，BE交于点F，又线段AB，CE，ED可以构成一个含有60角的三角形图3例1.3.2如图，ABC中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于点E在ABC外有一点F，使FAAE，FCBC（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N
14、，连接ME求证：MEBC；DE=DN【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键，难点在于最后一问根据角的度数得到相等的角（1）根据等腰直角三角形的性质求出B=ACB=45，再求出ACF=45，从而得到B=ACF，根据同角的余角相等求出BAE=CAF，然后利用“角边角”证明ABE和ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）过点E作EHAB于H，求出BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相
15、等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可；求出CAE=CEA=67.5，根据等角对等边可得AC=CE，再利用“HL”证明RtACM和RtECM全等，根据全等三角形对应角相等可得ACM=ECM=22.5，从而求出DAE=ECM，根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD，再利用“角边角”证明ADE和CDN全等，根据全等三角形对应边相等证明即可证明：（1）BAC=90，AB=AC，B=ACB=45，FCBC，BCF=90，ACF=90-45=45，B=ACF，BAC=90，FAAE，BAE+CAE=90，CAF+CAE=90，BAE=CA
16、F，在ABE和ACF中，ABEACF（ASA），BE=CF；（2）如图，过点E作EHAB于H，则BEH是等腰直角三角形，HE=BH，BEH=45，AE平分BAD，ADBC，DE=HE，DE=BH=HE，BM=2DE，HE=HM，HEM是等腰直角三角形，MEH=45，BEM=45+45=90，MEBC；由题意得，CAE=45+45=67.5，CEA=180-45-67.5=67.5，CAE=CEA=67.5，AC=CE，在RtACM和RtECM中，RtACMRtECM（HL），ACM=ECM=45=22.5，又DAE=45=22.5，DAE=ECM，BAC=90，AB=AC，ADBC，AD=CD
17、=BC，在ADE和CDN中，ADECDN（ASA），DE=DN例1.3.3如图ABC为等边三角形，直线aAB，D为直线BC上任一动点，将一60角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E（1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：ADE是等边三角形；（2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由【答案】见解析【解析】（1）证明：aAB，且ABC为等边三角形，ADBC，ABDACE，且，ADE是等边三角形；（2）在AC上取点F，使，连结DF，DCF是等边三角形，ADFEDC（AAS），又，ADE是等边三
18、角形例1.3.4已知：点C、A、D在同一条直线上，ABC=ADE=，线段BD、CE交于点M（1）如图1，若AB=AC，AD=AE问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；求BMC的大小（用表示）；（2）如图2，若AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，则线段BD与CE的数量关系为_，BMC=_（用表示）；（3）在（2）的条件下，把ABC绕点A逆时针旋转180，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接EC并延长交BD于点M则BMC=_（用表示）【答案】（1）BD=CE；1802（2）BD=kCE，90（3）90+【解析】（1）如图1BD=CE，理由如下：AD
19、=AE，ADE=，AED=ADE=，DAE=1802ADE=1802，同理可得：BAC=1802，DAE=BAC，DAE+BAE=BAC+BAE，即：BAD=CAE在ABD与ACE中，ABDACE（SAS），BD=CE；ABDACE，BDA=CEA，BMC=MCD+MDC，BMC=MCD+CEA=DAE=1802；（2）如图2AD=ED，ADE=，DAE=90，同理可得：BAC=90，DAE=BAC，DAE+BAE=BAC+BAE，即：BAD=CAEAB=kAC，AD=kAE，AB：AC=AD：AE=k在ABD与ACE中，AB：AC=AD：AE=k，BDA=CEA，ABDACE，BD：CE=A
20、B：AC=AD：AE=k，BDA=CEA，BD=kCE；BMC=MCD+MDC，BMC=MCD+CEA=DAE=90故答案为：BD=kCE，90；（3）如右图AD=ED，ADE=，DAE=AED=90，同理可得：BAC=90，DAE=BAC，即BAD=CAEAB=kAC，AD=kAE，AB：AC=AD：AE=k在ABD与ACE中，AB：AC=AD：AE=k，BAD=CAE，ABDACE，BDA=CEA，BMC=MCD+MDC，MCD=CED+ADE=CED+，BMC=CED+CEA=AED+=90+=90+故答案为：90+例1.3.5如图，已知BAD和BCE均为等腰直角三角形，BAD=BCE=
21、90，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：ACN为等腰直角三角形；（3）将图1中BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由【答案】（1）见解析（2）见解析（3）成立，证明见解析【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、多边形的内角与外角等知识，渗透了变中有不变的辩证思想，是一道好题（1）证明：如图1，ENAD，MAD=MNE，ADM
22、=NEM点M为DE的中点，DM=EM在ADM和NEM中，ADMNEMAM=MNM为AN的中点（2）证明：如图2，BAD和BCE均为等腰直角三角形，AB=AD，CB=CE，CBE=CEB=45ADNE，DAE+NEA=180DAE=90，NEA=90NEC=135A，B，E三点在同一直线上，ABC=180-CBE=135ABC=NECADMNEM（已证），AD=NEAD=AB，AB=NE在ABC和NEC中，ABCNECAC=NC，ACB=NCEACN=BCE=90ACN为等腰直角三角形（3）ACN仍为等腰直角三角形证明：如图3，延长AB交NE于点F，ADNE，M为中点，易得ADMNEM，AD=N
23、EAD=AB，AB=NEADNE，AFNE，在四边形BCEF中，ACN=BFE=90FBC+FEC=360-180=180FBC+ABC=180ABC=FEC在ABC和NEC中，ABCNECAC=NC，ACB=NCEACN=BCE=90ACN为等腰直角三角形例1.3.6（1）【问题发现】小明遇到这样一个问题：如图1，ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足ADE=60，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系小明发现，过点D作DFAC，交AC于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系：；（2）【类比探究】如图
24、2，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时（其它条件不变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论（3）【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC（其它条件不变）时，请直接写出ABC与ADE的面积之比【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）证明：ABC是等边三角形，AB=BC，B=ACB=ABC=60又DFAC，BDF=BFD=60，BDF是等边三角形，DF=BD，BFD=60，BD=CD，DF=CDAFD=120EC是外角的平分线，DCE=120=AFD，ADB=ADC=90，ADF=ECD=30，在AFD与EDC中，AFDDCE（ASA），
25、AD=DE；（2）AD=DE；证明：如图2，过点D作DFAC，交AC于点F，ABC是等边三角形，AB=BC，B=ACB=ABC=60，又DFAC，BDF=BFD=60，BDF是等边三角形，BF=BD，BFD=60，AF=CD，AFD=120，EC是外角的平分线，DCE=120=AFD，ADC是ABD的外角，ADC=B+FAD=60+FAD，ADC=ADE+EDC=60+EDC，ADF=EDC，在AFDDCE中，AFDDCE（ASA），AD=DE；（3）解：BC=CD，AC=CD，CE平分ACD，CE垂直平分AD，AE=DE，ADE=60，ADE是等边三角形，ABCADE，在RtCDO中，=题模
26、四：全等三角形综合例1.4.1如图，过边长为1的等边ABC的边AB上一点P，作PEAC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为_ABCD不能确定【答案】B【解析】此题考查了平行线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；能够正确的构建出等边三角形APM是解答此题的关键过P作BC的平行线，交AC于M；则APM也是等边三角形，在等边三角形APM中，PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE=EM；易证得PMDQCD，则DM=CD；此时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解过P作PMBC，交AC于M；ABC是等边三角形，且PMBC，APM是等边三
27、角形；又PEAM，AE=EM=AM；（等边三角形三线合一）PMCQ，PMD=QCD，MPD=Q；又PA=PM=CQ，在PMD和QCD中PMDQCD（AAS）；CD=DM=CM；DE=DM+ME=（AM+MC）=AC=，故选B例1.4.2如图，已知ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若BAC=80，则BCA的度数为_【答案】60【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决此题的关键可证明CODCOB，得出D=CBO，再根据BAC=80，得BAD=100，由角平分线可得BAO=40，从而得出DAO=140，根据AD=
28、AO，可得出D=20，即可得出CBO=20，则ABC=40，最后算出BCA=60ABC三个内角的平分线交于点O，ACO=BCO，在COD和COB中，CODCOB，D=CBO，BAC=80，BAD=100，BAO=40，DAO=140，AD=AO，D=20，CBO=20，ABC=40，BCA=60，故答案为：60例1.4.3已知ABC是等边三角形，E是AC边上一点，F是BC边延长线上一点，且，连接BE、EF（1）如图1，若E是AC边的中点，猜想BE与EF的数量关系为_（2）如图2，若E是线段AC上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明（3）如图
29、3，若E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明【答案】（1）（2）见解析（3）见解析【解析】该题考查的是三角形综合（1）猜想BE与EF的数量关系为， .1分（2）猜想 将线段BE绕点B顺时针旋转，得线段，连接，2分为等边三角形， 又ABC为等边三角形，ABE（SAS），.3分， ，又，ECF（SAS），4分 .5分（3）猜想将线段BE绕点B顺时针旋转，得线段，连接，为等边三角形，, 又ABC为等边三角形，, ABE（SAS），又，ECF（SAS），6分又，.7分例1.4.4数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是
30、正方形，点E是边BC的中点AEF=90，且EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AMEECF，所以AE=EF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如
31、果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由【答案】（1）正确，见解析（2）正确，见解析【解析】（1） 正确（1分）证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME（2分）BM=BE，BME=45，AME=135，CF是外角平分线，DCF=45，ECF=135，AME=ECF，AEB+BAE=90，AEB+CEF=90，BAE=CEF，AMEECF（ASA），（5分）AE=EF（6分）（2）正确（7分）证明：在BA的延长线上取一点N使AN=CE，连接NE（8分）BN=BE，N=NEC=45，CF平分DCG，FCE=45，N=ECF，四边形ABCD是正方形，ADBE，DAE=BEA，即DAE+90
32、=BEA+90，NAE=CEF，ANEECF（ASA）（10分）AE=EF（11分）例1.4.5在等腰直角ABC中，（1）如图1，点D、E分别是AB、AC边的中点，交BC于点F，连结EF、CD交于点H求证，；（2）如图2，于点G交BC于点F，过F作交BE的延长线于点P，试探究线段BP，FP，AF之间的数量关系，并说明理由图1 图2 【答案】（1）见解析（2）【解析】该题考查的是三角形综合（1）如图，过点C作交AF延长线于点M，于G， ，又，ABECAM1分，ECFMCF2分，点D、E分别是AB、AC边的中点，又，ABEACD，3分，4分（2）如图，过点C作交AF延长线于点M由（1）得：ABEC
33、AM，由（1）得：ABEACD于H，5分，6分，QCFMCF，7分例1.4.6已知，点P是RtABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明【答案】（1）AEBF，QE=QF；（2）QE=QF，证明见解析；（3）成立，证明见解析【解析】（1）如图1，当点P与点Q重合
34、时，AE与BF的位置关系是AEBF，QE与QF的数量关系是AE=BF，理由是：Q为AB的中点，AQ=BQ，AECQ，BFCQ，AEBF，AEQ=BFQ=90，在AEQ和BFQ中AEQBFQ，QE=QF，故答案为：AEBF，QE=QF；（2）QE=QF，证明：延长EQ交BF于D，由（1）知：AEBF，AEQ=BDQ，在AEQ和BDQ中AEQBDQ，EQ=DQ，BFE=90，QE=QF；，（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立，证明：延长EQ交FB于D，如图3，由（1）知：AEBF，AEQ=BDQ，在AEQ和BDQ中AEQBDQ，EQ=DQ，BFE=90，QE=QF随
35、堂练习随练1.1如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（）A2cmOA5cmB2cmOA8cmC1cmOA4cmD3cmOA8cm【答案】C【解析】平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，OA=OC=AC，2cmAC8cm，1cmOA4cm故选C随练1.2如图，ABC中，在BC上截取BDBA，作ABC的平分线与AD相交于点P，连结PC，若ABC的面积为，则BPC的面积为（ ）APBDCABCD【答案】B【解析】该题考查的是面积计算，ABD为等腰三角形，AD平分，由等腰三角形三线合一可知：P为AD的中点，即，则ABP与B
36、PD等底同高，即，同理，所以本题答案的是B随练1.3如图，在ABC中，B=47，三角形的外角DAC和ACF的平分线交于点E，则AEC=_【答案】66.5 【解析】三角形的外角DAC和ACF的平分线交于点E，EAC=DAC，ECA=ACF；又B=47（已知），B+1+2=180（三角形内角和定理），DAC+ACF=（B+2）+（B+1）=（B+B+1+2）=（外角定理），AEC=180-（DAC+ACF）=66.5；故答案是：66.5随练1.4在中，BD，CE是它的两条角平分线，且BD，CE相交于点M，于点N将记为，记为，记为（1）如图1，若，则_，_；（2）如图2，猜想与的数量关系，并证明你的
37、结论；（3）若，用含和的代数式表示的度数（直接写出结果即可）【答案】（1）20；55（2）；见解析（3）【解析】该题考查的是三角形中角的计算解：在中，CE平分，在中，BD平分，（2）与的数量关系是：证明：在中，BD，CE是它的两条角平分线，于点N，在中， ，在中，；（3）BD，CE是的两条角平分线，在和中，整理得，随练1.5平面上有与,其中与相交于点，如图，若，则的度数为（ ）ABCD【答案】C【解析】在和中， ， ， 随练1.6如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BD、DF，则图中全等的直角三角形共有_A3对B4对C5对D6对【答案】B【解析】E是CD中点，DE=EC，矩形ABCD，可得AD=BC，AB=CD，