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1、高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第02讲_全等三角形辅助线的作法知识图谱错题回顾顾题回顾全等三角形辅助线的作法知识精讲一中点类辅助线作法见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（ 是底边的中线)二角平分线类辅助线作法 有下列三种作辅助线的方式：1由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；3，这种对称的图形应用得也较为普遍 三截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种
2、辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解三点剖析一考点：全等三角形辅助线的作法二重难点：中点类、角平分线类、截长补短类辅助线作法三易错点：1辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；2辅助线不是随便都可以作的，比如“
3、作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这种辅助线就不一定能作出来题模精讲题模一：角平分线类例1.1.1已知，AC平分MAN，点B、D分别在AN、AM上（1）如图1，若，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由【答案】见解析【解析】（1）关系是：证明：AC平分MAN，又，则（直角三角形一锐角为30，则它所对直角边为斜边一半）；（2）仍成立证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、FAC平分MAN（角平分线上点到角两边距离相等），又，CEDCFB（AAS），由（1）知，例1.1
4、.2如图，已知，BD为ABC的平分线，CEBE，求证：【答案】见解析【解析】延长CE，交BA的延长线于点FBD为ABC的平分线，CEBE，BEFBEC，CEBE，又，ABDACF，例1.1.3如图，平分，平分，点在上探讨线段、和之间的等量关系探讨线段与之间的位置关系【答案】见解析【解析】；证明如下：在线段上取点，使，连结在和中，而在和中，题模二：中点类例1.2.1如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，与相等吗？为什么？【答案】见解析【解析】延长到，使，连结，又，而，故例1.2.2（1）已知：如图1，在ABC中，A=90，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，EDDF，连
5、接EF，求证：线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形；（2）已知：如图2，A=120，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，EDDF，连接EF，请你找出一个条件，使线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，给出证明【答案】（1）见解析（2）当线段时，线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形【解析】该题考查的是三角形综合（1）证明：延长FD到G使，连接BG，EG，D为BC中点，在BDG和CDF中，BDGCDF（SAS），即，线段BE、BG、EG总能构成一个直角三角形，线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形； （2）当线段时，线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，证明：延长FD
6、到W使，连接BW，EW，D为BC中点，在BDW和CDF中，BDWCDF（SAS），即，当线段（或，）时，BE、BW、EW能构成一个等边三角形；，当线段（或，）时，线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形题模三：截长补短类例1.3.1如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长【答案】见解析【解析】如图所示，延长到使在与中，因为，所以，故因为，所以又因为，所以在与中，所以，则，所以的周长为例1.3.2阅读下列材料：如图1，在四边形ABCD中，已知ACB=BAD=105，ABC=ADC=45.求证：CD=AB.小刚是这样思考的：由已知可得，CAB=
7、30，DAC=75，DCA=60，ACB+DAC=180，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点A作AEAB交BC的延长线于点E，则AB=AE，E=D.在ADC与CEA中，ADCCEA，得CD=AE=AB.请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中，若ACB+CAD=180，B=D，请问：CD与AB是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由.【答案】见解析【解析】该题考查的是全等三角形的判定与性质CD与AB相等证明如下：作交BC的延长线于点E，在DAC和ECA中DACECA .随堂练习随练1.1已知：如图，在ABC中，BEAE求证：【答案】见解
8、析【解析】延长BE交AC于M，BEAE，在ABE中，同理，BEAE，4是BCM的外角，随练1.2如图，四边形ABCD中，ABDC，BE、CE分别平分ABC、BCD，且点E在AD上求证：【答案】见解析【解析】在BC上截取，连接EFBE平分ABC，又，ABEFBE（SAS），AB/CD，又，CE平分BCD，DCEFCE（AAS），随练1.3已知：如图，是正方形，求证：【答案】见解析【解析】延长至，使得，连接.， 随练1.4如图，在ABC中，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是BAC、ABC的角平分线求证：（1）；（2）【答案】见解析【解析】该题考察的是全等三角形（1）BQ是的角平分线，且
9、，；（2）延长AB至M，使得，连结MP，ABC中，BQ平分，AP平分，在AMP和ACP中，AMPACP，随练1.5五边形ABCDE中，求证：AD平分CDE【答案】见解析【解析】延长DE至F，使得，连接AC.，ABCAEF，ADCADF，即AD平分CDE随练1.6如图，ABC中，AD是BC边上的高，如果，我们就称ABC为“高和三角形”请你依据这一定义回答问题：（1）若，则ABC_ “高和三角形”（填“是”或“不是”）；（2）一般地，如果ABC是“高和三角形”，则与之间的关系是_，并证明你的结论【答案】（1）是（2）；见解析【解析】该题考察的是全等三角形（1）如图，RtABC中，在BC上截取，则A
10、BE为等边三角形，且ABE为等边三角形是高和三角形E（2）如上图，在ABC中，在DC上截取AD是BC边上的高且ABDAED（SAS）随练1.7如图所示，是的中点，求证【答案】见解析【解析】如图所示，设交于，要证明，实际上就是证明，而条件不好运用，我们可以倍长中线到，连接交于点，交于点容易证明则，从而，而，故从而，故而故，亦即自我总结 课后作业作业1已知MAN，AC平分MAN（1）在图1中，若MAN=120，ABC=ADC=90，求证：AB+AD=AC；（2）在图2中，若MAN=120，ABC+ADC=180，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在图3中
11、：MAN=60，ABC+ADC=180，则AB+AD=AC；若MAN=（0180），ABC+ADC=180，则AB+AD=AC（用含的三角函数表示），并给出证明【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；(3)证明见解析【解析】（1）证明：AC平分MAN，MAN=120，CAB=CAD=60，ABC=ADC=90，ACB=ACD=30，AB=AD=AC，AB+AD=AC（2）解：成立证法一：如图，过点C分别作AM，AN的垂线，垂足分别为E，F，AC平分MAN，CE=CF，ABC+ADC=180，ADC+CDE=180，CDE=ABC，CED=CFB=90，CEDCFB，ED=FB，AB+
12、AD=AF+BF+AEED=AF+AE，由（1）知AF+AE=AC，AB+AD=AC，证法二：如图，在AN上截取AG=AC，连接CG，CAB=60，AG=AC，AGC=60，CG=AC=AG，ABC+ADC=180，ABC+CBG=180，CBG=ADC，CBGCDA，BG=AD，AB+AD=AB+BG=AG=AC；（3）证明：由（2）知，ED=BF，AE=AF，在RtAFC中，cosCAF=，即cos，AF=ACcos，AB+AD=AF+BF+AEED=AF+AE=2AF=2cosAC把=60，代入得AB+AD=AC作业2如图，已知：，ADBC，P是AB的中点，PD平分ADC，求证：CP平分
13、DCB【答案】见解析【解析】作PECD，垂足为E，PD平分ADC，又，点P在DCB的平分线上，CP平分DCB作业3如图，在中，D为BC边上的中点，AE平分交BC于E，交AC于F，求CF的长【答案】【解析】解：延长DF交BA延长线与点G，延长FD到H使得，连接BH平分，又，易得，则，设，则，解得，作业4如图1，AD平分BAC，B+C=180，B=90，易知：DB=DC（1）如图2，AD平分BAC，ABD+ACD=180，ABD90求证：DB=DC（2）如图3，四边形ABCD中，B=60，C=120，DB=DC=2，则ABAC=？【答案】（1）见解析（2）2【解析】（1）证明：如图中，DEAB于E
14、，DFAC于F，DA平分BAC，DEAB，DFAC，DE=DF，B+ACD=180，ACD+FCD=180，B=FCD，在DFC和DEB中，DFCDEB，DC=DB（2）解：如图连接AD、DEAB于E，DFAC于F，B+ACD=180，ACD+FCD=180，B=FCD，在DFC和DEB中，DFCDEB，DF=DE，CF=BE，在RtADF和RtADE中，ADFADE，AF=AE，ABAC=（AE+BE）（AFCF）=2BE，在RtDEB中，DEB=90，B=EDB=60，BD=2，BE=1，ABAC=2作业5已知：如图，ABC中，BD平分ABC，BC上有动点P（1）DPBC时（如图1），求证
15、：；（2）DP平分BDC时（如图2），BD、CD、CP三者有何数量关系？【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：在BP上截取，连接DM，DPBC，BD平分ABC，（2）解：，理由是：在BD上截取，连接PM，DP平分BDC，在MDP和CDP中MDPCDP（SAS），作业6如图，点D为锐角ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且DM=DN，BMD+BND=180求证：BD平分ABC【答案】见解析【解析】如图所示：在AB上截取ME=BN，BMD+DME=180，BMD+BND=180，DME=BND，在BND与EMD中，BNDEMD（SAS），DBN=MED，BD=DE，MBD=MED
16、，MBD=DBN，BD平分ABC作业7如图，在ABC中，D是三角形外一点，且，求证：【答案】见解析【解析】延长BD至E，使，连接AE，AD，ABE是等边三角形，在ACD和ADE中，ACDADE（SSS），作业8如图1，在ABC中，BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线lAO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M（1）当直线l经过点C时（如图2），证明：；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系【答案】（1）见解析（2）（3）当点M在线段BC上时，；当点M在BC的延长线上时，；当点M在CB的延长线上时，【解析】该题考查的是等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质（1）证明：连接NDAO平分BAC，直线lAO于H，AH是线段NC的中垂线，；（2）如图，当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为证明：过点C作CNAO交AB于N由（1）可得，过点C作CGAB交直线l于G，M是BC中点，在BNM和CGM中，1.BNMCGM（ASA）（3）BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，；当点M在BC的延长线上时，；当点M在CB的延长线上时，