《专题05极值点偏移问题与拐点偏移问题（原卷版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题05极值点偏移问题与拐点偏移问题（原卷版）.docx（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题05极值点偏移问题与拐点偏移问题【考点预测】1.极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对 称性。若函数/（X）在=%处取得极值，且函数y = /（x）与直线），=交于4（%/）,3（力）两点，则A3的中点为M（七菱,勿，而往往与，后强。如下图所示。图1极值点不偏移图2极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数 = /（用在区间（出切内只有一个极值点与，方程/（x）的解分别为 %、X2，且匕，（1）若工七），则称函数y=/（X）在区间（%，与）上极值点与偏移： （2）若殳%,则函数y = /（x）在区间（阳,它）上极值点与左偏，简
2、称极值点与左偏：（3）若 土手与，则函数y = /（x）在区间区,/）上极值点/右偏，简称极值点与右偏。【方法技巧与总结】1.对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下：（1）定函数（极值点 为小），即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点XO.（2）构造函数，即根据极值点构造对称函数F（x） = /W-/（2Xo-x），若证芭，则令X（3）判断单调性，即利用导数讨论F（x）的单调性.（4）比较大小，即判断函数”（幻在某段区间上的正负，并得出AM与/（2%-幻的大小关系.（5）转化，即利用函数/*）的单调性，将fM与/（2x0 - x）的大
3、小关系转化为x与2% x之间的关系，进而得到所证或所求.区0.【注意】若要证明/（土小包的符号问题，还需进一步讨论三上与X。的大小，得出石乜所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负.构造差函数是解决极值点偏移的种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之它的应用贯穿 了整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在 联系，抓住其木质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性 进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造个适当的 函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许
4、多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁 明快的思路，有着非凡的功效2 .应用对数平均不等式后 旷： 4 + 1 .例2. （2022汕头一模）已知函数=氏-。有两个相异零点玉，x2（x,x2）.（I）求。的取值范围；（2）求证：X+电 -.例3.（海淀区校级月考）已知函数/（幻=*-2）/+g-1）2, aR.（口）求曲线），= /*）在点P（1 , f （1）处的切线方程；（）若&.0,求/（x）的零点个数；（）若/（幻有两个零点X，Xy,证明：X）+ x2 2 .例4. （2022江门一模）已知函数/（%） =加asR是常数.x（口）求曲线），= /*）在点（2, f （2）处的切
5、线方程，并证明对任意切线经过定点;（）证明：2.题型二：极值点偏移:减法型例5. （2022七星区校级月考）已知函数/。）=虫-犷+1.（1）若/（用在（0,+oo）上单调递减，求。的取值范围；（2）若/（x）在戈=1处的切线斜率是g ,证明了（幻有两个极值点再当，且3/2 4阮弓-/gl3.例6. （2022常熟市月考）设函数/。） = /.，g（x） = a（x-l）,其中awR.（1 ）若4 = 1,证明：当 I 时，/（X） g（X）；（2）设F（x） = /（x） g（x）/,且04小,证明：3x0 - x, 2 .例7. （2022黄州区校级模拟）已知函数/（x） = ainx -
6、 （a + ）hix, /（x）的导数为/（x）.（I）当时，讨论了（X）的单调性；71（2）设。0,方程/（工）=工一式有两个不同的零点%，毛（与工2），求证：X）+ e x2 + -.例8. （2022道里区校级二模）已知函数/*） = 比仇。+1）/心，/（X）为函数/。）的导数.（1）讨论函数/（X）的单调性；a（2）若当70时，函数/（工）与g（x） =x的图象有两个交点A（n , y）, Bx2 , y2）（x）x2）,求证: e1x, +-证明：xx2 e2.例10. （2022攀枝花模拟）已知函数/（.r） = /zr + 2 一力R）有最小值加，且M.0.x（）求卢7-6+1
7、的最大值;（）当1取得最大值时，设/（b） = -F（x）有两个零点为王，%（与天），证明:b2?x x2 e .例n. （2022张家口二模）已知函数/（%） = -功竺-是自然对数的底数）有两个零点. x（1）求实数的取值范围；（2）若/（1）的两个零点分别为百，x2,证明：xix2 .例12. （2022武进区校级月考）已知函数/（xME + gfat.（1）若函数/（x）在x=l处的切线与x轴平行，求”的值；（2）若存在/ w-l, 1,使不等式/（理,仪-（4-1）/以对于61, e恒成立，求a的取值范围;（3）若方程/（X）= gf有两个不等的实数根苦、与，试证明题型四：极值点偏移
8、:商型例13.已知函数/（x） = x /（。0）有两个相异零点芭、x2,且用，求证：A-. x2 a例14. （2022新疆模拟）已知函数/（1）=/心-0丫 + ；/.（1）当a = |时，求/（X）的单调区间；（2）已知a.3石，n，K（% 月）为函数幻的两个极值点，求），=2（内一.）_/.的最大值. 3-xl+x2 x2例 15. （2021 春湖北期末）已知函数 f （） = ae + hix- （a e R）.（1）当时，讨论函数/。）的单调性：（2）若函数/（x）恰有两个极值点.，为（用%），且k+x,” Qe + 1）加2e,求区的最大值. 2e-4例16. （2022宁德三
9、模）已知函数/*） =。07 +仇1（4/?）.（1）当e时，讨论函数f（x）的单调性：（2）若函数/（x）恰有两个极值点内，x,（nm）,且不+工2”2/3,求工的最大值.题型五：极值点偏移:平方型例 17. （2022广州一模）已知函数 f（x） = xlnx-ax + x（a R）.（1）证明：曲线），= /（x）在点（1 , f （1）处的切线/恒过定点;（2）若/（幻有两个零点内，居，且2内，证明：Jx12 +x； . e例18. （2022浙江开学）已知ae火，/（x） = x- （其中e为自然对数的底数）.（）求函数y = /（x）的单调区间；（）若函数），= /（ -。有两个零
10、点X , 0 ,求证：x； +X2 2e .例19. （2021秋泉州月考）已知函数/）=也里.ax（1）讨论/（幻的单调性；（2）若（eX）* =（叫）*（是自然对数的底数）,且内0, x2 0 .工9j,证明:x；+xj2.例20. （2022开封三模）已知函数了）=丝.（1）讨论/（X）的单调性；（2）若/ = 2,对于任意为 Z0 ,证明：（x； /（X）-石/（x2）（x：+石）上泾一石.题型六：拐点偏移问题例 21.已知函数 f（x） = 21nx + x2 + x .(1)求曲线y = /(x)在点(1 , 7 (1)处的切线方程.(2)若正实数%，人满足/(X) + /(/)
11、= 4 ,求证：xl+x2.2 .例 22.已知函数/=-/_(+ )x + LMaeR). 2a a a(1)当a0时，讨论函数/(幻的单调性；(2)当 a = g 时，设 g(x) = /(x) + 6x,若正实数, x2,满足 g(X) + g(w)= 4,求证：4+9.2.例 23.已知函数/(x) = /nx + 2x-ov2, 0gR .(I)若/(x)在x=l处取得极值，求。的值；(II)设g(x) = /(x) + (a -4)x ,试讨论函数g(x)的单调性;(III)当 =一2时，若存在正实数X1,工2满足/(R)+ /(工2)+ 3内工2=1+42，求证：Xi +X 2【
12、过关测试】(2022天津河东二模)已知函数/(“ 二工21nx (aeR且。工0).(1) = 2,求函数在(2J(2)处的切线方程.(2)讨论函数的单调性；(3)若函数/(x)有两个零点%、工2(内 2e.1. (2022河北沧县中学高二阶段练习)已知函数x) = x+ + 2欣-有两个不同的零点灯F A(1)求实数。的取值范围；(2)求证：x,x2 1.2. (2022江苏泰州模拟预测)已知函数云-1,其中小人为常数，e为自然对数底数，e = 2.71828-.(1)当。=0时，若函数x)N。，求实数力的取值范围；当为时，若函数/)有两个极值点储，现有如下三个命题：7$ + bx2 28
13、； 2a (芭 + %) 3x(x2 ； (3) Jr -1 + 2 ；请从中任选一个进行证明.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)(2022湖北武汉模拟预测)已知函数/(x) = x-山(I)求证：当 xl 时，hu,2(I)；x+1(2)当方程/( =，有两个不等实数根0毛时，求证：玉+三，+ 】(2022浙江绍兴模拟预测)已知函数/(力二炉2( + 1)，8(刈=/+(一卜一(4 + 2)(其中0。2.71828是自然对数的底数)(1)试讨论函数/(的零点个数；当41时，设函数(x) = /(x)-g(x)的两个极值点为,、巧且不-LkeR. I x+U若k=0,证明：xe
14、(l,o)时，/(X)v-l；(2)若函数/(幻恰有三个零点百,修，七，证明：x,+x2+x3l .4. (2022湖南岳阳一中一模)已知函数/(x) = Hn(x+2)T(ae/?). (1)讨论/(x)的单调性和最值；(2)若关于x的方程eX=2-_ln/=(?0)有两个不等的实数根中马，求证：e+e-. m m x+2m5. (2022山东青岛二中高三期末)已知函数x) = x(l-mnx), awR.(1)讨论/(.丫)的单调性；(2)若工40,时，都有/(力1,求实数a的取值范围；(3)若有不相等的两个正实数毛，满足胃二=血，证明：阳+工20时，若函数屋力=疣+/(力,求g(x)的单调区间;(3)当。0时，若函数力(司=/(+ 2/-冰恰有两个不同的极值点为、巧，且$ 看，求证：然m0) (e为自然对数的底数，aGR). e(1)求/a)的单调区间和极值;(2)若存在工产勺，满足/(内)=/(工2)，求证： ,(2022全国高三专题练习)已知函数= X(1)若/(I) =2,求。的值;(2)若存在两个不相等的正实数.满足/区)=/(12)，证明： 2菁 +x2 2a ；