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1、解:2.已知第1页/共50页解:3.设第2页/共50页解:4.写出向量的线性组合,其中:(1)(2)(1)(2)第3页/共50页5.设向量组问:向量 可以由向量写出其表达式.线性表示?若可以，第4页/共50页解：设 即所以向量 可以由向量则有:解方程组得：线性表示第5页/共50页3.2线性相关与线性无关一.判断下列向量组的线性相关性(1)解:由于与对应分量不成比例,所以与线性无关.(2)解:由于向量组中含有零向量,所以向量组线性相关第6页/共50页(3)解:向量组线性无关.(4)解:第7页/共50页即有也即有由于齐次线性方程组的系数行列式齐次线性方程组有非零解,第8页/共50页由于方法2:所以
2、线性相关.(5)因为向量个数大于向量维数，所以向量组线性解:相关。第9页/共50页二.填空题(1)已知向量组线性相关,则k=_.解:则有:即有:2即k=2时,第10页/共50页(2)设向量组线性无关,则a,b,c 必满足关系式_.abc 0解:要使线性无关,则有所以 a,b,c 需满足abc0.n维单位向量组(3)都可由向量组线性表示,则r_ n.解:因为n维单位向量组线性无关,且每个向量都能由向量组线性表示,由课本72页推论1知:第11页/共50页三.选择题线性无关的充分必要条件是().中必有两个向量的分量对应(1)向量组(A)向量组不成比例;(B)向量组中不含零向量;(C)向量组中任意一个
3、向量都不能由其余n-1个向量线性表示;(D)存在全为零的数使成立.C第12页/共50页(2)设其中则有().(A)向量组是任意实数,总线性相关;(B)向量组总线性相关;(C)向量组总线性无关;(D)向量组总线性无关.C第13页/共50页四.若已知向量组证明线性无关,线性相关.由于向量组证:1、线性无关,则线性无关.2、线性无关.(1)第14页/共50页四.若已知向量组证明线性无关,线性无关.由于向量组证:1、线性无关,线性相关.2、线性相关.(2)令第15页/共50页3、已知向量组问线性无关,是否线性无关？解:向量组考察向量方程由于向量组线性无关.第16页/共50页3、已知向量组问线性无关,是
4、否线性无关？当m为偶数时，方程组有非零解，则向量组线性相关解:向量组当m为奇数时，方程组有零解，则向量组线性无关。第17页/共50页五.设有向量组问：向量 能否由向量组唯一线性表示?解:由于向量组线性相关,则向量 只要向量组线性无关,唯一线性表示.必可由向量组线性无关.唯一线性表示.由于所以向量组因此向量 能由向量组第18页/共50页六.设已知向量组向量组线性相关,线性表示？证明你的结论。解:（1）,且表达式唯一。（2）(1)根据向量组线性相关性的性质可得：线性无关，问能否由能否由线性表示？证明你的结论。线性表示能由因为线性无关，则线性无关，线性相关,又因为线性表示能由第19页/共50页六.设
5、已知向量组向量组线性相关,线性表示？证明你的结论。用反证法证明：解:（1）即：（2）(2)代入上式得：线性无关，问能否由能否由线性表示？证明你的结论。不能由线性表示能由线性表示设由（1），可设即能由线性表示线性相关.与已知条件矛盾，假设不成立，故命题成立.第20页/共50页一.填空题1、若解:则向量组由于所以向量组是线性_.线性无关.3.3 向量组的秩此向量组的部分组仍线性无关.应填:无关.无关2、设向量组()的秩为向量组()的秩为相等解:因为二向量组等价,则它们的秩相等.应填:相等或且()()，第21页/共50页二.选择题1、若向量组是向量组的极大线性无关组,则下列论断不正确的是().解:由
6、于向量组是向量组的极大线性无关组,显然向量组线性无关.而向量组线性相关,故B第22页/共50页此外,由排除法知选项(B)错误.故应选(B).选项(A)正确.选项(C)正确.选项(D)也正确.显然2、若向量组的秩r ，则（）B向量组向量组线性无关；线性相关；存在一个向量可以由其余向量线性表示；任一向量都不能由其余向量线性表示；第23页/共50页当向量组的秩等于向量个数时，向量组线性无关；3、若向量组都是向量组则有().解:同一向量组的极大线性无关组所含向量的个数是相同的.故选项(C)正确.C的极大无关组,解:根据向量组的秩与向量个数的关系：当向量组的秩小于向量个数时，向量组线性相关；选项(B)正
7、确.第24页/共50页三.求下列向量组的秩(必须有解题过程):解:解:第25页/共50页当时，当时，当时，第26页/共50页四.求下列向量组的一个极大线性无关组,并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.解:第27页/共50页无关组为向量组的极大线性且有:第28页/共50页2、解:第29页/共50页向量组的极大线性无关组为：且有:第30页/共50页五.已知向量组(1)求(2)求向量组的一个极大线性无关组，并将其余解:的秩为3的向量用极大线性无关组线性表示。第31页/共50页且当时，将矩阵的第3行加到第四行可将第四行化为零行，则向量组的极大线性无关组为第32页/共50页六.设n维基本单位向量组可由
8、n维向量组线性表示,证明向量组线性无关.证:因n维基本单位向量组线性表示,而n维向量组等价.可由n维向量组由于等价的向量组有相同可由n维基本单位向量组线性表示,因此向量组与向量组的秩,而所以因此向量组线性无关.证毕.第33页/共50页七.设证明:，证明：线性无关考虑向量方程：即：线性无关线性无关第34页/共50页*八.设()若各向量组的秩分别为:()()R()=R()=3,R()=4,证明向量组证:因为向量组的秩为3,而向量组中含3个向量,所以向量组线性无关.同理,因为向量组的秩为4,而向量组中含4个向量,所以向量组线性无关.又因为向量组的秩为3,但向量组中含4个向量,故向量组线性相关.因此向
9、量可由向量组线性表示.即有第35页/共50页向量方程由于向量组线性无关.显然向量组仍线性无关.因此向量组的秩为4.第36页/共50页一.设为什么?解:3.4 向量空间是向量空间,不是向量空间.这是因为:则有而若第37页/共50页对数乘运算封闭.这表明而又是向量空间.所以又若则有对加法运算封闭.这表明第38页/共50页所以但显然不是向量空间.因此而这表明对数乘运算不封闭.二、1.向量下的坐标是（)解:在基第39页/共50页2.已知 的两个基为：求由基 到基 的过渡矩阵。解:设由基 到基 的过渡矩阵为C则第40页/共50页三.设四维向量空间V的两个基满足：（1）求由基()到基()的过渡矩阵C;()
10、()（2）求向量在基()下的坐标。解：第41页/共50页第42页/共50页第43页/共50页四.1.试证是的一组基,并求一组标准正交基.1.证:先证线性无关.由于所以线性无关.第44页/共50页令都可用即有再证任意3维向量则有所以这表明任意3维向量都可用因此3维向量组取值唯一.唯一线性表示.由于线性表示.生成的空间即为证毕.以下求的一组标准正交基.第45页/共50页则令再将单位化.第46页/共50页则为的一组标准正交基.(答案不唯一)第47页/共50页2.设证明：由它们所生成的向量空间是证明:的分量构成的行列式由向量第48页/共50页所以可以为向量空间V的一组基所以第49页/共50页感谢您的观看！第50页/共50页