通信原理第2章.pptx

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1、会计学1通信原理第通信原理第2章章2.2随机过程的描述随机过程的描述n n 设设 是一个随机变量，则是一个随机变量，则 的取值是随机的，如果的取值是随机的，如果 随时间随时间t t改变，表示为改变，表示为(t)(t)，这时称，这时称(t)(t)是一个随机过程。是一个随机过程。n n 随机过程的特征有：随机过程的特征有：n n（1 1）在给定的观察时间内，是时间）在给定的观察时间内，是时间t t的函数。的函数。n n（2 2）在任一时刻上观察到的值不确定，是一个随机变）在任一时刻上观察到的值不确定，是一个随机变量量第1页/共51页 例如，从t=0时刻开始，用”无数个”完全一样的“录音机在车辆来往

2、的马路上录音，记录噪声的波形，记录的n条曲线是完全不相同的波形。每一条波形就是随机过程的一个实现如图 2-1 所示。第2页/共51页随机过程与随机变量的不同：（1）随机变量的样本空间是一个实数集合（2）随机过程的样本空间是一个时间函数的集合。因此，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。第3页/共51页 2.2.2随机过程的统计特性随机过程的统计特性 设(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1T，其取值(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量(t1)小于或等于某一数值x1的概率P(t1)x1，简记为F1(x1,t1)，称为随机过程(t

3、)的一维分布函数。即F1(x1,t1)=P(t1)x1 (2.1-1)如果F1(x1,t1)对x1的偏导数存在，即有则称f1(x1,t1)为(t)的一维概率密度函数。第4页/共51页 显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，为此需要进一步引入二维分布函数和多维分布函数。任给两个时刻t1,t2T，则随机变量(t1)和(t2)构成一个二元随机变量(t1),(t2)，称 F2(x1,x2;t1,t2)=P(t1)x1,(t2)x2 为随机过程(t)的二维分布函数。如果存在则称f2(x1,x2;t1,t2

4、)为(t)的二维概率密度函数。第5页/共51页同理，任给t1,t2,tnT,则(t)的n维分布函数被定义为Fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)=P(t1)x1,(t2)x2,(tn)xn 如果Fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)对x1,x2,xn 的偏导数存在，则称 为(t)的n维概率密度函数。显然，n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。第6页/共51页 2.2.3随机过程的数字特征随机过程的数字特征 分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性,但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数

5、和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。1.数学期望 设随机过程(t)在任意给定时刻t1的取值(t1)是一个随机变量，其概率密度函数为f1(x1,t1)，则(t1)的数学期望为第7页/共51页 注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t,x1改为x,这时上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)，于是a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。2.方差方差方差是随机过程在均值上下波动程度的一种统计特征。方差是随机过程在均值上下波动程度的一种统计特征。E第8页/共51页 D(t)常记为2(t)。它表示随机过程在时刻t对于

6、均值a(t)的偏离程度。均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，常用协方差函数B(t1,t2)和相关函数R(t1,t2)来表示。3.相关函数相关函数协方差函数定义为 B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2)=f2(x1,x2;t1,t2)dx1dx2第9页/共51页 式中，t1与t2是任取的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2时刻得到的数学期望；f2(x1,x2;t1,t2)为二维概率密度函数。相关函数定义为 B(t1,t2)=E(t1)(t2)二者关系为B(t1,t

7、2)=R(t1,t2)-a(t1)a(t2)若a(t1)=0或a(t2)=0，则B(t1,t2)=R(t1,t2)。若t2t1，并令t2=t1+，则R(t1,t2)可表示为R(t1,t1+)。这说明，相关函数依赖于起始时刻t1及t2与t1之间的时间间隔,即相关函数是t1和的函数。第10页/共51页2.22.2平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程 2.2.1定义定义 在实际应用中。特别是通信中所遇到的大多属于平稳随机过程。所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移而变化。也就是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。即满足 fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)

8、=fn(x1,x2,xn;t1+h,t2+h,tn+h)(2.2-1)则称(t)是平稳随机过程。该定义说明，当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的。具体到它的一维分布,则与时间t无关，而二维分布只与时间间隔有关，即有第11页/共51页 f1(x1,t1)=f1(x1)(2.2-2)和 f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2;)(2.2-3)于是，平稳随机过程(t)的均值 即期望为一常数。同样，可以证明平稳随机过程的方差 2(t)=2=常数。而平稳随机过程(t)的自相关函数R(t1,t2)=E(t1)(t1+)仅是时间间隔=t2-t1的函数，即R(t1,t

9、1+)=R()第12页/共51页注意到式（2.2-1）定义的平稳随机过程对于一切n都成立，这在实际应用上很复杂。但一个随机过程的仅仅满足期望和方差是常数，自相关函数是的函数，这些只涉及一维和二维数字特征，此时称它为严平稳随机过程。通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的，且均指广义平稳随机过程，简称平稳过程。第13页/共51页 2.2.2各态历经性各态历经性 平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”。“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，我们无需（实际中也

10、不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从随机过程的任意一个样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。第14页/共51页 也就是说，假设x(t)是平稳随机过程(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为 注意：注意：具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。一般均能满足各态历经条件。第15页/共51页2

11、.4高斯随机过程高斯随机过程 2.4.1 定义定义 高斯过程又称正态随机过程，在通信领域普遍存在，如信道中的噪声通常就是一种高斯过程。定义：随机过程(t)的任意n维（n=1,2,）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。重要性质：（1）如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的n维分布与时间起点无关。所以，广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。第16页/共51页（2）如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的（3）高斯过程通过线性网络，输出仍是高斯过程 2.4.2高斯过程的统计特性高斯过程的统计特性 以后分析问

12、题时，会经常用到高斯过程中的一维分布。高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量，其一维概率密度函数可表示为式中，a为高斯随机变量的数学期望，2为方差。f(x)曲线如图 所示。第17页/共51页 由式（2.4-1）和图可知f(x)具有如下特性：(1)f(x)对称于x=a这条直线。(2)（2.4-2）且有图 高斯分布的密度函数（2.4-3）第18页/共51页（3）a表示分布中心，表示集中程度，f(x)图形将随着2的减小而变高和变窄。（4）当a=0，=1时，称f(x)为标准正态分布的密度函数。（2.4-4）第19页/共51页 2.4.3高斯白噪声高斯白噪声 信号在信道中传输时，常会遇到这样一

13、类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，这种噪声被称为白噪声.白噪声的功率谱密度函数为：双边谱密度：单边谱密度：它是一个理想的宽带随机过程。式中n0为一常数，单位是瓦/赫。第20页/共51页 R()仅在=0处才有值，这说明，白噪声只有在=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。如果白噪声又是服从高斯分布的，我们就称之为高斯白噪声。应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。显然，白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即第21页/共51页n n 带限白噪声带限白噪

14、声n n 若白噪声被限制在（若白噪声被限制在（-f-f0,0,f f0 0）范围内，即在该频率区上有）范围内，即在该频率区上有P P0 0()=n()=n0 0/2,/2,而在该区间外而在该区间外P P0 0()=0()=0，即，即P0()=n0/2 0 其他图 带限白噪声的功率谱和自相关函数第22页/共51页其自相关函数为 由此可见，带限白噪声只有在=k/2f0(k=1,2,3,)上得到的随机变量才不相关。它告诉我们，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。这是一个很重要的概念。第23页/共51页2.52.5窄带随机过程窄带随机过程窄带随机过程窄带随机过程 任何通

15、信系统都有发送机和接收机，通常在接收机的输入端有一个带通滤波器，信道内的噪声经过带通滤波器之后就变成了窄带随机过程。所谓窄带系统，指其通带宽度ffc，且fc远离零频率的系统。随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带过程。n(t)发送+带通滤波器接收第24页/共51页图图图图2-5-2 2-5-2 窄带过程的频谱和波形示意窄带过程的频谱和波形示意窄带过程的频谱和波形示意窄带过程的频谱和波形示意实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。如用示波器观察一个实现的波形，则如图2 5-2所示，它是一个频率

16、近似为fc，包络和相位随机缓变的正弦波。第25页/共51页 因此，窄带随机过程(t)可用下式表示:(t)=a(t)cosct+(t),a(t)0(2.5-1)等价式为(t)=c(t)cosct-s(t)sinct (2.5-2)其中c(t)=a(t)cos(t)(2.5-3)s(t)=a(t)sin(t)(2.5-4)式中,a(t)及(t)分别是(t)的随机包络和随机相位，c(t)及s(t)分别称为(t)的同相分量和正交分量。由此看出，(t)的统计特性可由a(t)，(t)或c(t),s(t)的统计特性确定。反之，如果已知(t)的统计特性则可确定a(t),(t)以及c(t)，s(t)的统计特性。

17、第26页/共51页 2.5.1同相和正交分量的统计特性同相和正交分量的统计特性 设窄带过程(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零，方差为2。下面将证明它的同相分量c(t)和正交分量s(t)也是零均值的平稳高斯过程，而且与(t)具有相同的方差。1.数学期望数学期望 对式（2.5-2）求数学期望:E(t)=Ec(t)cosct-Es(t)sinct (2.5-5)可得 Ec(t)=0 Es(t)=0 (2.5-6)第27页/共51页2.自相关函数自相关函数 R(t,t+)=E(t)(t+)=Ec(t)cosct-s(t)sinct c(t+)cosc(t+)-s(t+)sinc(t+)=Rc(t,t

18、+)cosct cosc(t+)-Rcs(t,t+)cosctsinc(t+)-Rsc(t,t+)sinctcosc(t+)+Rs(t,t+sinctsinc(t+)式中Rc(t,t+)=Ec(t)c(t+)Rcs(t,t+)=Ec(t)s(t+)Rsc(t,t+)=Es(t)c(t+)Rs(t,t+)=Es(t)s(t+)第28页/共51页 因为(t)是平稳的，故有 R(t,t+)=R()这就要求式（2.5-7）的右边也应该与t无关，而仅与时间间隔有关。若取使sinct=0 的所有t值，则式（2.5-7）应变为 R()=Rc(t,t+)cosc-Rcs(t,t+)sinc(2.5-8)这时，

19、显然应有 Rc(t,t+)=Rc()Rcs(t,t+)=Rcs()所以，式（2.5-8）变为 R()=Rc()cosc-Rcs()sinc (2.5-9)第29页/共51页再取使cosct=0的所有t值，同理有 R()=Rs()cosc+Rsc()sinc (2.5-10)其中应有 Rs(t,t+)=Rs()Rsc(t,t+)=Rsc()由以上的数学期望和自相关函数分析可知，如果窄带过程(t)是平稳的，则c(t)与s(t)也必将是平稳的。第30页/共51页进一步分析，式（2.5-9）和式（2.5-10）应同时成立，故有 Rc()=Rs()(2.5-11)Rcs()=-Rsc()(2.5-12)

20、可见，同相分量c(t)和正交分量s(t)具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，应有 Rcs()=Rsc(-)将上式代入式（2.5-12），可得 Rsc()=-Rsc(-)(2.5-13)同理可推得 Rcs()=-Rcs(-)(2.5-14)第31页/共51页式（2.5-13）、（2.5-14）说明，c(t)、s(t)的互相关函数Rsc()、Rcs()都是的奇函数，在=0时 Rsc(0)=Rcs(0)=0 (2.5-15)于是，由式（2.5-9）及式（2.5-10）得到 Rsc(0)=Rcs(0)=0 (2.5-15)于是，由式（2.5-9）及式（2.5-10）得到 R(0)=Rc(0

21、)=Rs(0)(2.5-16)即2=2c=2s (2.5-17)这表明(t)、c(t)和s(t)具有相同的方差.第32页/共51页综上所述，我们得到一个重要结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t)，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)也是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同。第33页/共51页2.62.6随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络）后，输出过程将是什么样的过程？这里，我们只考

22、虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应y(t)等于输入信号x(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即y(t)=x(t)*h(t)=第34页/共51页若线性系统是物理可实现的，则 如果把x(t)看作是输入随机过程的一个样本，则y(t)可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输入过程i(t)的每个样本与输出过程o(t)的相应样本之间都满足上式的关系，如图所示。这样，就整个过程而言，便有o(t)=第35页/共51页假定输入i(t)是平稳随机过程，现在来分析系统的输出过程o(t)的统计特性。我们

23、只讨论输出过程的数学期望、自相关函数。1.输出过程o(t)的数学期望两边取统计平均，有 式中利用了平稳性假设Ei(t-)=Ei(t)=a(常数)。又因为第36页/共51页 H(W)=求得H(0)=所以Eo(t)=aH(0)由此可见,输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数H(0)的乘积，且Eo(t)与t无关。2.输出过程输出过程o(t)的自相关函数的自相关函数 第37页/共51页Ro(t1,t1+)=Eo(t1)o(t1+)=E 根据平稳性 Ei(t1-)i(t1+-)=Ri(+-)有Ro(t1,t1+)=h()h()Ri(+-)dd=Ro（）可见,o(t)的自相关函数只依赖时间

24、间隔而与时间起点t1无关。由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。第38页/共51页2.7平稳随机过程通过乘法器平稳随机过程通过乘法器 与线性系统相对应，随机过程经过乘法器，若输入是稳随机过程，那么输出是否还是平稳的？输出的功率谱密度又如何让变化？如图是平稳随机过程经过乘法器示意图其输出为o(t)=i(t)cosct第39页/共51页第40页/共51页所以，平稳随机过程经过乘法器后，输出信号的功率谱密度的幅度变为原来的1/4，位置分别平移到载波角频率+wc和-wc处。第41页/共51页2.62.6正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声正

25、弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声 信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波，这是通信系统中常会遇到的一种情况，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。设合成信号为 r(t)=A cos(ct+)+n(t)(2.6-1)第42页/共51页 式中,n(t)=nc(t)cosct-ns(t)sinct为窄带高斯噪声，其均值为零，方差为2n；正弦信号的A,c均为常数，是在(0,2)上均匀分布的随机变量。于是 r(t)=Aco

26、s+nc(t)cosct-Asin+ns(t)sinct =zc(t)cosct-zs(t)sinct =z(t)cosct+(t)(2.6-2)式中zc(t)=A cos+nc(t)(2.6-3)zs(t)=Asin+ns(t)(2.6-4)第43页/共51页合成信号r(t)的包络和相位为z(t)=利用上一节的结果，如果值已给定，则zc、zs是相互独立的高斯随机变量，且有 Ezc=Acos Ezs=Asin第44页/共51页 所以，在给定相位的条件下的zc和zs的联合概率密度函数为 f(zc,zs/)=利用上一节相似的方法，根据式（2.6-3）、（2.6-4）可以求得在给定相位的条件下的z和

27、的联合概率密度函数为f(z,/)=f(zc,zs/)=zf(zc,zs/)第45页/共51页求条件边际分布，有由于故有 第46页/共51页 式中，I0(x)为零阶修正贝塞尔函数。当x0时，I0(x)是单调上升函数，且有I0(0)=1。因此 f(z/)=由上式可见，f(z/)与无关，故正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为 这个概率密度函数称为广义瑞利分布，也称莱斯（Rice）密度函数。上式存在两种极限情况：第47页/共51页 （1）当信号很小，A0，即信号功率与噪声功率之比 =r0时，x值很小，有I0(x)=1，这时合成波r(t)中只存在窄带高斯噪声，式（2.6-8）近似为式（2.5-21）

28、，即由莱斯分布退化为瑞利分布。（2）当信噪比r很大时，有I0(x)，这时在zA附近，f(z)近似于高斯分布，即 f(z)由此可见，信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关。小信噪比时，它接近于瑞利分布；大信噪比时，它接近于高斯分布；在一般情况下它是莱斯分布。图 2-7（a）给出了不同的r值时f(z)的曲线。第48页/共51页 关于信号加噪声的合成波相位分布f()，由于比较复杂，这里就不再演算了。不难推想，f()也与信噪比有关。小信噪比时，f()接近于均匀分布，它反映这时窄带高斯噪声为主的情况；大信噪比时，f()主要集中在有用信号相位附近。图 2-7（b）给出了不同的r值时f()的曲线。第49页/共51页图图图图 2 7 2 7 正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布 第50页/共51页