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1、式中上的连续函数。及是区间n阶线性齐次微分方程:如果式中的则(4.1)变为 我们称以上方程为n阶线性齐次微分方程，简称齐线性方程,（4.1）称非齐线性方程。第1页/共43页上面两个方程分别为齐次和非齐次的线性方程。关于高阶方程同一阶方程一样,也有相类似的解的存在惟一性定理.第2页/共43页定理4.1：如果(4.1）的系数 及右端函数 在区间 上连续，则对任一个 及任意的 方程（4.1）存在惟一的解 满足下列初始条件 第3页/共43页引入 称L为线性微分算子.为常数.性质3.2 线性微分算子:性质3.1例如:第4页/共43页二、齐次线性方程解的性质和结构定理4.2(叠加原理)如果 是方程（4.2
2、）的n个解，则它的线性组合 也是方程（4.2）的解，这里是常数.第5页/共43页例1 验证是方程 的解.解:分别将代入方程,得所以为方程的解.第6页/共43页基本解组:如果方程（4.2）的任意一个解都可以表示为 ,是方程组（4.2）则称的基本解组。线性相关:对定义在区间(a,b)上的函数组 如果存在不全为0的常数 ，使得 第7页/共43页在(a,b)上恒成立,称这些函数在所给的区间上线性相关，不然称这些函数线性无关.例2:函数在任何区间上都是线性无关的，因为如果(4.5)只有当所有的 时才成立.第8页/共43页事实上,如果至少有一个则(4.5)式的左端是一个不高于n次的多项式，它最多可有n个不
3、同的根.因此,它在所考虑的区间上不能有多于n个零点,更不可能恒为零.注1：在函数 中有一个函数等于零,则函数在（a,b）上线性相关。第9页/共43页注2：考虑到两个函数构成的函数组 如果 或 则在（a,b）上线性无关的充要条件为 或在（a,b）上不恒为常数.在(a,b)上有定义,例3:在任何区间上都线性无关.在任何区间上都线性相关.第10页/共43页注3：函数组的线性相关与线性无关是依赖于所取例4:函数 上是线性无关,而在上是线性相关的.的区间。事实上和在区间上不是常数,分别在区间和上是常数.第11页/共43页Wronskian 行列式:由定义在区间（a,b）上的k个k-1次可微函数 所作成的
4、行列式称为这些函数的Wronskian行列式,通常记做 第12页/共43页定理4.3 如果函数组 在区间(a,b)上线性相关,则在(a,b)上它们的 Wronskian证明:由假设知存在一组不全为零的常数使得依次将此恒等式对t微分,得到n个恒等式行列式恒等于零,即.第13页/共43页上述n个恒等式所组成的方程组是关于的齐次方程组,它的系数行列式就是Wronskian行列式,由线性代数的知识知,要使方程组存在非零解,则必有第14页/共43页处不等于0,即,则该函数组在区间注:定理3.3的逆定理不一定成立.例 推论 4.1如果函数组的Wronskian行列式在区间（a,b）上某点 上线性无关。第1
5、5页/共43页显然对所有的t,恒有但在上线性无关.事实上,假设存在恒等式则当时,有当时,有故在上线性无关.第16页/共43页定理4.4 若函数组 是方程（3.2.2）在区间（a,b）上的n个线性无关的解,则它们的Wronskian 行列式在该区间上任何点都不为零.证明:用反证法假设有使得考虑关于的齐次线性代数方程组第17页/共43页其系数行列式故它有非零解现以这组解构造函数由定理3.2 知,是方程(4.2)的解.又因为第18页/共43页即这个解满足初始条件又也是方程(4.2)满足初始条件的解,由解的惟一性知,由不全为零,知矛盾,从而定理得证.第19页/共43页使得它的Wronskian 行列式
6、在区间（a,b）上的n个解。如果存在 则该解组在（a,b）上线性相关.推论4.2：设是方程(4.2)推论4.3 方程（4.2）的n个解 在其定义区间（a,b）上线性无关的充要条件是在存在一点 使得 该区间上第20页/共43页定理4.5 n阶齐次线性方程组（4.2）一定存在n个线性无关的解.下面几个定理给出了线性无关解组,基本解组,及通解的关系.证明:由定理4.1 知,方程满足初始条件第21页/共43页的解一定存在,因为所以这n个解一定线性无关,故定理得证.定理4.6 如果 是n阶齐次方程（4.2）的n个线性无关的解。则它一定是该方程的基本解组，即方程（4.2）的任一解 都可以表示成证明:设是方
7、程(4.2)的任一解,并且满足条件第22页/共43页考虑方程组由于它的系数行列式是方程的n个线性无关解的Wronskian 行列式在 处的值,故它不为零.因而上面的方程组有惟一解现以这第23页/共43页组解构造函数由解的叠加原理和惟一性定理得即定理4.7(通解结构定理)若 是方程（4.2）的n个线性无关的解，则方程的通解可以表示成 其中 是任意常数.第24页/共43页综上得到下列等价命题.定理4.8是方程（4.2）的n个解，设 则下列命题等价(1)方程（4.2）的通解为(2)是方程的基本解组.(3)在(a,b)上线性无关.(4)存在使(5)任给有 第25页/共43页定理 4.9(刘维尔公式)注
8、1：在 内有一点为零，则在整个上恒为零.设 是（4.2）的任意n个解，是它的Wronskian行列式，则对(a,b)上任意都有 一点，上述公式我们称为刘维尔(Liouville)公式.第26页/共43页注2：对二阶微分方程 若 是方程的一个解，则可得通解.设是 与 不同解，则由刘维尔公式可以推得用 乘以上式两端可得 第27页/共43页由此得 取 则为另一个解，因为所以与线性无关.第28页/共43页例5 求方程 的通解.解：易知 为通解，所以 第29页/共43页三、非齐次线性方程解的结构定理4.10 n阶线性非齐次方程 的通解等于它所对应的齐次方程的通解与 它的一个特解之和。(4.10)第30页
9、/共43页证明:设是方程（4.10)的一个特解，是方程（4.2)的通解。即证对于（4.10）的任意一解总可以表示为事实上，因为所以于是是方程(4.2)的基本解组.第31页/共43页定理 4.11 设 与 分别是非齐次线性方程和的解，则 是方程 的解。第32页/共43页证明：由已知可得因为所以是方程的解。第33页/共43页常数变易法求特解是方程（4.2）的n个线性设 无关的解，因而(4.2)的通解为(4.11)为求(4.1)的一个特解,将(4.11)中的 常数看成关于t 的函数,此时(4.11)式变为(4.12)将(4.12)代入(4.1)得到一个所满足的关系式.第34页/共43页我们还需要另外
10、 n-1个条件来求出在理论上这些条件是任意给出的,为了运算的方便,我们按下面的方法来给出这 n-1 个条件.对(4.12)式两边对t 求导得令得到第35页/共43页对上式两边继续对t 求导,并象上面的方法一样,我们得到继续上面的做法,直到获得第 n-1 个条件第36页/共43页最后,将上式两边对t 求导得将上面得到的代入(4.10),得到由n 个未知函数所满足的方程组第37页/共43页该方程组的系数行列式恰好是(4.2)的n 个线性无关解的 Wronskian 行列式,故它不等于零,因而该方程组有惟一解.由上面方程组求得第38页/共43页这样我们就得到了(4.1)的特解.从而(4.1)的通解为第39页/共43页例6 求方程 的通解，已知它的对应 齐次线性方程的两个解为 解：利用常数变易法，令 将它带入方程，可得关于 的方程 第40页/共43页解得 于是原方程的通解为 第41页/共43页作业：习题4.1，：2、3（1、2、3、4）、4第42页/共43页感谢您的观看！第43页/共43页