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1、7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量一、特征值与特征向量一、特征值与特征向量 二、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的求法7.4 特征值与特征向量特征值与特征向量 三、特征子空间三、特征子空间四、特征多项式的有关性质四、特征多项式的有关性质第1页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是 一个对角矩阵?引入引入有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵.变换都可以用矩阵来表示.为了研究线性变换性质，第2页/共29页7.47.4 特征值与特征向
2、量特征值与特征向量设是数域P上线性空间V的一个线性变换，则称为 的一个特征值特征值，称为的属于特征值一、特征值与特征向量一、特征值与特征向量 定义：定义：若对于P中的一个数存在一个V的非零向量使得的特征向量特征向量.第3页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，注：注：相同 或相反时 若 是 的属于特征值的特征向量，则也是 的属于的特征向量.但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即若且，则第4页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量设 是V的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为A.
3、下的坐标记为 二、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的求法 分析：分析：分析：分析：设是的特征值，它的一个特征向量在基则 在基下的坐标为第5页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量而 的坐标是于是又从而 又即 是线性方程组 的解，有非零解.所以它的系数行列式 第6页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量以上分析说明：若是的特征值，则反之，若满足则齐次线性方程组有非零解.若是一个非零解，特征向量.则向量就是的属于的一个第7页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量设 是一个文字，矩阵称为称为A的特征多项式特征多项式.1.特征多项式的定义
4、特征多项式的定义A的特征矩阵特征矩阵，它的行列式（是数域P上的一个n次多项式）第8页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,注：注：若矩阵A是线性变换关于V的一组基的矩阵，而是的一个特征值，则是特征多项式的根，即的一个特征值.反之，若是A的特征多项式的根，则就是（所以，特征值也称特征根.）而相应的线性方程组 的非零解也就称为A的属于这个特征值的特征向量.第9页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量 i)在V中任取一组基 写出 在这组基下就是的全部特征值.ii)求A的特征多项式 在P上的全部根它们2.求特征值与特征向
5、量的一般步骤求特征值与特征向量的一般步骤的矩阵A.iii)把所求得的特征值逐个代入方程组的全部线性无关的特征向量在基 下的坐标.)并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值第10页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量 则就是属于这个特征值 的全部线性无关的特征向量.而（其中，不全为零）就是的属于 的全部特征向量.如果特征值 对应方程组的基础解系为：第11页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量对皆有所以，V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.例例1.在线性空间V中，数乘变换K在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是故数乘法变换K的特
6、征值只有数k，且第12页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量解：A的特征多项式 例例2.设线性变换在基 下的矩阵是求特征值与特征向量.故的特征值为：（二重）第13页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量 把 代入齐次方程组 得 即 它的一个基础解系为：因此，属于 的两个线性无关的特征向量为而属于 的全部特征向量为不全为零 第14页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量因此，属于5的一个线性无关的特征向量为 把 代入齐次方程组 得 解得它的一个基础解系为：而属于5的全部特征向量为第15页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向
7、量三、特征子空间三、特征子空间 定义定义：再添上零向量所成的集合，即设 为n维线性空间V的线性变换，为的一个特征值，令 为的属于的全部特征向量则 是V的一个子空间,称之为的一个特征子空间特征子空间.第16页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量注：注：的解空间的维数，且由方程组(*)得到的属于的若在n维线性空间V的某组基下的矩阵为A，则即特征子空间 的维数等于齐次线性方程组(*)全部线性无关的特征向量就是 的一组基.第17页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量四、特征多项式的有关性质四、特征多项式的有关性质1.设设 则则A的特征多项式的特征多项式由多项式根
8、与系数的关系还可得 A的全体特征值的积 A的全体特征值的和称之为A的迹的迹,记作trA.第18页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量证:设 则存在可逆矩阵X，使得2.(定理定理6)相似矩阵具有相同的特征多项式.于是，第19页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量注：注：有相同特征多项式的矩阵未必相似.成是矩阵A的特征值与特征向量.它们的特征多项式都是，但A、B不相似.多项式；而线性变换的特征值与特征向量有时也说因此,矩阵A的特征多项式也说成是线性变换的特征 由定理6线性变换的特征值与基的选择无关.如 第20页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与
9、特征向量设 为A的特征多项式,则证:设 是 的伴随矩阵，则3.哈密尔顿哈密尔顿凯莱凯莱（HamiltonCaylayHamiltonCaylay）定理定理都是的多项式，且其次数不超过n1.又的元素是的各个代数余子式，它们因此，可写成零矩阵第21页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量其中，都是 的数字矩阵.再设则，而比较、两式，得第22页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量以依次右乘的第一式、第二式、第n式、第n1 1式，得第23页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量把的n1 1个式子加起来，即得4.设为有限维线性空间V V的线性变换，
10、是的特征多项式，则零变换第24页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量例例3.设求设求解：A的特征多项式用去除得第25页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量第26页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量练习练习1：已知为已知为A的一个特征值，则的一个特征值，则（1）必有一个特征值为;（2）必有一个特征值为;（3）A可逆时，必有一个特征值为;（4）A可逆时，必有一个特征值为.（5）则 必有一个特征值为.第27页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量行列式.练习练习2：已知已知3 3阶方阵阶方阵A的特征值为：的特征值为：1 1、1 1、2 2，则矩阵的特征值为：，第28页/共29页7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量感谢您的观看！第29页/共29页