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1、说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如例如第1页/共34页2 2、矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律记-A=(-aij),成为矩阵A的负矩阵第2页/共34页1 1、定义、定义二、数与矩阵相乘第3页/共34页2 2、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的统称为矩阵的线线性运算性运算.（设 为 矩阵，为数）第4页/共34页1、引例产品 一厂二厂三、矩阵与矩阵相乘单位 单位 价格 利润总收入 总利润一厂二厂可见 c11=a11b11+a12b21+a13b31 cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j第5页
2、/共34页2、定义、定义并把此乘积记作C=AB设 是一个 矩阵，是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵 ，其中第6页/共34页例例设例例2 2第7页/共34页故解解第8页/共34页注意注意1只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如例如不存在.注意2：AB的行数=A的行数；AB的列数=B的列数第9页/共34页练习：1、2、第10页/共34页3、=(）第11页/共34页4、线性方程组记则有AX=b第12页/共34页注意注意3矩阵不满足交换律，例3 设则如前练习题1、2即一般地ABBA第13页/共34页但也有例外，比如设则有此时称矩阵A、B可交换。第14页
3、/共34页注意注意4矩阵不满足消去律，即：（1）若AB=AC，A0不能推出B=C（2）若AB=0不能推出A=0或B=0例4 设第15页/共34页、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律（其中 为数）;若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且 注意:一般地 (AB)kAkBk第16页/共34页定义定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .例、转置矩阵、转置矩阵四、矩阵的其它运算第17页/共34页转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质证(4)：首先据矩阵乘法定义可见左右两边是同型阵；其次证明两边矩阵的对应元素相等。因为(AB)T位于第i行第j列的元素=AB位于第j行第
4、 i列的元素=A位于第j 行的元素与B位于第i列对应元素的乘积之和=BT位于第i行的元素与AT位于第j列对应元素的乘积之和=BTAT位于第i行第j列的元素第18页/共34页例例5 5 已知解法解法1第19页/共34页解法解法2第20页/共34页2、方阵方阵的行列式的行列式定义定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式，叫做方阵 的行列式，记作 或运算性质运算性质第21页/共34页记C=AB，构造一个2n阶行列式第22页/共34页=(-1)n|C|(-1)n=|AB|第23页/共34页3、对称阵与伴随矩阵、对称阵与伴随矩阵定义定义设 为 阶方阵，如果满足 ，即那末 称为对称阵.对称阵的元素以主对角线
5、为对称轴对应相 等.说明说明第24页/共34页例例6 6 设列矩阵 满足 证明证明第25页/共34页例例7 7 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵与反对称阵之和.证明证明 所以C为对称矩阵.所以B为反对称矩阵.命题得证.第26页/共34页定义定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵性质性质称为矩阵 的伴随矩阵.第27页/共34页证明证明第28页/共34页故同理可得第29页/共34页五、小结矩矩阵阵运运算算加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称阵与伴随矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵第30页/共34页（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律、消去律.（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.注意注意 （3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.第31页/共34页思考题成立的充要条件是什么?第32页/共34页思考题解答答答故 成立的充要条件为第33页/共34页感谢您的观看！第34页/共34页