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1、2.12.1推移算子和常系数差分方程推移算子和常系数差分方程一.推移算子 对任何时间序列 和无穷级数 只要级数 在某种意义下收敛，就定义并称B是时间t的后向推移算子，简称推移算子。推移算子有称为时滞算子或延迟算子，推移算子的性质：（1）对和t无关的随机变量Y有BY=Y，（2）（3）第1页/共65页（4）对多项式（5)对多项式 的乘积 有(6)对时间序列 ，,多项式 和随机变量U,V,W有 第2页/共65页二.常系数齐次线性差分方程 给定p个实数 ,我们称为p阶齐次常系数线性差分方程，简称齐次差分方程。满足上式方程的实数列称为它的解，满足上式的实值（或复值）时间序列也成为它的解。上式的解可以由p
2、个初值逐次递推得到若初值是随机变量则递推得到的是时间序列。第3页/共65页用推移算子把差分方程写成 称为差分方程的特征多项式。解有线性性质：和Y t 是解，则 也是解。差分方程的基础解：设多项式A(z)是k个互不相同的零点 ，其中z j是r(j)重零点。可以证明对每个z j有 第4页/共65页证明:设A(z)有分解则有第5页/共65页齐次线性差分方程的通解 定理1.1 设A(z)是k个互不相同的零点 其中z j 是r(j)重零点。则 是（1.2）的p个解，而且（1.2)的任何解都可以写成 这p个解的线性组合（1.7）其中的随机变量 可以由 的初值唯一决定，（1.7）称为齐次线性差分方程（1.2
3、）的通解。第6页/共65页差分方程（1.2）的实值解可以表示为 可以由初始值唯一决定。通解的收敛性 如果差分方程的特征多项式A(Z)的根都在单位圆外：取于是方程的任意解满足 称Xt以负指数阶收敛到0.第7页/共65页通解不收敛的情形 如果特征多项式有单位根，则方程有一个周期解 如果单位圆内有根，则方程有一个爆炸解第8页/共65页非齐次线性差分方程及其通解非齐次线性差分方程及其通解设Yt为实值时间序列（1.10）满足（1.10）的时间序列称为（1.10）的解。如果有（1.10）的某个解，则通解可以写成第9页/共65页2.2 2.2 自回归模型及其平稳性自回归模型及其平稳性例子：单摆的120个观测
4、值(a=-0.35)第10页/共65页单摆的单摆的120120个观测值个观测值(a=-0.85)(a=-0.85)：第11页/共65页单摆的单摆的1000010000个观测值个观测值(a=1)(a=1)：第12页/共65页单摆的单摆的120120个观测值个观测值(a=-1.25)(a=-1.25)：第13页/共65页 模型 定义2.1（模型）如果 是白噪声WN(0，),实数 使得多项式A(z)的零点都在单位圆外 则称P阶差分方程是一个p阶自回归模型，简称为 模型 第14页/共65页 满足 模型(2.5)的平稳时间序列称为（2.5）的平稳解或序列 称 为 模型的自回归系数。称条件（2.4）是稳定
5、性条件或最小相位条件。A（z）称为模型（2.5）的特征多项式。的平稳解 设多项式A(Z)的互异根是 取 从而有泰勒级数第15页/共65页令如果Xt是（2.6）的平稳解，则由此可见平稳解如果存在必然为称为平稳序列的Wold系数。第16页/共65页 Wold系数的推导第17页/共65页AR(p)的平稳解及通解定理 定理2.1 （1）由（2.9）定义的时间序列是AR(p)模型 （2.5）的唯一平稳解。（2）AR(p)的模型的通解有如下的形式第18页/共65页引理2 设实系数多项式 且满足最想相位条件则存在0使得第19页/共65页定理定理2.12.1的证明的证明第20页/共65页通解与平稳解的关系通解
6、与平稳解的关系AR()的通解Yt与平稳解有如下关系可以用此事实作为模拟产生AR()序列的理论基础。第21页/共65页ARAR序列的模拟序列的模拟取迭代得到取n0取50即可，但特征根接近单位圆是要取大的n0第22页/共65页AR(p)AR(p)模拟模拟(AR(4)(AR(4)第23页/共65页第24页/共65页2.32.3 AR(AR()序列的谱密度和Yule-WalkerYule-Walker方程 AR()序列的谱密度 由线性平稳列的谱密度公式得到平稳解的谱密度 如果A(Z)有靠近单位圆的根 则 会接近于零，造成谱密度在 处有一个峰值。第25页/共65页即 为复指数衰减。Xt序列前后的相关减少
7、很快，称为时间序列的短记忆性。第26页/共65页自协方差函数 因为AR()的平稳解为 由线性平稳性质知道Xt为零均值，自协方差函数为第27页/共65页谱密度的自协方差函数 谱函数的定义是满足 是非负可积函数。利用公式计算第28页/共65页 定理3.1 如果平稳序列Xt的自协方差函数k绝对可和：则 Xt有谱函数（3.4）由于谱函数是实值函数，所以（3.4）还可以写成 第29页/共65页第30页/共65页第31页/共65页推论3.2 AR(）的平稳解序列Xt有谱密度Yule-Walker方程 对np,把 的递推时写成矩阵形式的 第32页/共65页定义Xt的自协方差矩阵 在上式中两边同时乘上Xt-1
8、后取得数学期望，利用Xt与未来输入的不相关性有第33页/共65页对 有于是可以写成AR(）序列的自协方差函数Y Yule-Walker 方程定理3.3（Y Yule-Walker方程）AR(）序列的自协方差函数满足 第34页/共65页自协方差函数的周期性 对k0,定义 推论3.4 AR(）序列的自协方差函数 满足和AR(）模型 相应的差分方程证明：第35页/共65页例子：AR(4）模型1 周期为2/(/3)=6和2/(2/3)=3 AR(4）模型2 AR(4）模型3 第36页/共65页AR(4)AR(4)模型模型1 1的谱密度的谱密度第37页/共65页第38页/共65页AR(4)AR(4)模型
9、模型1 1、2 2、3 3的谱密度的谱密度第39页/共65页第40页/共65页自协方差函数的正定性自协方差函数的正定性 AR(）平稳解唯一故自协方差函数自回归系数和白噪声唯一决定。反之，若 正定，则根据Yule-Walker方程可以从 解出AR(）模型的自回归系数和白噪声的方差 其中 许多自协方差矩阵是正定的，特别AR(）序列的自协方差矩阵总是正定的。第41页/共65页定理3.5 设 是平稳序列Xt的n阶自协方差矩阵，。（1）如果Xt的谱密度 存在，则对 正定；(2)如果 ，则对 正定。证明：（1）对 至多有n-1个零点。，于是 第42页/共65页第43页/共65页第44页/共65页第45页/
10、共65页第46页/共65页 推论3.6 线性平稳序列的自协方差矩阵总是正定的。定理3.7 设离散谱序列Xt在第一章的定义，如果它的谱函数 恰有n个跳跃点，则 正定，退化。如果 有无穷 个跳跃点，则对任何 正定。第47页/共65页时间序列的可完全预测性 对于方差有限的随机变量 ，如果有不全为零的常数 ,使得则称随机变量 是线性相关的，否则是线性无关的。线性相关时，存在常数b0使得 成立。Yn可由 线性表示称Yn可以由 完全线性预测。第48页/共65页 定义4.1 设 和 分别是平稳序列 的自协方差函数和n阶自协方矩阵，由（3.8）定义，方程组称为 的n阶Yule-Walker方程，其中的 称为
11、的n阶Yule-Walker系数。下面的定理说明对于一般的平稳序列，p阶Yule-Walker系数是否满足最小相位条件。2.4 2.4 平稳序列的偏相关系数和平稳序列的偏相关系数和LevinsonLevinson递推公式递推公式第49页/共65页定理4.1 如果实数 使得正定，则有定义4.1定定义的Yule-Walker系数满足最小相位条件 第50页/共65页 最优线性预测 设 是随机变量。考虑估计问题称 为Y关于 的最优线性估计。是Y关于 上的投影。第51页/共65页为了更快的计算Yule-Walker系数，通常采用下面的递推公式。定理4.2（Levinson递推公式）如果 正定，对 有 第
12、52页/共65页偏相关系数定义4.1 如果 正定，称 为 或 的n接偏相关系数。设Xt是AR(）序列。其自协方差函数正定。由Yule-Walker方程知其n阶Y-W系数为其偏相关系数满足称为偏相关系数P步截尾。第53页/共65页 反之，如果一个零均值平均列偏相关系数p步截尾，则它必是AR(）序列。偏相关截尾隐含要求自协方差列正定。下面一个定理告诉我们这个平稳序列一定是AR(）序列。第54页/共65页定理4.3 零均值平稳序列Xt是AR(）序列的充分必要条件是，它的偏相关系数 p步截尾。证明只要证明充分性。记 令 ，只要证明 是白噪声。最小相位由定理4.1给出。第55页/共65页5.15.1 AR(1)AR(1)序列举例序列举例例：对|a|1,AR(1)模型，有平稳解 第56页/共65页自协方差函数自相关系数 谱密度 第57页/共65页第58页/共65页第59页/共65页第60页/共65页第61页/共65页第62页/共65页第63页/共65页 上面是a=0.85和a=-0.85 时80个数据的观测图，从图中我们可以看到AR(1)表现的特征。第64页/共65页谢谢您的观看！第65页/共65页