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1、第二章 自回归模型,本章目录,推移算子和常系数差分方程 自回归模型及其平稳性 序列的谱密度和Yule-Walker方程 平稳序列的偏相关系数和Levinson递推公式 序列举例,2.1推移算子和常系数差分方程,一.推移算子 对任何时间序列 和无穷级数 只要级数 在某种意义下收敛，就定义 并称B是时间t的后向推移算子，简称推移算子。 推移算子有称为时滞算子或延迟算子，推移算子的性质： （1）对和t无关的随机变量Y有BY=Y， （2） （3）,（4）对多项式 （5) 对多项式 的乘积 有 (6) 对时间序列 ， ,多项式 和随机变量U,V,W有,二.常系数齐次线性差分方程 给定p个实数 ,我们称
2、为p阶齐次常系数线性差分方程，简称齐次差分方程。 满足上式方程的实数列称为它的解， 满足上式的实值（或复值）时间序列也成为它的解。 上式的解可以由p个初值逐次递推得到 若初值是随机变量则递推得到的是时间序列。,用推移算子把差分方程写成 称为差分方程的特征多项式。 解有线性性质： 和Y t 是解，则 也是解。 差分方程的基础解：设多项式A(z)是k个互不相同的零点 ， 其中z j是r(j)重零点。 可以证明对每个z j有,证明:设A(z)有分解 则有,齐次线性差分方程的通解 定理1.1 设A(z)是k个互不相同的零点 其中z j 是r(j)重零点。则 是（1.2）的p个解，而且（1.2)的任何解
3、都可以写成 这p个解的线性组合 （1.7） 其中的随机变量 可以由 的初值唯一决定，（1.7）称为 齐次线性差分方程（1.2）的通解。,差分方程（1.2）的实值解可以表示为 可以由初始值唯一决定。 通解的收敛性 如果差分方程的特征多项式A(Z)的根都在单位圆外： 取 于是方程的任意解满足 称Xt以负指数阶收敛到0.,通解不收敛的情形 如果特征多项式有单位根，则方程有一个周期解 如果单位圆内有根，则方程有一个爆炸解,非齐次线性差分方程及其通解,设Yt为实值时间序列 （1.10） 满足（1.10）的时间序列称为（1.10）的解。 如果有（1.10）的某个解，则通解可以写成,2.2 自回归模型及其平
4、稳性,例子： 单摆的120个观测值(a=-0.35),单摆的120个观测值(a=-0.85)：,单摆的10000个观测值(a=1)：,单摆的120个观测值(a=-1.25)：,模型 定义2.1（ 模型） 如果 是白噪声WN(0， ),实数 使得多项式A(z)的零点都在单位圆外 则称P阶差分方程 是一个p阶自回归模型，简称为 模型,满足 模型(2.5)的平稳时间序列称为（2.5）的平稳解或 序列 称 为 模型的自回归系数。 称条件（2.4）是稳定性条件或最小相位条件。 A（z）称为模型（2.5）的特征多项式。 的平稳解 设多项式A(Z)的互异根是 取 从而有泰勒级数,令 如果Xt是（2.6）的平
5、稳解，则 由此可见平稳解如果存在必然为 称为平稳序列的Wold系数。,Wold系数的推导,AR(p)的平稳解及通解定理 定理2.1 （1） 由（2.9）定义的时间序列是AR(p)模型 （2.5）的唯一平稳解。 （2）AR(p)的模型的通解有如下的形式,引理2 设实系数多项式 且满足最想相位条件 则存在0使得,定理2.1的证明,通解与平稳解的关系,AR()的通解Yt与平稳解有如下关系 可以用此事实作为模拟产生AR()序列的理论基础。,AR序列的模拟,取 迭代得到 取 n0取50即可，但特征根接近单位圆是要取大的n0,AR(p)模拟(AR(4),2.3 AR()序列的谱密度和Yule-Walker
6、方程,AR()序列的谱密度 由线性平稳列的谱密度公式得到平稳解的谱密度 如果A(Z)有靠近单位圆的根 则 会接近于零，造成谱密 度在 处有一个峰值。,即 为复指数衰减。 Xt序列前后的相关减少很快，称为时间序列的短记忆性。,自协方差函数 因为AR()的平稳解为 由线性平稳性质知道Xt为零均值，自协方差函数为,谱密度的自协方差函数 谱函数的定义是满足 是非负可积函数。 利用公式计算,定理3.1 如果平稳序列Xt的自协方差函数k绝对可和： 则 Xt有谱函数 （3.4） 由于谱函数是实值函数，所以（3.4）还可以写成,推论3.2 AR(）的平稳解序列Xt有谱密度 Yule-Walker方程 对np,
7、把 的递推时写成矩阵形式的,定义Xt的自协方差矩阵 在上式中两边同时乘上Xt-1后取得数学期望，利用Xt与未来输入的不相关性有,对 有 于是可以写成AR(）序列的自协方差函数Yule-Walker 方程 定理3.3（ Yule-Walker方程） AR(）序列的自协方差函数满足,自协方差函数的周期性 对k0,定义 推论3.4 AR(）序列的自协方差函数 满足和AR(）模型 相应的差分方程 证明：,例子：AR(4）模型1 周期为2/(/3)=6和2/(2/3)=3 AR(4）模型2 AR(4）模型3,AR(4)模型1的谱密度,AR(4)模型1、2、3的谱密度,自协方差函数的正定性,AR(）平稳解
8、唯一故自协方差函数自回归系数和白噪声唯一决定。 反之，若 正定，则根据Yule-Walker方程可以从 解出AR(）模型的自回归系数和白噪声的方差 其中 许多自协方差矩阵是正定的，特别AR(）序列的自协方差矩阵总是正定的。,定理3.5 设 是平稳序列Xt的n阶自协方差矩阵， 。 （1）如果Xt的谱密度 存在，则对 正定； (2) 如果 ，则对 正定。 证明：（1）对 至多有n-1个零点。 ，于是,推论3.6 线性平稳序列的自协方差矩阵总是正定的。 定理3.7 设离散谱序列Xt在第一章的定义，如果它的谱函数 恰有n个跳跃点，则 正定， 退化。如果 有无穷 个跳跃点，则对任何 正定。,时间序列的可
9、完全预测性 对于方差有限的随机变量 ，如果有不全为零的 常数 ,使得 则称随机变量 是线性相关的，否则是线性无关的。 线性相关时，存在常数b0使得 成立。 Yn可由 线性表示 称Yn可以由 完全线性预测。,定义4.1 设 和 分别是平稳序列 的自协方差函数和n阶自协方 矩阵， 由（3.8）定义，方程组 称为 的n阶Yule-Walker方程，其中的 称为 的n阶Yule-Walker系数。 下面的定理说明对于一般的平稳序列，p阶Yule-Walker系数 是否满足最小相位条件。,2.4 平稳序列的偏相关系数和Levinson递推公式,定理4.1 如果实数 使得 正定，则有定义4.1定定义的Yu
10、le-Walker系数满足最小相位 条件,最优线性预测 设 是随机变量。考虑估计问题 称 为Y关于 的最优线性估计。 是Y关于 上的投影。,为了更快的计算Yule-Walker系数，通常采用下面的递推公式。 定理4.2（Levinson递推公式）如果 正定，对 有,偏相关系数 定义4.1 如果 正定，称 为 或 的n接偏相关系数。 设Xt是AR(）序列。其自协方差函数正定。 由Yule-Walker方程知其n阶Y-W系数为 其偏相关系数满足 称为偏相关系数P步截尾。,反之，如果一个零均值平均列偏相关系数p步截尾，则它必是 AR(）序列。 偏相关截尾隐含要求自协方差列正定。 下面一个定理告诉我们这个平稳序列一定是AR(）序列。,定理4.3 零均值平稳序列Xt是AR(）序列的充分必要条件是， 它的偏相关系数 p步截尾。 证明只要证明充分性。记 令 ，只要证明 是白噪声。 最小相位由定理4.1给出。,5.1 AR(1)序列举例,例 ： 对|a|1, AR(1)模型， 有平稳解,自协方差函数 自相关系数 谱密度,上面是a=0.85和a=-0.85 时80个数据的观测图，从图中我 们可以看到AR(1)表现的特征。,