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1、1:47 下午1基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。一、有界弦的自由振动第1页/共82页1:47 下午2令代入方程：令代入边界条件1、求两端固定的弦自由振动的规律第2页/共82页1:47 下午3特征（固有）值问题：含有待定常数的常微分方程在一定条件下求非零解的问题特征（固有）值：使方程有非零解的常数值特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解分情况讨论：
2、1）2）3）令 ，为非零实数 第3页/共82页1:47 下午4第4页/共82页1:47 下午5第5页/共82页1:47 下午6第6页/共82页1:47 下午7分离变量求特征值和特征函数求另一个函数求通解确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。第7页/共82页1:47 下午82 解的性质 x=x0时：其中：驻波法 t=t0时：第8页/共82页1:47 下午9例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。解：第9页/共82页1:47 下午10第10页/共82页1:47 下午11于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次
3、边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为第11页/共82页1:47 下午12第12页/共82页1:47 下午13解：例2求下列定解问题第13页/共82页1:47 下午14第14页/共82页1:47 下午15第15页/共82页1:47 下午16初始条件第16页/共82页1:47 下午17例3 求下列定解问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为第17页/共82页1:47 下午18这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为于是得到一系列分离变量形式的特解这些特故原问题的解为第18页/共82页1:47 下午19
4、例4 求下列定解问题令代入方程：解：第19页/共82页1:47 下午20第20页/共82页1:47 下午21于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为第21页/共82页1:47 下午22第22页/共82页1:47 下午23第23页/共82页1:47 下午24二 有限长杆上的热传导令带入方程：解：第24页/共82页1:47 下午25由例4知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为满足方程于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为第25页/共82页
5、1:47 下午26令代入方程：令例5 求下列定解问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为第26页/共82页1:47 下午27于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为第27页/共82页1:47 下午28例6 求下列定解问题解：令第28页/共82页1:47 下午29第29页/共82页1:47 下午30于是得到一系列分离变量形式的特解第30页/共82页1:47 下午31若 则u为多少？为什么会出现这样的现象？思考这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为若
6、第31页/共82页1:47 下午32分离变量流程图第32页/共82页1:47 下午33三 拉普拉斯方程的定解问题1 直角坐标系下的拉普拉斯问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为第33页/共82页1:47 下午34于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为第34页/共82页1:47 下午35第35页/共82页1:47 下午36例7 求下列定解问题解：由例6中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为第36页/共82页1:47 下午37于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边
7、界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为第37页/共82页1:47 下午38第38页/共82页1:47 下午39例8 求下列定解问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为第39页/共82页1:47 下午40于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为第40页/共82页1:47 下午412 圆域内的拉普拉斯问题第41页/共82页1:47 下午42例9 求下列定解问题解：（自然边界条件）（周期性边界条件）周期特征值问题第42页/共82页1:47 下午43(欧拉方程)令周期特征值问题
8、故以上周期特征值问题的特征值和特征函数分别为第43页/共82页1:47 下午44（由自然边界条件）（由自然边界条件）于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为第44页/共82页1:47 下午45例10 求下列定解问题解：（周期性边界条件）周期特征值问题第45页/共82页1:47 下午46欧拉方程 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为第46页/共82页1:47 下午47其他为零第47页/共82页1:47 下午48例11 求下列定解问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的
9、特征值和特征函数分别为（自然边界条件）第48页/共82页1:47 下午49（由自然边界条件）第49页/共82页1:47 下午50例11 求解下列二维热传导方程的定解问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为第50页/共82页1:47 下午51于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为第51页/共82页1:47 下午52例12 求下列热传导方程的定解问题解法一：令第52页/共82页1:47 下午53解法二：令由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为第53页/共82页1:47 下午54
10、于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为第54页/共82页1:47 下午55常用特征值问题周期特征值问题第55页/共82页1:47 下午56四 非齐次方程的解法求下列定解问题方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？思考第56页/共82页1:47 下午57由线性方程的叠加原理，令：第57页/共82页1:47 下午58令：为什么？非齐次方程的特征函数展开法第58页/共82页1:47 下午59用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题第59页/共82页1:47 下午60例13 求下列定解问题解：先解对应的齐次问题其特
11、征值和特征函数为第60页/共82页1:47 下午61第61页/共82页1:47 下午62例14 求下列定解问题解：令其特征值和特征函数为第62页/共82页1:47 下午63第63页/共82页1:47 下午64用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题第64页/共82页1:47 下午65例15 求定解问题解：将原问题变换到极坐标系下：周期特征值问题第65页/共82页1:47 下午66非齐次方程的特征函数展开法第66页/共82页1:47 下午67第67页/共82页1:47 下午68例16 求定解问题周期特征值问题第68页/共82页1:47 下午69非齐次方程的特征函数展开法第69页/共82
12、页1:47 下午70第70页/共82页1:47 下午71五 非齐次边界条件的处理解：首先要想办法将非齐次条件齐次化。令取其中辅助函数满足第71页/共82页1:47 下午72第72页/共82页1:47 下午73常见非齐次边界条件齐次化所使用辅助函数非 齐 次 边 界 条 件 齐次化所使用辅助函数以上方法适用于波动方程、热传导方程和位势方程。第73页/共82页1:47 下午74例17 求下列定解问题解：令可以用非齐次方程的特征函数展开法求解以上问题。第74页/共82页1:47 下午75若f(x,t)和非齐次边界条件都与t无关，则此时W仅是x的函数W(x)此方法在使得非齐次边界条件齐次化的同时将导致
13、方程的非齐次化。能否做到两者同时齐次化？若能从中求出W(x,t)，就可以实现两者同时齐次化。但一般很难求出!第75页/共82页1:47 下午76例18 求下列定解问题解：令请与例17比较，研究其优缺点。第76页/共82页1:47 下午77例19 求定解问题解：令可以用分离变量法求解以上问题。第77页/共82页1:47 下午78例20 求定解问题解：令可以用分离变量法求解以上问题。第78页/共82页1:47 下午79例21 求定解问题解：令第79页/共82页1:48 下午80定解问题选择合适的坐标系边界条件非齐次，转换为齐次边界条件非齐次方程，齐次边界条件齐次方程，齐次边界条件直接用分离变量法非齐次方程，齐次定解条件特征函数展开法应用分离变量法求解定解问题的步骤第80页/共82页1:48 下午81六 关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论1.存在无穷多个实的特征值，适当调换这些特征值的顺序，可使他们构成一个非递减序列。2.所有特征值均不为负。3.任意两个不同的特征值，对应的两个特征函数在定义域上以权函数互相正交。4.特征函数系具有完备正交性，故满足一定条件的函数可以按特征函数系展成绝对且一致收敛的级数。第81页/共82页1:48 下午82谢谢您的观看！第82页/共82页