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1、Preview one第1页/共27页一、外心的性质第2页/共27页Example one第3页/共27页斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点所以把这样的四个点称为一个“垂心组”锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。二、垂心的性质第4页/共27页等价于证明等价于证明第5页/共27页第6页/共27页三、内心的性质三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径设三角形面积为S，设I为ABC的内心，则BIC=90+A/2,
2、类似地还有两式。第7页/共27页第8页/共27页四、重心的性质三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为12空间直角坐标系：横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3第9页/共27页第10页/共27页五、旁心的性质三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)三角形的三个旁心与内心构成一垂心组，反过来，一个三角形的顶点与垂心是高的垂足三角形的旁心与内心。第11页/共27页第12页/共27页六、三角形的五心的综合性质（1）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是
3、其余三点所构成的三角形的垂心；（2）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（3）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（4）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（5）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心（6）鸡爪定理（7）鸭爪定理第13页/共27页第14页/共27页第15页/共27页Example sixABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是ACD的重心.证明OE丄CD.第16页/共27页Example seven第17页/共27页Proof one第18页/共27页Proof one五点共圆五点共圆第19页/共27页Second try第20页/共27页Example eight第21页/共27页Example eight第22页/共27页Example nine第23页/共27页第24页/共27页Exercise one第25页/共27页Exercise ten第26页/共27页感谢您的观看！第27页/共27页