平面几何竞赛之三角形的“五心”.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date平面几何竞赛之三角形的“五心”平面几何竞赛讲座(三)三角形的“五心”平面几何竞赛之三角形的“五心”一、基本概念1、内心:与三角形所有边相切的圆叫做此三角形的内切圆,其圆心叫做此三角形的内心.内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心在三角形内部.内心有以下常用的性质:性质1:设I是ABC内一点,I为ABC内心的充要条件是:I到三角形三边的距离相等.证明:性质2:设

2、I是ABC内一点,AI所在直线交ABC 的外接圆于D,I为ABC内心的充要条件是:ID=DB=DC.证明:性质3:设I是ABC内一点,I为ABC内心的充要条件是:BIC=900+A,AIC=900+B,AIB=900+C.证明:性质4:设I是ABC内一点,I为ABC内心的充要条件是:IBC、IAC、IAB的外心均在ABC的外接圆上.证明:性质5:设I为ABC内心,BC=a,AC=b,AB=c,I在BC、AC、AB边上的射影分别为D、E、F,内切圆的半径为r,令p=(a+b+c),则(1)ID=IE=IF=r,SABC=pr=;海伦公式推导:(2)r=;(3)abcr=pAIBICI.性质6:设I为ABC内心,BC=a,AC=b,AB=c,A的平分线交BC于K,交ABC 的外接圆于D,则=.例1如图,设ABC的外接圆O的半径为R,内心为I,B=600,AC,A的外角平分线交圆O于E,证明:(1)IO=AE,(2)2RIO+IA+ICc,求SABC:SBKC.(1999年四川省竞赛题) 【例8】 设OA,OB,OC是ABC的三个旁切圆的圆心,证明:点A、B、C是OAOBOC三条高的垂足。-

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