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1、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。第1页/共37页差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻
2、时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。第2页/共37页过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对
3、已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等 第3页/共37页1 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型2 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动3 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型4 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长差
4、分方程模型差分方程模型第4页/共37页1 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型问问 题题供大于求现现象象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡数量与价格在振荡第5页/共37页蛛蛛 网网 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格消费者的需求关系消费者的需求关系生产者的供应关系生产者的供应关系减函数减函数增函数增函数供应函数需求
5、函数f与g的交点P0(x0,y0)平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0,yk+1,yk+2,=y0 第6页/共37页xy0fgy0 x0P0设x1偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点xy0y0 x0P0fg 曲线斜率蛛蛛 网网 模模 型型 第7页/共37页在P0点附近用直线近似曲线P0稳定稳定P0不稳定不稳定方方 程程 模模 型型方程模型与蛛网模型的一致第8页/共37页 商品数量减少1单位,价格上涨幅度 价格上涨1单位,(下时段)供应的增量考察 ,的含义 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产
6、者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小,有利于经济稳定 小,有利于经济稳定结果解释结果解释xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格经济稳定经济稳定结果解释结果解释第9页/共37页经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法1.使 尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2.使 尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf结果解释结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直第10页/共37页模型的推广模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高生产者管理水平提高设供应函数为需求
7、函数不变二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件第11页/共37页方程通解(c1,c2由初始条件确定)1,2特征根，即方程 的根 平衡点稳定，即k,xkx0的条件:平衡点稳定条件比原来的条件 放宽了模型的推广模型的推广第12页/共37页2 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动背背景景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分分析析 体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5BMI25
8、 超重;BMI30 肥胖.第13页/共37页模型假设模型假设1）体重增加正比于吸收的热量每8000千卡增加体重1千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗200千卡 320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡 3200千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。第14页/共37页某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；第二阶段：每周吸收热量保
9、持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。第15页/共37页 确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡基本模型基本模型w(k)第k周(末)体重c(k)第k周吸收热量 代谢消耗系数(因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收20000千卡 w=100千克不变第16页/共37页 第一阶段:w(k)每周减1千克,c(k)减至下限10000千卡第一阶段10周,每周减1千克，第10周末体重90千克吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划第17页/共
10、37页 第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克 1）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型基本模型第18页/共37页 第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克 第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按 减少至75千克。第19页/共37页运动 t=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),14周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (千卡):跑步 跳舞 乒乓 自行车(中速)游泳(50米/分)7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周运动时间(小时)基本模型第20页/共37页3）达到目标体重75千克后维持不变的方案每周吸收热量c
11、(k)保持某常数C，使体重w不变 不运动 运动(内容同前)第21页/共37页3 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)t,xN,x=N是稳定平衡点(与r大小无关)离散形式x(t)某种群 t 时刻的数量(人口)yk 某种群第k代的数量(人口)若yk=N,则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即k,ykN？y*=N 是平衡点第22页/共37页离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶(非线性)差分方程(1)的平衡点y*=N讨论讨论 x*的稳定性的稳定性变量代换(2)的平衡点第23页/共37页(1)的平
12、衡点 x*代数方程 x=f(x)的根稳定性判断稳定性判断(1)的近似线性方程x*也是(2)的平衡点x*是(2)和(1)的稳定平衡点x*是(2)和(1)的不稳定平衡点补充知识补充知识一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性第24页/共37页01的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点稳定性x*稳定x*不稳定另一平衡点为 x=0不稳定第25页/共37页01/2101的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性第26页/共37页初值 x0数值计算结果数值计算结果b 3.57,不存在任何收敛子序列混沌现象4倍周期收敛第30页/共37页的收敛、分岔及混沌现象的收敛、分岔及混沌现象b第31页/共37页4 按年龄分组的
13、种群增长按年龄分组的种群增长 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律假设与建模假设与建模 种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,以雌性个体数量为对象 第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi 第i 年龄组在1时段内的死亡率为di,存活率为si=1-di第32页/共37页假设假设与与建模建模xi(k)时段k第i 年龄组的种群数量按年龄组的分布向量预测任意时段种群按年龄组的分布Leslie矩阵(L矩阵)(设至少1个bi0)第33页/共37页稳定状态分析的数学知识稳定状态分析的数学知识 L矩阵存在正单特征根 1，若L矩阵存在bi,bi+10,则 P的第1列是x*特征向量,c是由bi,si,x(0)决定的常数 且解解释释L对角化第34页/共37页稳态分析稳态分析k充分大充分大种群按年龄组的分布种群按年龄组的分布 种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布,与初始分布无关。各年龄组种群数量按同一倍数增减，称固有增长率与基本模型比较3）=1时 各年龄组种群数量不变第35页/共37页 1个个体在整个存活期内的繁殖数量为1稳态分析稳态分析存活率 si是同一时段的 xi+1与 xi之比（与si 的定义 比较）3）=1时第36页/共37页感谢您的观看！第37页/共37页