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1、会计学1数学数学(shxu)建模差分方程模型建模差分方程模型第一页，共37页。应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景背景(bijng)。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究
2、等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。分析求解。第1页/共37页第二页，共37页。差分差分(ch fn)方程建模：方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行
3、四则运算或基本(jbn)初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。第2页/共37页第三页，共37页。过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是
4、建立起简洁、深刻(shnk)、易于求解分析的差分方程。差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时(tngsh)注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等 第3页/共37页第四页，共37页。1 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型2 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动(yndng)3 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型4 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长差分
5、方程差分方程(fngchng)(fngchng)模模型型第4页/共37页第五页，共37页。1 市场经济市场经济(sh chn jn j)中的蛛网模型中的蛛网模型问问 题题供大于求供大于求现现象象商品数量与价格的振荡在什么条件商品数量与价格的振荡在什么条件(tiojin)下趋向稳定下趋向稳定当不稳定时政府能采取当不稳定时政府能采取(ciq)什么干预手段使之稳定什么干预手段使之稳定价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡数量与价格在振荡第5页/共37页第六页，共37页。蛛蛛 网网 模模
6、型型gx0y0P0fxy0 xk第第k时段商品时段商品(shngpn)数量；数量；yk第第k时段商品时段商品(shngpn)价格价格消费者的需求消费者的需求(xqi)关系关系生产者的供应生产者的供应(gngyng)关系关系减函数减函数增函数增函数供应函数供应函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0)平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0,yk+1,yk+2,=y0 第6页/共37页第七页，共37页。xy0fgy0 x0P0设设x1偏离偏离(pinl)x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定是稳定(wndng)平衡点平衡点P1
7、P2P3P4P0是不稳定是不稳定(wndng)平衡点平衡点xy0y0 x0P0fg 曲线斜率曲线斜率蛛蛛 网网 模模 型型 第7页/共37页第八页，共37页。在在P0点附近点附近(fjn)用直线近似曲线用直线近似曲线P0稳定稳定(wndng)P0不稳定不稳定(wndng)方方 程程 模模 型型方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致第8页/共37页第九页，共37页。商品数量商品数量(shling)减少减少1单位单位,价格上涨幅度价格上涨幅度 价格上涨价格上涨1单位单位,(下时段下时段)供应供应(gngyng)的增量的增量考察考察(koch),的含义的含义 消费者对需求的敏感程度消费者对
8、需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定结果解释结果解释xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格经济稳定经济稳定结果解释结果解释第9页/共37页第十页，共37页。经济不稳定时政府经济不稳定时政府(zhngf)的干预办法的干预办法1.使使 尽量尽量(jnling)小，如小，如=0 以行政手段控制以行政手段控制(kngzh)价格不变价格不变2.使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf结果解释结果解释需求曲线变为
9、水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直第10页/共37页第十一页，共37页。模型模型(mxng)的的推广推广 生产者根据生产者根据(gnj)当前时段和前当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高生产者管理水平提高(t go)设供应函数为设供应函数为需求函数不变需求函数不变二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程x0为平衡点为平衡点研究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件的条件第11页/共37页第十二页，共37页。方程通解方程通解(c1,c2由初始条件确由初始条件确定定(qudng)1,2特征根，即方程特征根，即
10、方程 的根的根 平衡点稳定平衡点稳定(wndng)，即，即k,xkx0的条件的条件:平衡点稳定条件平衡点稳定条件比原来的条件比原来的条件 放宽放宽了了模型模型(mxng)的的推广推广第12页/共37页第十三页，共37页。2 减肥计划减肥计划节食节食(ji sh)与运动与运动背背景景(bijng)多数减肥多数减肥(jin fi)食品达不到减肥食品达不到减肥(jin fi)目目标，或不能维持标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标下，达到减轻体重并维持下去的目标分分析析 体重变化由体内能量守恒破坏引起体
11、重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 体重指数体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5BMI25 超重超重;BMI30 肥胖肥胖.第13页/共37页第十四页，共37页。模型模型(mxng)假设假设1）体重增加正比于吸收的热量）体重增加正比于吸收的热量(rling)每每8000千卡增加体重千卡增加体重1千克；千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗每周每公斤体重消耗200千卡千卡(qink)320千卡千卡(qink)(因人
12、而异因人而异),相当于相当于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡(qink)3200千千卡卡(qink)；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过千）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过千克，每周吸收热量不要小于克，每周吸收热量不要小于10000千卡。千卡。第14页/共37页第十五页，共37页。某甲体重某甲体重100千克，目前千克，目前(mqin)每周吸收每周吸收20000千卡千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。千克。第一阶段：每周减肥第一
13、阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至千克，每周吸收热量逐渐减少，直至(zhzh)达到下限（达到下限（10000千卡）；千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限第二阶段：每周吸收热量保持下限(xixin)，减肥，减肥达到目标达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。）给出达到目标后维持体重的方案。第15页/共37页第十六页，共37页。确定确定(qudng)某甲的代谢某甲的代谢消耗系数消耗系数即每周每
14、千克体重消耗即每周每千克体重消耗(xioho)20000/100=200千卡千卡基本基本(jbn)模模型型w(k)第第k周周(末末)体重体重c(k)第第k周吸收热量周吸收热量 代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不变千克不变第16页/共37页第十七页，共37页。第一阶段第一阶段:w(k)每周减每周减1千克千克(qink),c(k)减至下限减至下限10000千卡千卡第一阶段第一阶段10周周,每周减每周减1千克，第千克，第10周末周末(zhum)体体重重90千克千克吸收热量吸收热量为
15、为1）不运动情况）不运动情况(qngkung)的两阶段的两阶段减肥计划减肥计划第17页/共37页第十八页，共37页。第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持(boch)Cm,w(k)减减至至75千克千克 1）不运动）不运动(yndng)情况的两阶段减情况的两阶段减肥计划肥计划基本模型基本模型第18页/共37页第十九页，共37页。第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持(boch)Cm,w(k)减减至至75千克千克 第二阶段第二阶段19周周,每周吸收热量保持每周吸收热量保持10000千卡千卡,体重按体重按 减少至减少至75千克。千克。第19页/共37页第二十页，共37页。运动运动(ynd
16、ng)t=24(每周跳舞每周跳舞8小时或自行车小时或自行车10小时小时),14周周即可。即可。2）第二阶段增加运动的减肥）第二阶段增加运动的减肥(jin fi)计划计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (千卡千卡):跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行车自行车(中速中速)游泳游泳(50米米/分分)7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周运动每周运动(yndng)时间时间(小时小时)基基本本模模型型第20页/共37页第二十一页，共37页。3）达到目标体重）达到目标体重75千克后维持千克后维持(wich)不变不变的方案的方案每周吸收每周吸收(xshu)热量热量
17、c(k)保持某常数保持某常数C，使体重，使体重w不不变变 不运动不运动 运动运动(内容同前内容同前)第21页/共37页第二十二页，共37页。3 差分形式差分形式(xngsh)的阻滞增的阻滞增长模型长模型连续形式的阻滞增长连续形式的阻滞增长(zngzhng)模型模型(Logistic模型模型)t,xN,x=N是稳定是稳定(wndng)平衡点平衡点(与与r大小无关大小无关)离散离散形式形式x(t)某种群某种群 t 时刻的数量时刻的数量(人口人口)yk 某种群第某种群第k代的数量代的数量(人口人口)若若yk=N,则则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即讨论平衡点的稳定性，即k,ykN？y*
18、=N 是平衡点是平衡点第22页/共37页第二十三页，共37页。离散形式离散形式(xngsh)阻滞增长模型的平衡点及其阻滞增长模型的平衡点及其稳定性稳定性一阶一阶(非线性非线性)差分差分(ch fn)方程方程(1)的平衡点的平衡点y*=N讨论讨论(toln)x*(toln)x*的稳定性的稳定性变变量量代代换换(2)的平衡的平衡点点第23页/共37页第二十四页，共37页。(1)的平衡点的平衡点 x*代数方程代数方程(dish fngchng)x=f(x)的根的根稳定性判断稳定性判断(pndun)(1)的近似的近似(jn s)线线性方程性方程x*也是也是(2)的平衡点的平衡点x*是是(2)和和(1)
19、的稳定平衡点的稳定平衡点x*是是(2)和和(1)的不稳定平衡点的不稳定平衡点补充知识补充知识一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性的平衡点及稳定性第24页/共37页第二十五页，共37页。01的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点稳定性稳定性x*稳稳定定x*不稳定不稳定另一平衡另一平衡点为点为 x=0不稳定不稳定第25页/共37页第二十六页，共37页。01/2101的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性第26页/共37页第二十七页，共37页。初值初值 x0数值数值(shz)计算结果计算结果b 3.57,不存在任何收敛子序列不存在任何收敛子序列混沌现象混沌现象4倍周期收敛倍周
20、期收敛第30页/共37页第三十一页，共37页。的收敛、分岔及混沌现象的收敛、分岔及混沌现象b第31页/共37页第三十二页，共37页。4 按年龄按年龄(ninlng)分组的种群分组的种群增长增长 不同不同(b tn)年龄组的繁殖率和死亡年龄组的繁殖率和死亡率不同率不同(b tn)建立差分方程建立差分方程(fngchng)模型，讨论稳定状况下种群的模型，讨论稳定状况下种群的增长规律增长规律假设与建模假设与建模 种群按年龄大小等分为种群按年龄大小等分为n个年龄组，记个年龄组，记i=1,2,n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,以雌性个体数量为
21、对象以雌性个体数量为对象 第第i 年龄组年龄组1雌性个体在雌性个体在1时段内的时段内的繁殖率繁殖率为为bi 第第i 年龄组在年龄组在1时段内的死亡率为时段内的死亡率为di,存活率存活率为为si=1-di第32页/共37页第三十三页，共37页。假设假设(jish)与与建模建模xi(k)时段时段k第第i 年龄组的种群年龄组的种群(zhn qn)数量数量按年龄组的分布向量按年龄组的分布向量预测预测(yc)任意时段任意时段种群按年龄组的分布种群按年龄组的分布Leslie矩阵矩阵(L矩阵矩阵)(设至少设至少1个个bi0)第33页/共37页第三十四页，共37页。稳定稳定(wndng)状态分析状态分析的数学
22、知识的数学知识 L矩阵存在矩阵存在正单特征根正单特征根 1，若若L矩阵存在矩阵存在bi,bi+10,则则 P的第的第1列是列是x*特征向量特征向量,c是由是由bi,si,x(0)决定的常决定的常数数 且且解解释释(jish)L对角化对角化(jio hu)第34页/共37页第三十五页，共37页。稳态分析稳态分析kk充分大种充分大种群群(zhn qn)(zhn qn)按年龄组按年龄组的分布的分布 种群种群(zhn qn)按年龄组的分按年龄组的分布趋向稳定，布趋向稳定，x*称稳定分布称稳定分布,与初与初始分布无关。始分布无关。各年龄组种群各年龄组种群(zhn qn)数数量按同一倍数增减，量按同一倍数增减，称固有增称固有增长率长率与基本模型与基本模型比较比较3）=1时时 各年龄组各年龄组种群种群数量不变数量不变第35页/共37页第三十六页，共37页。1个个体个个体(gt)在整个在整个存活期内的繁殖数量为存活期内的繁殖数量为1稳态分析稳态分析(fnx)存活率存活率 si是同一是同一(tngy)时段的时段的 xi+1与与 xi之比之比（与（与si 的定义的定义 比比较）较）3）=1时时第36页/共37页第三十七页，共37页。