《数列极限是数学分析最重要的基础之一它不仅与函数极限.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列极限是数学分析最重要的基础之一它不仅与函数极限.pptx（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、为数列.因为N+的所有元素可以从小到大排列出来,则称若函数 f 的定义域为全体正整数的集合 或简记为 an.这里 an 所以我们也将数列写成称为数列 an 的通项.一、数列的定义第1页/共23页二、一个经典的例子二、一个经典的例子样的过程可以无限制地进行下去.我们把每天截下部分(或剩下部分)的长度列出：第一天截下 第二天截下第n天截下这样就得到一个数列:古代哲学家庄周所著的庄子 天下篇引用了一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.它的意思是:一根长为一尺的木棒,每天截下一半,这第2页/共23页容易看出:数列随着 n 的无限增大而无限趋于 0.第3页/共23页三、收敛数列的定义三、收敛数列的定
2、义下面给出严格的数学定义.定义1为一个数列,a 为一个常数,若对于任意的正数 ,总存在正整数 N,使当 n N 时,则称数列收敛于a,又称 a 为数列 的极限,一般地说,对于数列 ,若当 n 充分变大时,an能无限地接近某个常数 a,则称 收敛于 a.第4页/共23页记作若 不收敛,则称 为发散数列.注 定义1 这种陈述方式，俗称为“-N”说法.第5页/共23页四、按定义验证极限四、按定义验证极限以说明,希望大家对“-N”说法能有正确的认识.例1 用定义验证:分析 对于任意正数要使只要证 对于任意的正数 ,所以为了加深对数列收敛定义的了解,下面结合例题加第6页/共23页例2 用定义验证分析 对
3、于任意的正数,要使 只要这就证明了证第7页/共23页只要 即可.例3 用定义验证分析故要使成立,第8页/共23页证 对于任意的正数 ,取即得注意 解这个不等式是在 的条件下进行的.第9页/共23页所以例4用定义验证因此证得证 这里只验证的情形（时自证）.故对于任意正数 第10页/共23页五、再论五、再论 “-N”说法说法从定义及上面的例题我们可以看出:此外，又因 是任意正数,所以 1.的任意性:定义中的 用来刻画数列 an 的通项与定数 a 的接近程度.显然正数 愈小,表示 a n与 a 接近的程度愈高；是任意的,这就表示 an与 a 可以任意接近.要注意，一旦给出，在接下来计算 N 的过程中
4、，它暂时看作是确定不变的.第11页/共23页可以用(K 为某一正常数)来代替.定义 1,那么对 1 自然也可以验证成立.均可看作任意正数,故定义 1 中的不等式2.N 的相对性:从定义1 中又可看出,随着 的取值不同,N 当然也会不同.但这并不意味着 N 是由 再有,我们还可以限定 小于某一个正数(比如 1 ).事实上,对 0 N1=2N 时,对于同样的 ,更应有 惟一确定.例如,当 n N 时,有求 N 的“最佳性”.也就是说,在这里只是强调 N 的存在性,而不追第13页/共23页3.极限的几何意义示当 n N 时,从几何上看,实际上就是时有所有下标大于 N 的 an 全都落在邻域 之内，而
5、在 之外,an 至多只有有限项(N 项).反过来,如果对于任意正数,落在 之外至多只有有限项,设这些项的最大下标为 N,这就表第14页/共23页 an 的有限多项,则称数列 an 收敛于a.这样,an 不以 a 为极限的定义也可陈述为:存在之外含有 an 中的无限多不以任何实数 a 为极限.以上是定义 1 的等价说法,写成定义就是:定义1 任给,若在 之外至多只有项.注 an 无极限（即发散）的等价定义为:an 第15页/共23页以下定理显然成立,请读者自证.4.无穷小数列和无穷大数列第16页/共23页第17页/共23页六、一些例子六、一些例子为了更好地理解定义,再举一些例题.例5 证明发散.
6、又因 a 是任意的,所以 发散.a 为极限.证 对于任意实数 a,取之外有无限多所以由定义1,不以个偶数项（奇数项）.第18页/共23页例6 证明解当时，从而第19页/共23页证 我们用两种方法来证明.例7 证明 1)任给正数有项都能使不等式 成立即可.注 这里我们将 N 取为正数,而非正整数.实际上N 只是表示某个时刻,保证从这一时刻以后的所第20页/共23页没有定义.2)任给正数,限制 由可知只需取注 这里假定 0 1 是必要的,否则 arcsin 便第21页/共23页复习思考题1.极限定义中的“”是否可以写成“”?为什么?2.反之是否成立?3.已知是一个一一影射.请依据极限定义证明:第22页/共23页感谢您的观看！第23页/共23页