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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页数列极限是数学分析最重要的基础之一它不仅与函数极限 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为数列为数列.因为因为N+的所有元素可以从小到大排列出来的所有元素可以从小到大排列出来,则称则称若函数若函数 f 的定义域为全体正整数的集合的定义域为全体正整数的集合 或简记为或简记为 an.这里这里 an 所以我们也将数列所以我们也将数列写成写成称为数列称为数列 an 的
2、通项的通项.一、数列的定义返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、一个经典的例子样的过程可以无限制地进行下去样的过程可以无限制地进行下去.我我们们把把每每天天截截下下部部分分(或或剩剩下下部部分分)的的长长度度列列出出：第一天截下第一天截下 第二天截下第二天截下第第n天截下天截下这样就得到一个数列这样就得到一个数列:古代哲学家庄周所著的庄子古代哲学家庄周所著的庄子 天下篇引用了天下篇引用了一句话一句话:“一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,万世不竭万世不竭”.它的它的意思是意思是:一根长为一尺的木棒一根长为一尺的木棒,每天截下一半每天截下一半,这这返回返回返回返回后页后页后页后页前
3、页前页前页前页容易看出容易看出:数数列列随着随着 n 的无的无限增限增大而无限趋于大而无限趋于 0 0.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、收敛数列的定义下面给出严格的数学定义下面给出严格的数学定义.定义定义1为一个数列为一个数列,a 为一个常数为一个常数,若对于若对于任意的正数任意的正数 ,总存在正整数总存在正整数 N,使当使当 n N 时时,则称数列则称数列收敛于收敛于a,又称又称 a 为数列为数列 的极限的极限,一般地说一般地说,对于数列对于数列 ,若当若当 n 充分变大时充分变大时,an能无限地接近某个常数能无限地接近某个常数 a,则称则称 收敛于收敛于 a.返回返回返
4、回返回后页后页后页后页前页前页前页前页记作记作若若 不收敛不收敛,则称则称 为为发散发散数列数列.注注 定义定义1 这种陈述方式，俗称为这种陈述方式，俗称为“-N”说说法法.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页四、按定义验证极限以说明以说明,希望大家对希望大家对“-N”说法能说法能有正确的认有正确的认识识.例例1 1用定义验证用定义验证:分析分析 对于任意正数对于任意正数要使要使只要只要证证 对于任意的正数对于任意的正数 ,所以所以为了加深对数列收敛定义的了解为了加深对数列收敛定义的了解,下面结合例题加下面结合例题加返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2 用定义验证
5、用定义验证分析分析 对于任意的正数对于任意的正数 ,要使要使 只要只要这就证明了这就证明了证证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页只要只要 即可即可.例例3 用定义验证用定义验证分析分析故要使故要使成立成立,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 对于任意的正数对于任意的正数 ,取取即得即得注意注意 解这个不等式是在解这个不等式是在 的条件下进行的的条件下进行的.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以所以例例4用定义验证用定义验证因此证得因此证得证证 这里只验证这里只验证的情形（的情形（时自证）时自证）.故对于任意正数故对于任意正数 返回返回返回返回后页
6、后页后页后页前页前页前页前页五、再论“-N”说法从从定义定义及上面的例题我们可以看出及上面的例题我们可以看出:此外，又因此外，又因 是是任意正数任意正数,所以所以 1.的任意性的任意性:定义中的定义中的 用来用来刻画数列刻画数列 an 的通的通项与定数项与定数 a 的接近程度的接近程度.显然正数显然正数 愈小愈小,表示表示 a n与与 a 接近的程度愈高；接近的程度愈高；是任意的是任意的,这就表示这就表示 an与与 a 可以任意接近可以任意接近.要注意，要注意，一一旦旦给出，在接下给出，在接下来计算来计算 N 的过程中，的过程中，它它暂时看作是确定不变的暂时看作是确定不变的.返回返回返回返回后
7、页后页后页后页前页前页前页前页可以用可以用(K 为某一正常数为某一正常数)来代来代替替.定义定义 1,那么对那么对 1 自然也可以验证成立自然也可以验证成立.均可看作任意正数均可看作任意正数,故定义故定义 1 中的不等式中的不等式2.N 的相对性的相对性:从定义从定义1 中中又又可看出可看出,随随着着 的取值的取值不同不同,N 当然也会不同当然也会不同.但这并不意味着但这并不意味着 N 是是由由 再有再有,我们还可以限定我们还可以限定 小于某一个正数小于某一个正数(比如比如 1 ).事实上事实上,对对 0 N1=2N 时时,对于同样的对于同样的 ,更应有更应有 惟一确定惟一确定.例如例如,当当
8、 n N 时时,有有求求 N 的的“最佳性最佳性”.也就是说也就是说,在这里只是强调在这里只是强调 N 的存在性的存在性,而不追而不追返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页3.极限的几何意义极限的几何意义示当示当 n N 时时,从几何上看从几何上看,实际上就实际上就是是时有时有所有下标大于所有下标大于 N 的的 an 全都落在全都落在邻邻域域 之内，之内，而在而在 之外之外,an 至多只有有限项至多只有有限项(N 项项).反过来反过来,如果对于任意正数如果对于任意正数 ,落在落在 之外至之外至多只有有限项多只有有限项,设这些项的最大下标为设这些项的最大下标为 N,这就表这就表返回返回
9、返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 an 的有限多项的有限多项,则称数列则称数列 an 收敛于收敛于a.这这样样,an 不以不以 a 为极限的定义也可陈述为为极限的定义也可陈述为:存在存在之外含有之外含有 an 中的无限多中的无限多不以任何实数不以任何实数 a 为极限为极限.以上是定义以上是定义 1 的等价说法的等价说法,写成定义就是写成定义就是:定义定义1 任给任给,若在若在 之外至多只有之外至多只有项项.注注 an 无极限（即发散）的等价定义为无极限（即发散）的等价定义为:an 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页以下定理显然成立以下定理显然成立,请读者自证请读者自证.4
10、.无穷小数列和无穷大数列无穷小数列和无穷大数列返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页六、一些例子为了更好地理解为了更好地理解定义定义,再举一些例题再举一些例题.例例5 证明证明发散发散.又因又因 a 是任意的是任意的,所以所以 发散发散.a 为极限为极限.证证 对于任意实数对于任意实数 a,取取之外有无限多之外有无限多所所以以由由定定义义1,不以不以个偶数项（奇数项）个偶数项（奇数项）.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例6 证明证明解解当当时，时，从而从而返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 我们用两种
11、方法来证明我们用两种方法来证明.例例7 证明证明 1)任给正数任给正数有项都能使不等式有项都能使不等式 成立即可成立即可.注注 这里我们将这里我们将 N 取为正数取为正数,而非正整数而非正整数.实际上实际上N 只是表示某个时刻只是表示某个时刻,保证从这一时刻以后的所保证从这一时刻以后的所返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页没有定义没有定义.2)任给正数任给正数,限制限制 由由可知只需取可知只需取注注 这里假定这里假定 0 1 是必要的是必要的,否则否则 arcsin 便便返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题1.极限定义中的极限定义中的“”是否可以写成是否可以写成“”?为什么为什么?2.反之是否成立反之是否成立?3.已知已知是一个一一影射是一个一一影射.请依据极限定义证明请依据极限定义证明: