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1、4.3 4.3 离散相似法离散相似法 4.3.1 4.3.1 离散相似概念离散相似概念 离散相似法是将连续系统模型处理成与离散相似法是将连续系统模型处理成与之等效的离散模型的一种方法。之等效的离散模型的一种方法。设计一个离散系统模型，使其中的信息流信息流与给定的连续系统中信息流信息流相似。设有一个连续系统，其输入为设有一个连续系统，其输入为u(t),输出为输出为y(t)。4.4(a)4.4(b)采样定理：采样定理：需要理想低通滤波器和放大器需要理想低通滤波器和放大器 用一个周期为 的采样器采样器将输入和输出分别离散化，要求输出在采样时刻的值等于y(t)在同一时刻的值。为了使输入信号u(t)不失
2、真，必须在采样开关后加一个信号重构器信号重构器，其作用其作用是把采样函数的脉冲序列恢复成时间连续函数，并保持它的时域连续性及其运动时域连续性及其运动趋势。趋势。从频域看是把由于采样离散化而产生的高频分量滤高频分量滤去去，而将采样函数的离散频谱恢复成连续函数的主频谱分量。连续系统离散化过程 信号重构器不是理想的滤波器会给信号带来幅值的衰减和相位的延迟，故：离散相似法的精度离散相似法的精度主要取决于采样周期主要取决于采样周期 的大小以及信号重构器的特性的大小以及信号重构器的特性。离散相似法的两种形式：离散相似法的两种形式：一种是一种是传递函数传递函数的离散相似处理，得到的离散相似处理，得到离散传递
3、函数（离散传递函数（频域频域）另一种是另一种是连续状态方程连续状态方程的离散相似处理，的离散相似处理，得到离散化状态方程（得到离散化状态方程（时域时域）。4.3.2 Z4.3.2 Z域离散相似方法域离散相似方法 1.1.基本方法基本方法 采样开关采样开关 ：获得离散信号获得离散信号保持器保持器 ：把离散信号把离散信号转化成连续信号转化成连续信号连续系统离散化过程用Z变换方法求脉冲传递函数 若G(s)=，采用零阶保持器，则利用Z逆变换求得其差分方程模型：注意：注意：采用不同的信号重构器得到的离散模采用不同的信号重构器得到的离散模型是不一样的。型是不一样的。Z Z域离散相似方法的主要步骤：域离散相
4、似方法的主要步骤：(1)画出连续系统结构图；(2)在适当的地方加入虚拟采样开关，选择合适的信号重构器；(3)将所引进的信号重构器传递函数与连续系统传递函数串联，通过Z变换求得系统的脉冲传递函数；(4)通过Z逆变换求仿真差分方程 由由Gh(s)G(s)求脉冲传递函数求脉冲传递函数G（z)Z反变换反变换 离散差分模型离散差分模型 2.2.典型环节离散相似模型典型环节离散相似模型(1)(1)积分环节积分环节 采用零阶信号重构器零阶信号重构器 离散化传递函数为 TT由由Z变换的线性性质和位移定理可得变换的线性性质和位移定理可得或者或者即即进行进行Z逆变换，得仿真差分模型逆变换，得仿真差分模型选用一阶信
5、号重构器选用一阶信号重构器，其传递函数为离散化之后的脉冲传递函数为 或者 进行Z逆变换，得差分方程或者 结论：用零阶保持器，结果与欧拉结论：用零阶保持器，结果与欧拉法相当；用一阶保持器，结果与显式法相当；用一阶保持器，结果与显式的二阶的二阶Adams Adams 法是相当。法是相当。在实际应用时，为了方便起见，在实际应用时，为了方便起见，常常采用零阶保持器采用零阶保持器。4.3.3 4.3.3 时域离散相似法原理时域离散相似法原理 1.1.状态方程的离散相似法描述状态方程的离散相似法描述 如果系统的数学模型以状态方程描述，则可以对它进行离散化处理，求得离散化状态方程组（差分方程组），然后编制程
6、序进行仿真。T信号重构信号重构T2离散公式推导离散公式推导系统状态方程系统状态方程：其中，X (K+1)T=(T)X(KT)+G(T)u(KT)Y（KT）=C X（KT）+D u（KT）(T)e AT (状态转移矩阵状态转移矩阵)(输输入信号采用零入信号采用零阶阶重构器引入的系数矩重构器引入的系数矩阵阵)离散状态离散状态 方方 程：程：求通解的方法求通解的方法1 1：两边取Laplace变换。进行Laplace逆变换，并利用卷积公式，得 其中 求通解的方法求通解的方法2 2：通过展开 求的通解：上式两边从 到 积分可得 即 当 时 采用零阶保持器零阶保持器:时域连续时域连续模型：模型：离散状态
7、方程 采用三角保持器：采用三角保持器：若采用三角保持器，则 在两个相邻采样点之间成为一斜坡函数，即 将上式代(4.41)并引记号 得 可简写为 例例 4.64.6 用离散相似法仿真图 4.9系统首先写出线性部分状态方程其中-图 4.9 含非线性环节的二阶系统易求得则进行拉氏反变换得：所以线性部分的离散状态方程为差分方程组为计算方法流程2.2.典型环节的离散状态方程典型环节的离散状态方程(1)(1)积分环节积分环节(2)(2)比例积分比例积分(3)(3)惯性环节惯性环节(4)比例惯性比例惯性(5)比例微分比例微分注意：此环节必须用三角保持器。注意：此环节必须用三角保持器。4.3.4 4.3.4
8、离散相似模型的精度与稳离散相似模型的精度与稳定性分析定性分析 离散相似模型的精度：离散相似模型的精度：离散相似模型只能等效于原来的连续系统，其精度受精度受采样周期采样周期和和信号重构器信号重构器性能的影响。性能的影响。离散相似模型的稳定性离散相似模型的稳定性:（条件稳定）（条件稳定）由于信号重构器总是存在一定程度的幅值衰减和相位滞后，采样周期或信号重构器选得不合适会使得离散模型的稳定性变差，甚至不稳定。1 1、采样周期的选择、采样周期的选择 根据根据ShannonShannon采样定理，当对一个具有有限采样定理，当对一个具有有限频谱频谱 的连续信号的连续信号f(t)f(t)进行采样时，进行采样
9、时，如果采样频率如果采样频率 满足满足 这一条件，则这一条件，则采样函数采样函数 便能无失真地复现原来的连便能无失真地复现原来的连续信号续信号f(t)f(t)。这里。这里 为信号为信号f(t)f(t)的有效频的有效频谱的最高角频率。谱的最高角频率。在选择采样周期时，不仅要满足采样定理的要求，而且要适当照顾整个系统的动态响应，否则便会降低精度。两种选择采样周期的方法：两种选择采样周期的方法：(1)(1)按系统响应时间确定采样周期按系统响应时间确定采样周期 是系统中反应最快的那个闭环子系统的最小时间常数。(2)2)参照系统开环剪切频率参照系统开环剪切频率 选取选取 为反应最快的那个小闭环系统的开环
10、剪切频率。2.2.信号重构器对仿真模型精度的影响信号重构器对仿真模型精度的影响(1)(1)零阶保持器零阶保持器 传递函数 权函数 特点：零阶信号重构前缘可以使一个离散序列恢复成阶梯状特点：零阶信号重构前缘可以使一个离散序列恢复成阶梯状 的连续函数。再现函数比原函数滞后半个周期；的连续函数。再现函数比原函数滞后半个周期；零阶信号重构器可以毫无失真地复现阶跃信号。零阶信号重构器可以毫无失真地复现阶跃信号。2）一阶信号重构器）一阶信号重构器 外推公式外推公式脉冲过渡函数脉冲过渡函数传递函数传递函数 特点：存在幅值衰减和相位滞后，特点：存在幅值衰减和相位滞后，可以毫不失真地复现斜坡信号。可以毫不失真地
11、复现斜坡信号。图图 一阶信号重构器频率特性一阶信号重构器频率特性t02T4T6T图 4.16 一阶信号重构器的性信号恢复特性（3 3）滞后一拍的三角信号重构器）滞后一拍的三角信号重构器 外推重构公式为 因为有时不能预知，实际上能实现的是 脉冲过渡函数传递函数 T2T0tT图 4.17 滞后一拍的三角形信号重构器T2T3Tt0图 4.18 三角形信号重构器的信号恢复特性4.3.5 利用数字补偿器提高离散相似模型的精度和稳定性校正器的形式：校正器的形式：通常采用如下形式的校正器 其中，称为增益幅值补偿可调参数，称为相位补偿可调参数。图4.19 在系统中加入连续型校正器实际应用中常常将(4.54)近
12、似成如下形式下面以积分环节为例来说明具体的补偿方法。如图4.20所示 TT图 4.20 加补偿器后积分环节的离散化模型加入补偿器以后的传递函数为 则脉冲函数传递函数为 即 进行Z逆变换，得 习惯上把上式称为可调数值积分公式可调数值积分公式。(1)取 得 这时相当于不加补偿，类似与Euler公式(2)取 得 这相当于数值积分中的梯形公式。(3)取 得 这相当于隐式Euler公式。可见，选取不同的 值，可以得到不同的差分公式。确定补偿参数确定补偿参数 和和 的方法：的方法：(1)(1)根匹配法根匹配法 适用条件：适用条件：当系统阶次较低，补偿个数较少时采用该法。例例4.74.7 已知惯性环节的传递
13、函数为 系统结构如图4.21(a)所示，等价的离散系统如图4.21(b)所示。K-+ux(a)KT+(b)u-离散系统的脉冲传递函数为从阶次上看，(4.60)是一个二阶系统，它和原来的连续系统（一阶）是不匹配的。为此，在(4.60)中令 ，可得 让(4.61)的极点与原惯性环节的极点相匹配，得 从而 这样便获得一组补偿参数 离散传递函数 相应的差分方程为 根匹配法确定的根匹配法确定的 和和 的特点：的特点：一般来讲，按根匹配法确定的 和 可以使离散系统的自由运动和阶跃输入的响应与原来的系统保持一致，而且对任意信号的响应都有较好的精度。(2)(2)按输出响应误差最小法确定补偿器参数按输出响应误差
14、最小法确定补偿器参数 适用条件：适用条件：假设在校正系统引进了多个补偿器，这时再用根匹配法就显得很不方便，可以采取参数寻优的方法 把目标函数确定为离散系统输出与原来的连续系统输出误差最小。例子：例子：下面是文献1,6给出的PI调节系统的例子。PI调节器执行机构控制对象其中 为幅值等于0.1的扰动信号。系统开环剪切率 ，该系统共有三组可调参数 。用参数寻优法确定在一定采样周期下的最优 和 ，其目标函数确定为离散系统输出值与原连续系统精确解之间的误差最小。可调数值积分器误差三角形保持器误差零阶保持器误差0.10.3151.58014.9930.20.6282.972124.2960.34.26811.117780.137类型平均相对误差表4.5三种方法相对误差比较由表4.5可知，不管采样周期怎样，均以可调数值积分器补偿的精度最高。而以零阶保持器为最低。而且，对每一种方法来说，在采样周期取值的一定范围内，采样周期越小，精度越高。也可以看到，可调数值补偿器对提高仿真精度确实有效，特别是当采样周期较大时，仍能得到较高的仿真精度，因此可用于快速仿真或实时仿真。