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1、第第 4 4 章章 线性离散系统的数学描述线性离散系统的数学描述 及及Z Z传递函数分析法传递函数分析法 本章主要教学内容本章主要教学内容本章主要教学内容本章主要教学内容 1.线性离散系统的数学描述与差分方程的解线性离散系统的数学描述与差分方程的解2.Z传递函数传递函数3.离散系统的误差特性离散系统的误差特性4.离散系统的稳定性离散系统的稳定性 5.离散系统的动态特性离散系统的动态特性4.1 线性离散系统的数学描述与差分方程的解线性离散系统的数学描述与差分方程的解4.1.1 线性连续系统与线性离散系统线性连续系统与线性离散系统1 连续系统连续系统输入输入r(t)，输出，输出y(t).微分方程微
2、分方程:2 离散系统离散系统或或3 微分方程转化为差分方程微分方程转化为差分方程离散化离散化用差分代替微分用差分代替微分一阶导数（微分）一阶导数（微分）（后向差分）（后向差分）二阶微分（导数）二阶微分（导数）三阶微分（导数）三阶微分（导数）积分积分，T为采样周期为采样周期4.1.2 差分方程的解法差分方程的解法1 迭代法迭代法2 古典法古典法3 Z变换法变换法仿照连续系统引入拉氏变换，可使求解微分方程的仿照连续系统引入拉氏变换，可使求解微分方程的微积分运算变为代数方程进行求解。对离散系统用微积分运算变为代数方程进行求解。对离散系统用Z变换求解差分方程，使得求解运算变成了代数运算，变换求解差分方
3、程，使得求解运算变成了代数运算，简化了计算方法。其步骤如下：简化了计算方法。其步骤如下：（1）对差分方程作）对差分方程作Z变换（主要用到平移定理）；变换（主要用到平移定理）；（2）利用输出初始条件或求出初值）利用输出初始条件或求出初值y(0)，y(T)，代入代入Z变换式；变换式；（3）整理）整理Z变换式求出变换式求出（4）由）由 利用长除法、部分分式法利用长除法、部分分式法或留数法作或留数法作Z反变换，可求出差分方程的解反变换，可求出差分方程的解y(kT)。例例4.1-1 某二阶离散系统的差分方程为某二阶离散系统的差分方程为，输入为单位阶跃序列，输入为单位阶跃序列初始条件为初始条件为0，求，求
4、y(k).【解解】Z变换：变换：Z反变换反变换例例4.1-2 已知差分方程已知差分方程 y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=0，初始条件为初始条件为y(0)=0，y(1)=1，求，求y(k).【解解】Z变换：根据超前定理，上式变为变换：根据超前定理，上式变为Z反变换：反变换：4.2 Z传递函数传递函数4.2.1 Z传递函数的定义传递函数的定义Z传递函数传递函数也称为脉冲传递函数也称为脉冲传递函数（pulse transferFunction），），（零初始条件下）（零初始条件下）若已知若已知R(z)和和G(z)，则，则4.1.2 Z传递函数的求法传递函数的求法1 由差分方程求由差分方程求
5、Z传递函数传递函数在零初始条件下，取在零初始条件下，取Z变换变换系统的特征方程系统的特征方程例例4.2.1 设线性离散系统的设线性离散系统的Z传递函数为传递函数为，求差分方程。，求差分方程。【解解】2 积分环节的积分环节的Z传递函数传递函数传递函数传递函数输入输出关系输入输出关系y(t)采样后为采样后为y(kT),（前向矩形积分）（前向矩形积分）（后向矩形积分）（后向矩形积分）（梯形积分）（梯形积分）对上式分别作对上式分别作Z变换，整理后得变换，整理后得Z传递函数为传递函数为！连续系统的积分环节连续系统的积分环节G(s)中的中的s可以用不同的可以用不同的近似方法代替，即用不同的离散实现，但近似
6、方法代替，即用不同的离散实现，但 z=1的的极点极点相同。相同。3 由连续系统的传递函数由连续系统的传递函数G(s)求求G(z)在连续系统中，输入是单位脉冲在连续系统中，输入是单位脉冲 ，输出是单位，输出是单位脉冲响应函数脉冲响应函数 h(t)，则有，则有在离散系统中，按定义有在离散系统中，按定义有步骤：步骤：G(s)h(kT)例例4.2-2 已知已知 ，求，求G(z)。【解解】相当于将采样时间延长了相当于将采样时间延长了T，根据，根据Z变换的变换的线性定理和滞后定理，通过查表可得线性定理和滞后定理，通过查表可得4 开环串、并联的开环串、并联的Z传递函数传递函数（1）两个离散环节串联）两个离散
7、环节串联（2）两个连续的串联环节之间有理想采样开关）两个连续的串联环节之间有理想采样开关（3）两个串联环节之间没有采样开关）两个串联环节之间没有采样开关n个环节串联：个环节串联：一般地，一般地，图图4.2-1 环节串联环节串联（4）环节并联）环节并联（a）（b）（c）5 带有零阶保持器的开环带有零阶保持器的开环Z传递函数传递函数零阶保持器零阶保持器可分解成两个单位阶跃函数之差，可分解成两个单位阶跃函数之差，传递函数传递函数Z传递函数传递函数图图4.2-3 带有零阶保持器的带有零阶保持器的Z传递函数传递函数例例4.2-3 如上图所示，已知如上图所示，已知 ，求，求 .【解解】6 闭环闭环Z传递函
8、数传递函数设闭环系统输出信号的设闭环系统输出信号的Z变换为变换为Y(z)，输入信号的，输入信号的Z变换为变换为R(z)，误差信号的，误差信号的Z变换为变换为E(z)，则定义，则定义闭环闭环Z传递函数传递函数闭环偏差闭环偏差Z传递函数传递函数（1）简单闭环）简单闭环Z传递函数传递函数+-（2）复杂闭环）复杂闭环Z传递函数（与采样开关的配置有关）传递函数（与采样开关的配置有关）a.与与 之间没有采样开关之间没有采样开关+-b.与与 之间有采样开关之间有采样开关+-c.与与 、与与 之间没有采样开关隔开之间没有采样开关隔开+-!闭环传递闭环传递函数求不出函数求不出来来,因因 中分离不出中分离不出 .
9、4.3 用用Z传递函数分析线性离散系统的误差特性传递函数分析线性离散系统的误差特性稳态误差稳态误差反映了系统的精度及抗干扰能力反映了系统的精度及抗干扰能力.引起稳态误差的引起稳态误差的原因原因：（1）系统的结构、参数）系统的结构、参数（2）输入信号的形式）输入信号的形式（3）外来的干扰）外来的干扰（4）系统中的各种非确定性因素：如零件参数）系统中的各种非确定性因素：如零件参数离散，摩擦，不灵敏离散，摩擦，不灵敏在连续系统中，稳态误差的计算方法有两种：在连续系统中，稳态误差的计算方法有两种：（1）用拉氏变换终值定理）用拉氏变换终值定理（2）从系统误差传递函数出发的动态误差系数法）从系统误差传递函
10、数出发的动态误差系数法由于离散系统没有唯一的典型结构形式，所以误差由于离散系统没有唯一的典型结构形式，所以误差脉冲传递函数也给不出一般的计算公式，离散系统的脉冲传递函数也给不出一般的计算公式，离散系统的稳态误差需要针对不同形式的离散系统来求取。稳态误差需要针对不同形式的离散系统来求取。4.3.1 系统的结构、参数和输入形式与误差的关系系统的结构、参数和输入形式与误差的关系+-稳态误差稳态误差（终值定理）（终值定理）系统的开环系统的开环Z传递函数可写成传递函数可写成系统也分别称为系统也分别称为0型，型，型，型，型，型，系统。系统。1 单位阶跃输入时的稳态误差单位阶跃输入时的稳态误差其中其中当当
11、具有一个以上的极点具有一个以上的极点(z=1)时，则时，则（3）若）若 具有具有2个个z=1的极点，则的极点，则（1）若）若 具有具有0个个z=1的极点，则的极点，则（2）若）若 具有具有1个个z=1的极点，则的极点，则2 单位速度（斜坡）输入时的稳态误差单位速度（斜坡）输入时的稳态误差（3）当当 具有具有3个以上极点时，个以上极点时，（2）当当 具有具有2个极点时，个极点时，（1）当当 具有具有 0,1个极点时，个极点时，3 单位加速度输入时的稳态误差单位加速度输入时的稳态误差三种信号输入时各类系统的稳态误差三种信号输入时各类系统的稳态误差 系统类型 输 入 信 号 r(kT)=1(kT)r
12、(kT)=kT 0 型 型 0 型 0 0 型 0 0 04.3.2 扰动作用下的系统稳态误差扰动作用下的系统稳态误差+-由扰动引起的误差由扰动引起的误差其稳态误差其稳态误差由输入引起的误差由输入引起的误差由输入和干扰引起的总误差由输入和干扰引起的总误差4.4 用用Z传递函数分析线性离散系统的稳定性传递函数分析线性离散系统的稳定性 连续线性定常系统稳定的充要条件是：闭环系统系连续线性定常系统稳定的充要条件是：闭环系统系统的特征值具有负实部，即闭环系统的统的特征值具有负实部，即闭环系统的极点极点均分布均分布在在S平面的平面的左左半平面。半平面。线性离散系统是否稳定，要看闭环系统的线性离散系统是否
13、稳定，要看闭环系统的Z传递函传递函数的数的极点分布极点分布情况。情况。令令 ，则有，则有4.4.1 S平面与平面与Z平面的映射关系平面的映射关系Z变换的定义：变换的定义：（4）当）当 每变化一个每变化一个 ，则对应地在，则对应地在Z平面上重复平面上重复（3）当）当 0 时，时，1，右半平面，右半平面单位圆外部；单位圆外部；（2）当）当 0 时，时，1，左半平面，左半平面单位圆内部；单位圆内部；（1）当）当 时，时，虚轴，虚轴 单位圆；单位圆；画出一个单位圆。画出一个单位圆。主频区。主频区。（5）左半平面无穷远处对应）左半平面无穷远处对应Z平平面的圆心。面的圆心。设设 ，则，则对应于对应于Z平面
14、：从原点出发，幅角平面：从原点出发，幅角 的的（6）S平面上平行与实轴的直线平面上平行与实轴的直线一条射线。一条射线。（7）S平面的一条射线，又称为等阻尼线。平面的一条射线，又称为等阻尼线。即：即：z的模的模z的相角的相角！对数螺旋线对数螺旋线都分布在都分布在Z平面上以原点为圆心的单位圆内：平面上以原点为圆心的单位圆内：1.4.4.2 线性离散系统的稳定条件线性离散系统的稳定条件线性离散系统稳定的线性离散系统稳定的充要充要条件：特征方程的全部条件：特征方程的全部根，或者说闭环根，或者说闭环Z传递函数的全部极点传递函数的全部极点 ，+-!可用解析的方法说明可用解析的方法说明上图所示闭环系统的上图
15、所示闭环系统的Z传递函数为传递函数为系统的特征方程系统的特征方程系统的输出为系统的输出为设输入为设输入为 ，即，即 ，当，当 无重极点无重极点时，时，可分解为部分分式可分解为部分分式若系统稳定，则随着时间增长，即若系统稳定，则随着时间增长，即 时，时，若若 1（i=1,2,n），则上式满足。若有一个根），则上式满足。若有一个根 大于大于1，系统不稳定；若有一个根的模等于，系统不稳定；若有一个根的模等于1，则系，则系统处于临界稳定状态。统处于临界稳定状态。4.4.3 系统稳定性判别方法（准则）系统稳定性判别方法（准则）1 （修正）劳斯（修正）劳斯-霍尔维茨稳定判据霍尔维茨稳定判据S域：基于传递函
16、数的连续系统稳定条件是特征根域：基于传递函数的连续系统稳定条件是特征根的实部为负数的实部为负数可直接用劳斯判据可直接用劳斯判据Z域：基于域：基于Z传递函数的离散系统稳定条件是特征传递函数的离散系统稳定条件是特征根的模小于根的模小于1 不能直接用劳斯判据不能直接用劳斯判据？作一种作一种ZW变换，变换后变换，变换后W平面的左半平面对应平面的左半平面对应Z平面的单位圆内，于是在平面的单位圆内，于是在W域内可使用劳斯判据。域内可使用劳斯判据。这种坐标变换称为这种坐标变换称为W变换，或称为变换，或称为双线性双线性变换。变换。若令若令 ，代入上式，则有，代入上式，则有复变函数双线性变换复变函数双线性变换则
17、有则有ImZRe+1-10jvW0uZ-W映射关系映射关系（1）r1，在，在Z平面的单位圆内，则平面的单位圆内，则u0，W平面的平面的左半平面；左半平面；（2）r1，在，在Z平面的单位圆内，则平面的单位圆内，则u0，W平面的平面的右半平面；右半平面；（2）作）作 变换，经整理后得到变换，经整理后得到 ；系统的特征多项式系统的特征多项式 经经 变换变成变换变成 ，（3）r=1，在，在Z平面的单位圆上，则平面的单位圆上，则 u=0，表示为表示为W平面上的虚轴。平面上的虚轴。劳斯判据劳斯判据对对 使用劳斯判据，其步骤为使用劳斯判据，其步骤为（1）求出离散系统的特征方程）求出离散系统的特征方程 ；（3
18、）对）对 列写劳斯表，判别系统的稳定性。列写劳斯表，判别系统的稳定性。例例4.4-1 利用劳斯判据，讨论图示系统的稳定性，其中利用劳斯判据，讨论图示系统的稳定性，其中K=1，T=1s.+-【解解】系统的特征方程为系统的特征方程为采用双线性变换，即令采用双线性变换，即令 可得可得W平面的特征方程平面的特征方程建立劳斯表建立劳斯表由劳斯判据可知系统稳定。由劳斯判据可知系统稳定。例例4.4-2 某离散系统如图所示。试用劳斯准则确定使某离散系统如图所示。试用劳斯准则确定使该系统稳定的该系统稳定的k值范围，设值范围，设T=0.25s.【解解】Z特征方程特征方程W特征方程特征方程Routh表：表：由由Ro
19、uth稳定判据，使系统稳定的稳定判据，使系统稳定的k值范围为值范围为0k17.3另外，采样周期另外，采样周期T对系统稳定性有影响，缩短采样周对系统稳定性有影响，缩短采样周期，会改善系统的稳定性。对于本例，若期，会改善系统的稳定性。对于本例，若T=0.1s，则则 0k40.5.【结论结论】（1）使用劳斯判据，可确定系统稳定极点的个数；）使用劳斯判据，可确定系统稳定极点的个数；（2）可分析系统各参数（如放大系数）可分析系统各参数（如放大系数K、采样周期、采样周期T、对象特征参数等）对系统稳定性的影响。对象特征参数等）对系统稳定性的影响。（3）控制系统中加入零阶保持器后，会使系统的稳定）控制系统中加
20、入零阶保持器后，会使系统的稳定性变差。性变差。（4）开环放大系数）开环放大系数K对离散系统稳定性的影响与连续对离散系统稳定性的影响与连续系统类似，系统类似，K加大，系统稳定性变差。加大，系统稳定性变差。2 舒尔舒尔-科恩（科恩（Schour-Cohn）判据）判据适用于高阶系统适用于高阶系统线性离散系统的特征方程为线性离散系统的特征方程为以三阶特征方程为例以三阶特征方程为例当特征方程高于三阶时，可按上表的规则推出。当特征方程高于三阶时，可按上表的规则推出。舒尔舒尔-科恩判据科恩判据：若行列表中第一列单数行的各元素：若行列表中第一列单数行的各元素均为正，则系统稳定。均为正，则系统稳定。3 二阶系统
21、的稳定性判据二阶系统的稳定性判据 Z域直接判别法域直接判别法设系统的特征方程为设系统的特征方程为当满足下列三个条件：当满足下列三个条件：（1）1（2）0（3）0则系统是稳定的。则系统是稳定的。例例4.4-3 在例在例4.4-2中，试用中，试用Z域直接判别法确定满足域直接判别法确定满足系统稳定的系统稳定的K值范围。值范围。【解解】特征方程特征方程根据根据Z域直接判别法域直接判别法100可得满足系统稳定的条件为可得满足系统稳定的条件为 0k17.3.此结果与上此结果与上例用劳斯判据给出的结果相同。例用劳斯判据给出的结果相同。（即超调量（即超调量 与过渡过程时间与过渡过程时间 ）。即）。即进行进行Z
22、反变换，就可获得动态响应采样值反变换，就可获得动态响应采样值 y(kT)。将。将 设单位阶跃输入的输出的设单位阶跃输入的输出的Z变换为变换为Y(z)，那么对，那么对Y(z)4.5 离散系统的动态特性离散系统的动态特性线性离散系统的动态特性是指系统在单位阶跃信线性离散系统的动态特性是指系统在单位阶跃信号输入下的过渡过程特性（或系统的号输入下的过渡过程特性（或系统的动态响应特性动态响应特性）.Y(kT)连成光滑曲线，就可获得系统的动态性能指标连成光滑曲线，就可获得系统的动态性能指标一般地，采样系统的一般地，采样系统的闭环脉冲闭环脉冲传递函数可写成传递函数可写成输入：输入：输出：输出：对应的暂态响应
23、分量对应的暂态响应分量 是等幅的。是等幅的。（2）极点在单位圆与正实周的交点，例如）极点在单位圆与正实周的交点，例如 ，的暂态响应分量的暂态响应分量 单调发散。单调发散。1 闭环实极点对系统动态性能的影响闭环实极点对系统动态性能的影响对上式取对上式取逆逆Z变换，得采样系统的输出响应，其中包变换，得采样系统的输出响应，其中包含含稳态稳态响应，及由实极点和复极点所引起的响应，及由实极点和复极点所引起的暂态暂态响应响应.（1）极点在单位圆外的实轴上，例如）极点在单位圆外的实轴上，例如 ，对应，对应对应的暂态响应分量对应的暂态响应分量 是正负交替的是正负交替的衰减衰减应的暂态响应分量应的暂态响应分量
24、单调衰减单调衰减。（3）极点在）极点在单位圆内单位圆内的的正实轴正实轴上，例如上，例如 ，对，对（4）极点在）极点在单位圆内单位圆内的的负实轴负实轴上，例如上，例如 ，振荡振荡（周期为（周期为2T）。）。（5）极点在）极点在单位圆单位圆与与负实轴负实轴的交点，例如的交点，例如 ，对，对应的暂态响应分量应的暂态响应分量 是是正负交替正负交替的的等幅等幅振荡振荡（周期为（周期为2T）。）。（6）极点在单位圆外的复实轴上，例如）极点在单位圆外的复实轴上，例如 ，对，对应的暂态响应分量应的暂态响应分量 是正负交替的发散振是正负交替的发散振荡（周期为荡（周期为2T）。2 闭环复极点对系统动态性能的影响闭
25、环复极点对系统动态性能的影响（1）复极点在）复极点在Z平面单位圆外，对应的暂态响应分量平面单位圆外，对应的暂态响应分量是振荡发散的。是振荡发散的。（2）复极点在）复极点在Z平面单位圆上，对应的暂态响应是等平面单位圆上，对应的暂态响应是等幅振荡。幅振荡。（3）复极点在）复极点在Z平面单位圆内，对应的暂态分量是平面单位圆内，对应的暂态分量是振荡衰减的。振荡衰减的。综上所述，对离散系统极点分布作如下讨论：综上所述，对离散系统极点分布作如下讨论：（1）为使离散系统具有满意的瞬态特性，其闭环极）为使离散系统具有满意的瞬态特性，其闭环极应尽量避免分布在应尽量避免分布在Z平面单位圆的左半部，尤其不平面单位圆
26、的左半部，尤其不要靠近负实轴。闭环极点最好分布在要靠近负实轴。闭环极点最好分布在Z平面单位圆的平面单位圆的右半部，尤为理想的是分布在靠近原点的地方，由右半部，尤为理想的是分布在靠近原点的地方，由于这时于这时 值较小，所以响应的瞬态过程较快，即离值较小，所以响应的瞬态过程较快，即离散系统对输入具有快速响应的性能。散系统对输入具有快速响应的性能。（2）通过分析可知，极点越接近）通过分析可知，极点越接近Z平面的单位圆，瞬平面的单位圆，瞬态响应衰减越慢。假如有一对极点最靠近单位圆，态响应衰减越慢。假如有一对极点最靠近单位圆，而其他极点均在原点附近，离这一对极点相当远，则而其他极点均在原点附近，离这一对极点相当远，则系统响应主要由这系统响应主要由这一对极点一对极点决定，称为决定，称为主导极点对主导极点对。这时可忽略原点附近极点相对应的瞬态分量，而主这时可忽略原点附近极点相对应的瞬态分量，而主考虑主导极点引起的瞬态分量。考虑主导极点引起的瞬态分量。本章作业本章作业：3.3，3.4（3），），3.6（2），），3.8