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1、不定积分换元法第1页，本讲稿共43页第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法基本思路基本思路 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设可导,则有第2页，本讲稿共43页一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.则有换元公式(也称配元法配元法即,凑微分法凑微分法)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页，本讲稿共43页例例1.求解解:令则故原式原式=注注:当时机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页，本讲稿共43页例例2.求解解:令则想到公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页，本讲稿共43页例例3.求想到解解:(直接配元)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页，本讲稿共43
2、页例例4.求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似第7页，本讲稿共43页例例5.求解解:原式原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页，本讲稿共43页常用的几种配元形式常用的几种配元形式:万能凑幂法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页，本讲稿共43页例例6.求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页，本讲稿共43页例例7.求解解:原式=例例8.求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页，本讲稿共43页例例9.求解法解法1解法解法2 两法结果一样机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页，本讲稿共43页例例10.求解法解法1 机动 目录 上页
3、 下页 返回 结束 第13页，本讲稿共43页解法解法 2 同样可证或机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页，本讲稿共43页例例11.求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页，本讲稿共43页例例12.求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页，本讲稿共43页例例13.求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页，本讲稿共43页例例14.求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析分析:第18页，本讲稿共43页例例15.求解解:原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页，本讲稿共43页小结小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降
4、低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如第20页，本讲稿共43页思考与练习思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页，本讲稿共43页2.求提示提示:法法1法法2法法3作业 目录 上页 下页 返回 结束 第22页，本讲稿共43页二、第二类换元法二、第二类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，第23页，本讲稿共43页定理定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,证证:令则
5、机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有换元公式第24页，本讲稿共43页例例16.求解解:令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页，本讲稿共43页例例17.求解解:令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页，本讲稿共43页例例18.求解解:令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页，本讲稿共43页令于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页，本讲稿共43页说明说明:被积函数含有时,除采用采用双曲代换消去根式,所得结果一致.或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角代换外,还可利用公式第29页，本讲稿共43页原式例例19.求解解:令则原式当 x 0
6、时,类似可得同样结果.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页，本讲稿共43页小结小结:1.第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:令令令或令或令或机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节讲第31页，本讲稿共43页机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.常用基本积分公式的补充(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换倒代换 令第32页，本讲稿共43页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第33页，本讲稿共43页解解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例20.求例例21.求解解:第34页，本讲稿共43页例例22.求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例23.求解解:原式
7、第35页，本讲稿共43页例例24.求解解:令得原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第36页，本讲稿共43页例例25.求解解:原式令例例16例16 目录 上页 下页 返回 结束 第37页，本讲稿共43页思考与练习思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第38页，本讲稿共43页2.已知求解解:两边求导,得则(代回原变量代回原变量)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第39页，本讲稿共43页作业作业P2042 (4),(5),(8),(9),(11),(16),(18),(19),(21),(25),(28),(29),(30),(32),(33),(35),(36),(40)第三节 目录 上页 下页 返回 结束 第40页，本讲稿共43页备用题备用题 1.求下列积分:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第41页，本讲稿共43页2.求不定积分解：解：利用凑微分法,原式=令得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第42页，本讲稿共43页分子分母同除以3.求不定积分解解:令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第43页，本讲稿共43页