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1、第四章第四章第四章微分法微分法:积分法积分法:互逆运算互逆运算不定积分不定积分 第四章二、二、基本积分表基本积分表 三、不定积分的性质三、不定积分的性质一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念第一节第一节不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 第四章一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念引例引例:一个质量为一个质量为 m 的质点的质点,下沿直线运动下沿直线运动,因此问题转化为因此问题转化为:已知已知求求在变力在变力试求质点的运动速度试求质点的运动速度根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律,加速度加速度第四章定义定义 1.若在区间若在区间 I 上定义的两个函数上定义的两个函
2、数 F(x)及及 f(x)满足满足则称则称 F(x)为为f(x)在区间在区间 I 上的一个原函数上的一个原函数.如引例中如引例中,的原函数有的原函数有 第四章问题问题:1.在什么条件下在什么条件下,一个函数的原函数存在一个函数的原函数存在?2.若原函数存在若原函数存在,它如何表示它如何表示?定理定理1.存在原函数存在原函数.(下章证明下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数若函数若函数,上连续上连续在区间在区间I)(xf上上在在则则Ixf)(第四章定理定理 2.原函数都在函数族原函数都在函数族(C 为任意常数为任意常数)
3、内内.证证:1)又知又知故故即即属于函数族属于函数族即即,)()(的一个原函数的一个原函数是是若若xfxF的所有的所有则则)(xfCxF+)()(+CxFQQ)(xF=)(xf=的原函数的原函数是是)()(xfCxF+，的任一原函数的任一原函数是是设设)()()2xfxF F)()(xfx=F F)()(xfxF=)()(xFx-F F=)()(-F FxFx0)()(=-=xfxf0)()(CxFx+=F F)(0为某个常数为某个常数C0)()(CxFx+=F F.)(CxF+第四章定义定义 2.在区间在区间 I 上的原函数全体称为上的原函数全体称为上的不定积分上的不定积分,其中其中 积积分
4、号分号;被被积积函数函数;被被积积表达式表达式.积积分分变变量量;若若则则(C 为任意常数为任意常数)C 称称为为积分常数积分常数不可丢不可丢!例如例如,记作记作第四章不定积分的几何意义不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的原函数的图形称为的图形的图形的所有积分曲线组成的所有积分曲线组成的平行曲线族的平行曲线族.的的积分曲线积分曲线.第四章例例1.设曲线通过点设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程求此曲线的方程.解解:所求曲线过点所求曲线过点(1,2),故有故有因此所求曲线为因此所求曲线为第四章例例2.
5、质点在距地面质点在距地面处以初速处以初速力力,求它的运动规律求它的运动规律.解解:取质点运动轨迹为坐标轴取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面原点在地面,指向朝上指向朝上,质点抛出时刻为质点抛出时刻为此时质点位置为此时质点位置为初速为初速为设时刻设时刻 t 质点所在位置为质点所在位置为则则(运动速度运动速度)(加速度加速度)垂直上抛垂直上抛,不计阻不计阻 先由此求先由此求 再由此求再由此求第四章先求由知再求于是所求运动规律为由知故第四章二、二、基本积分表基本积分表 从不定积分定义可知从不定积分定义可知:或或或或利用逆向思维利用逆向思维(k 为常数为常数)第四章或或或或第四章第四章例例3.求求解解:
6、原式原式 =例例4.求求解解:原式原式=第四章三、不定积分的性质三、不定积分的性质推论推论:若若则则第四章例例5.求求解解:原式原式=第四章例例6.求求解解:原式原式=例例7.求求解解:原式原式=第四章例例8.求求解解:原式原式=第四章小结小结1.不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表 2.直接积分法直接积分法:利用利用恒等变形恒等变形,及及 基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分.常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式,代数公式代数公式,积分性质积分性质
7、第四章练习练习1.证明证明 2.若若提示提示:提示提示:第四章3.3.若是的原函数,则提示提示:已知第四章4.若若的导函数为的导函数为则则的一个原函数的一个原函数是是().提示提示:已知已知求求即即B?或由题意或由题意其原函数为其原函数为第四章5.求下列积分求下列积分:提示提示:第四章6.求不定积分解：)1(2+-xxeeCxeexx+-=221)1(2+-xxee第四章二、第二类换元法第二节一、第一类换元法换元积分法第四章第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法基本思路基本思路 设设可导可导,则有则有第四章一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.则有换元则有换元公式公式(也称也称
8、配元法配元法即即,凑微分法凑微分法)第四章例例1.求求解解:令令则则故故原式原式=注注:当当时时第四章例例2.求求解解:令令则则想到公式想到公式第四章例例3.求求想到想到解解:(直接配元直接配元)第四章例例4.求解解:类似第四章例例5.求求解解:原式原式=第四章常用的几种配元形式常用的几种配元形式:万万能能凑凑幂幂法法第四章例例6.求求解解:原式原式=第四章例例7.求求解解:原式原式=例例8.求求解解:原式原式=第四章例例9.求解法解法1解法解法2 两法结果一样第四章例例10.求求解法解法1 第四章解法解法 2 同样可证同样可证或或第四章例例11.求求解解:原式原式=第四章例例12.求求解解:
9、第四章例例13.求解解:原式=x41=x8sin641-x2sin361-x4sin321-C+第四章例例14.求求解解:原式原式=分析分析:+xexxxxd)1()1(第四章例例15.求解解:原式原式第四章小结小结常用简化技巧常用简化技巧:(1)分项积分分项积分:(2)降低幂次降低幂次:(3)统一函数统一函数:利用三角公式利用三角公式;配元方法配元方法(4)巧妙换元或配元巧妙换元或配元万能凑幂法万能凑幂法利用积化和差利用积化和差;分式分项分式分项;利用倍角公式利用倍角公式,如如第四章练习练习1.下列各题求积方法有何不同?+=xx4)4(d+=22221)(1)d(xxxxd4412+-=-=2)2(4x)2(d-x第四章2.2.求求提示提示:法法1 1法法2 2法法3 3