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1、在柱坐标系和球坐标系下的计算在柱坐标系和球坐标系下的计算一、在柱坐标系下的计算法一、在柱坐标系下的计算法规定：规定：圆柱面圆柱面半平面半平面平平 面面如图，柱面坐标系中的体积元如图，柱面坐标系中的体积元然后再把它化为三次积分来计算然后再把它化为三次积分来计算积分次序一般是先积分次序一般是先 z 次次 r 后后积分限是根据积分限是根据 在积分区域中的变化范围来确定在积分区域中的变化范围来确定例例1解解将将 投到投到xoy 面得面得D注注 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标来计算。虑使
2、用柱坐标来计算。例例2解解关键在于定出关键在于定出 的变化范围的变化范围 的范围容易定出的范围容易定出z 呢？呢？注意到注意到二、在球坐标系下的计算法二、在球坐标系下的计算法规定规定球球 面面圆锥面圆锥面半平面半平面如图，如图，球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为然后把它化成对然后把它化成对 的三次积分的三次积分具体计算时需要将具体计算时需要将 用球坐标系下的不等式组表示用球坐标系下的不等式组表示积分次序通常是积分次序通常是解一解一用球坐标用球坐标解二解二 用柱坐标用柱坐标解解注注若若 积分区域为球体、球壳或其一部分积分区域为球体、球壳或其一部分被积函数呈被积函数呈而用球坐标后积分
3、区域的球坐标方程比较简单而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单通常采用球坐标。通常采用球坐标。补充：利用对称性简化三重积分计算补充：利用对称性简化三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性奇偶性“你你对称，对称，我我奇偶奇偶”关于关于 xoy 面对称面对称关于关于 xoz 面对称面对称关于关于 yoz 面对称面对称三、小结三、小结三重积分换元法三重积分换元法柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标（1）柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素（3）对称性简化运算对称性简化运算思考题思考题练练 习习 题题练习题答案练习题答案