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1、第三节三重积分在球坐标系下的计算第1页，本讲稿共25页0 xz yM(r,)r Nyxz.一、球面坐标系一、球面坐标系.第2页，本讲稿共25页 SrM yz x0r=常数常数:=常数常数:球面球面S动点动点M(r,)球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面第3页，本讲稿共25页 C Cr=常数常数:=常数常数:S S球面球面S半平面半平面P动点动点M(r,)M yz x0 P P =常数常数:锥面锥面C.球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面第4页，本讲稿共25页 r drd rsin xz y0圆锥面圆锥面 rd 球面r圆锥面圆锥面+d 球面球面r+d r元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成
2、：d rsin d 16.16.球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素半平面半平面 及及+d ；半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及+d 第5页，本讲稿共25页r drd xz y0 d rd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：rsin d 16.16.球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素.半平面半平面 及及+d ；半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及+d r 2sin drd d sin drd d r 2rcos )第6页，本讲稿共25页把三重积分的变量从直角坐把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式标变换为球面
3、坐标的公式第7页，本讲稿共25页二、典型例题适用范围适用范围1)积分域积分域表面用球面坐标表示时表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用球面坐标表示时用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离第8页，本讲稿共25页0 xz yrR 对对r:从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点1第9页，本讲稿共25页0 xz yMr R对对r:从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点对对:从从0 积分，积分，.1第10页，本讲稿共25页对对r:从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点对对:从从0 积分，积分，R对对 :从从0 积分，得球
4、体积分，得球体.10 xz y得锥面得锥面第11页，本讲稿共25页0 xz yR.对对r:从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点对对:从从0 积分，积分，对对 :从从0 积分，得球体积分，得球体 0得锥面得锥面I=V当当 f=1,.1第12页，本讲稿共25页球系下确定积分限练习球系下确定积分限练习1 为全球体为全球体2 为空心球体为空心球体3 为上半球体为上半球体4 为右半球体为右半球体5 为球体的第一、二卦限部分为球体的第一、二卦限部分.2第13页，本讲稿共25页z 0 xya化为球系下的方程化为球系下的方程化为球系下的方程化为球系下的方程r=2a cos.M.r 3 3
5、P164.10.(2)第14页，本讲稿共25页例例4:解解1:第15页，本讲稿共25页解解2 2在柱面坐标系中计算在柱面坐标系中计算第16页，本讲稿共25页例例5.计算三重积分计算三重积分解解:在球面坐标系下在球面坐标系下所围立体.其中其中 与球面机动 目录 上页 下页 返回 结束 P165.10.(1)第17页，本讲稿共25页例例6.6.计算计算解解:的表达式中含的表达式中含x2+y2+z2,可用球面坐标求积分可用球面坐标求积分.x=r sin cos,y=rsin sin,z=rcos.且两球面方程分别为r=b和r=a,(ab).0ar=azyxbr=bP165.11,(4)第18页，本讲
6、稿共25页0ar=azyxbr=b由由 的形状知的形状知,a r b,0 ,0 2.第19页，本讲稿共25页解解例例7第20页，本讲稿共25页如图，如图，第21页，本讲稿共25页第22页，本讲稿共25页计算三重积分应注意的问题计算三重积分应注意的问题1.1.适当地选取坐标系适当地选取坐标系：当积分区域当积分区域是柱体（或其一部分），是柱体（或其一部分），或或在某坐标面上投影为圆域（或一部分），在某坐标面上投影为圆域（或一部分），要不然被积函数为要不然被积函数为 型时采用柱面坐标，一般先对型时采用柱面坐标，一般先对Z Z次对次对p p后对后对积分。积分。当当为球域（或其一部分）或被积函数为球域（
7、或其一部分）或被积函数 采用球面坐标，否则采用直角坐标。采用球面坐标，否则采用直角坐标。第23页，本讲稿共25页2.三重积分化为三次定积分，无论选择三重积分化为三次定积分，无论选择什么坐标系和积分次序什么坐标系和积分次序最里层积分上下限一般是外面两层积分变量的函数，最里层积分上下限一般是外面两层积分变量的函数，中层积分上下限是外层积分变量函数，中层积分上下限是外层积分变量函数，最外层上下限一定是常数，无论哪层上限必大于下限。最外层上下限一定是常数，无论哪层上限必大于下限。3 3。关于最里层积分的定限。关于最里层积分的定限：若积分变量是若积分变量是dxdx一用平行一用平行x x轴直线轴直线若积分
8、变量是若积分变量是dydy一用平行一用平行y y轴直线轴直线 若积分变量是若积分变量是dzdz一用平行一用平行z z轴直线轴直线穿过穿过，观察穿入，观察穿入穿出的情况定限穿出的情况定限。若积分变量是若积分变量是dp时一定要从原点出发发出射线穿时一定要从原点出发发出射线穿过区域观察穿进穿出情况定限。过区域观察穿进穿出情况定限。第24页，本讲稿共25页内容小结内容小结积分区域积分区域多由坐标面多由坐标面被积函数被积函数形式简洁形式简洁,或或坐标系坐标系 体积元素体积元素 适用情况适用情况直角坐标系直角坐标系柱面坐标系柱面坐标系球面坐标系球面坐标系变量可分离变量可分离.围成围成;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页，本讲稿共25页