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1、不定方程(组)及其应用专题讲座中小学电脑辅导家教中心奥数教练欧阳文丰主讲知识提要：1.不定方程或不定方程组的定义。我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组2.不定方程(组)的发展历程知识提要：不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理近年来，不定方程的研究又有新的进展学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能3.初中
2、奥数要求掌握的不定方程(组)的类型有:二元一次不定方程,三元一次不定方程(组)和特殊的四元一次不定方程组。例题1求方程x+10y=280的所有正整数解。例题讲解：解解:由原方程得由原方程得:y=28-7/10 x:y=28-7/10 x因为因为x x和和y y都是都是正整数，所正整数，所以：令以：令x=10k,x=10k,则则y=28-7k.y=28-7k.10k010k0且且28-7k0 28-7k0 解这个不等式组得：解这个不等式组得：4k04k0即即k=1,2,3.k=1,2,3.（1 1）当）当k=1k=1时，时，x=10k=10 x=10k=10，y=28-7k=21 y=28-7k
3、=21；（2 2）当）当k=2k=2时，时，x=10k=20 x=10k=20，y=28-7k=14 y=28-7k=14；（3 3）当）当k=3k=3时，时，x=10k=30 x=10k=30，y=28-7k=7 y=28-7k=7。(评注评注:运用运用整数、整除整数、整除,并且通过不等式约束条件以并且通过不等式约束条件以及方程讨论相结合及方程讨论相结合,将解确定出来将解确定出来,这是求不定方程整这是求不定方程整数解的一种常用解题思路。数解的一种常用解题思路。)例题2求方程5x+7y=41的所有正整数解。例题讲解：解:由原方程得:x=41-7/5y 因为x和y都是正整数，所以：令y=5k,则
4、x=41-7k.5k0且41-7k0 解这个不等式组得：41/7k0即k=1,2,3,4,5.（1）当k=1时，y=5k=51=5，x=41-7k=41-71=34；（2）当k=2时，y=5k=52=10，x=41-7k=41-72=27；（3）当k=3时，y=5k=53=15，x=41-7k=41-73=20；例题讲解：（4）当k=4时，y=5k=54=20，x=41-7k=41-74=13；（5）当k=5时，y=5k=55=25，x=41-7k=41-75=6.所以方程5x+7y=41的所有正整数解为：X=34,y=5;X=27,y=10;X=20,y=15;X=13,y=20;X=6,y
5、=25.例题3求方程7x-5y=3满足20 x+y30的整数解。例题讲解：解:由原方程得:y=(7x-3)/5=x+(2x-3)/5 因为x和y都是整数，所以：令x=5k-1,则y=7k-2.又因为20 x+y30，所以2012k-330解这个不等式组得：23/12 k 11/4 即k=2.x=5k-1=52-1=9,y=7k-2=72-2=12.例题4求方程123x+57y=531的全部正整数解。例题讲解：解：方程两边同除以3得：41x+19y=177 所以 x、y是整数，也是整数，取x=2得y=5 方程123x+57y=531的整数解为：由 因此方程123x+57y=531只有一组整数解(
6、评注：本题是通过先探求一个特解，由特解写出通解，再由通解求出整数解，这也是求二元一次不定方程整数解的一般步骤。)例题5求不定方程3x4y13z=57的整数解。例题讲解：解解：将原方程分为两个方程得：将原方程分为两个方程得：3x3x4y=u (1)u+13z=57 (2)4y=u (1)u+13z=57 (2)由(1)容易得:x1=-u,y1=u;则方程(1)的通解为:x=-u+4t1,y=u-3t1;由(2)容易得:u1=5,z1=4;则方程(2)的通解为:u=5+13t2,z=4-t2;把u=5+13t2分别代入x=-u+4t1,y=u-3t1得:x=-13t2+4t1-5,y=13t2-3
7、t1+5,z=4-t2(其中t1和t2都是整数。)(评注:三元一次不定方程的整数解运用逐步分离整数法和二元一次不定方程通解的公式。)例题6求不定方程 的正整数解。例题讲解：解解：由题意可知：由题意可知:0:07z7z23 故0z3;即z=1,2,3.(1)当z=1时,其自然数解为x=2,y=4;x=5,y=2.(2)当z=2时,其自然数解为x=3,y=1.(3)当z=3时,显然无自然数解.所以原方程的自然数解为:(评注:此类三元一次不定方程的正整数解的求法是通过 系数最大的未知数的约束条件和分类讨论的方法解答。)例题7 求不定方程4x+y=3xy的一切整数解.例题讲解：解：由原方程得：x是整数
8、，3y-4=1，2，4，由此得y=53,2，83，1，2 3，0 取整数解y=2，1，0，对应的x=1，-1，0 所以方程的整数解为（评注：本题是用数的整除性来求不定方程的整数解。）例题8求方程组 的正整数解。例题讲解：解：（1）2+（2）：x+y=4（3）由（3）得：y=4-x;把y=4-x代入（1）：z=x-2.因为x和y、z都是正整数，所以：x 0,4-x0,且x-20；解这个不等式组得：4x2,即x=3.那么y=4-x=4-3=1，z=x-2=3-2=1.故此方程组的正整数解为：x=3，y=1，z=1。(附:当k为何负整数时，方程组3x+2y=k+1、4x+3y=k-1的解时满足xy且
9、x-y6?)例题例题9 9甲、乙两个小队的同学去植树甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树甲小队一人植树6 6棵棵,其余每人都植树其余每人都植树1313棵棵;乙小队有一人植树乙小队有一人植树5 5棵棵,其余每人都其余每人都植树植树1010棵棵.已知两小队植树棵数相等已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵且每小时植树的棵数大于数大于100100而不超过而不超过200,200,那么甲、乙两小队共有那么甲、乙两小队共有多少多少人人?例题讲解：解：设甲小队有x人,乙小队有y人.由两小队植树棵数相等,得到 13 x-7=10 y-5.因为上式右端个位数为5,所以13x的个位数应是2,得到x=4,y
10、=5是上式的一组解,且x每增大10,y就增大13,仍是上式的解.例题例题1010甲、乙两个小队的同学去植树甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树甲小队一人植树6 6棵棵,其余每人都植树其余每人都植树1313棵棵;乙小队有一人植树乙小队有一人植树5 5棵棵,其余每其余每人都植树人都植树1010棵棵.已知两小队植树棵数相等已知两小队植树棵数相等,且每小时植树且每小时植树的棵数大于的棵数大于100100而不超过而不超过200,200,那么甲、乙两小队共有那么甲、乙两小队共有多少多少人人?例题讲解：解：为使10y-5在100与200之间,只有y=5+13=18,所以乙小队有18人,甲小队有4+10
11、=14(人),共有18+14=32(人).答：甲、乙两小队共有32人。例题11今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？例题讲解：解：设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组（1）3-（2）：7x+4y=100（3）由（3）得：y=25-7/4x;令x=4k,则：y=25-7k.把x=4k，y=25-7k 代入（2）得：z=75+3k.25-7k0,且4k0；例题11今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？例题讲解：解：25-7k0,且4k0；解这个不
12、等式组得：25/7k0,即k=1,2,3.当k=1时，x=4k=4，y=25-7k=18，z=75+3k=78；当k=2时，x=4k=8，y=25-7k=11，z=75+3k=81；当k=3时，x=4k=12，y=25-7k=4，z=75+3k=84。答：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡例题例题12 12 4040只脚的蜈蚣与只脚的蜈蚣与3 3个头的龙同在一个笼子中个头的龙同在一个笼子中,共共有有2626个头和个头和298298只脚只脚,若若4040只脚的蜈蚣有只脚的蜈蚣有1 1个头个头,那么那么3 3个头的个头的龙有龙有
13、多少多少只脚只脚?例题讲解：解：设有x只蜈蚣,y只三头龙,每只三头龙有n只脚,依题意得方程组:40-,得 ,即 由于x和y都是正整数,从式得y8.又因为,所以从式得y=7,由此得n=14.答:3个头的龙有14只脚。例题13求方程组x+2y+u+v=5(1),2x+y+u+v=7 (2)例题讲解：解与分析：一般来说解与分析：一般来说,四个未知数四个未知数,两个方程两个方程,解解应用两个参数应用两个参数,把四个把四个未知数中的任意两个看成参数未知数中的任意两个看成参数,这个方程组就变成含两个参数的二元一次方程组。再这个方程组就变成含两个参数的二元一次方程组。再用消参法求解。用消参法求解。把原方程组
14、看成解关于x和y的二元一次方程组得:X=3-13(u+v),y=1-13(u+v);令13(u+v)=t,得:X=3-t,y=1-t,u=3t-v;即原方程组的整数解是:X=3-t,y=1-t,u=3t-w;v=w.(其中t和w为整数。)例题14求方程组x-y-u+v=0 (1),x-y+u-3v=0 (2)x-y-2u+3v=0 (3)例题讲解：解解:(2)+(3):2x-2y-u=0 (4):(2)+(3):2x-2y-u=0 (4)3 3(1)-(3):x-y-2u=0 (5)(4)2-(5):x=y (6)把(6)代入(4):u=0 (7)把(6)、(7)代入(1):v=0 (8)所以
15、原方程组的解:x=t,y=t,u=0,v=0.(评注:由三个四元一次方程组成的不定方程组,可转化为含一个参数的三元一次方程组来求解。)一、介绍不定方程一、介绍不定方程一、介绍不定方程(组组组)的几种常用解法。的几种常用解法。的几种常用解法。1 1 1、运用、运用、运用整数、整除整数、整除整数、整除,并且通过不等式约束条件以及方程并且通过不等式约束条件以及方程并且通过不等式约束条件以及方程讨论相结合讨论相结合讨论相结合,将解确定出来将解确定出来将解确定出来,这是求不定方程整数解的一这是求不定方程整数解的一这是求不定方程整数解的一种常用解题思路。此方法适用于种常用解题思路。此方法适用于种常用解题思
16、路。此方法适用于二元一次不定方程二元一次不定方程二元一次不定方程,三元三元三元一次不定方程组。一次不定方程组。一次不定方程组。2 2 2、通过先探求一个特解，由特解写出通解，再由通解求、通过先探求一个特解，由特解写出通解，再由通解求、通过先探求一个特解，由特解写出通解，再由通解求出整数解，这也是求二元一次不定方程整数解的一般步骤。出整数解，这也是求二元一次不定方程整数解的一般步骤。出整数解，这也是求二元一次不定方程整数解的一般步骤。3 3 3、三元一次不定方程的整数解运用逐步分离整数法和二三元一次不定方程的整数解运用逐步分离整数法和二元一次不定方程通解的公式。元一次不定方程通解的公式。4 4、
17、求四元一次不定方程的整数解、求四元一次不定方程的整数解,一般来说一般来说一般来说,四个未知数四个未知数四个未知数,两个方程两个方程两个方程,运用两个参数运用两个参数运用两个参数,把四个未知数中的任意两个看把四个未知数中的任意两个看把四个未知数中的任意两个看成参数成参数成参数,这个方程组就变成含两个参数的二元一次方程组。这个方程组就变成含两个参数的二元一次方程组。这个方程组就变成含两个参数的二元一次方程组。再用消参法求解。再用消参法求解。再用消参法求解。二、二、不定方程不定方程不定方程(组组组)的应用。通过不定方程的应用。通过不定方程的应用。通过不定方程(组组组)的求解的求解的求解,拓拓拓展列方
18、程展列方程展列方程(组组组)解应用题的技能。解应用题的技能。解应用题的技能。1 1 1、求不定方程、求不定方程、求不定方程4x+7y=204x+7y=204x+7y=20的整数解。的整数解。的整数解。2 2 2、求方程组、求方程组、求方程组 的正整数解。的正整数解。的正整数解。3 3、求不定方程求不定方程求不定方程25x+13y+7z=425x+13y+7z=425x+13y+7z=4的整数解的整数解的整数解 。3 3 3、小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得、小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得、小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9 9 9分，套中小猴得分，套中小猴得分，套中小猴得5 5 5分，套中分，套中
19、分，套中小狗得小狗得小狗得2 2 2分。小明共套分。小明共套分。小明共套101010次，每次都套中了，每个小玩具都至少被次，每次都套中了，每个小玩具都至少被次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。小明套套中一次。小明套套中一次。小明套101010次共得次共得次共得616161分。问：小鸡至少被套中几次？分。问：小鸡至少被套中几次？分。问：小鸡至少被套中几次？(第第第四届华杯赛初赛试题四届华杯赛初赛试题四届华杯赛初赛试题)4 4 4、已知、已知、已知x x x、y y y、z z z都是非负数都是非负数都是非负数,且满足且满足且满足x+y-z=1x+y-z=1x+y-z=1，x+2y+3z
20、=4x+2y+3z=4x+2y+3z=4，记，记，记w=3x+2y+zw=3x+2y+zw=3x+2y+z，求，求，求w ww的最大值与最小值。的最大值与最小值。的最大值与最小值。5 5 5、大汽车能坐、大汽车能坐、大汽车能坐545454人，人，人，小汽车能坐小汽车能坐小汽车能坐363636人。人。人。现有师生现有师生现有师生378378378人去春游，人去春游，人去春游，问要租大、小汽车各几辆，才能使每个人都有座位且恰好坐满？问要租大、小汽车各几辆，才能使每个人都有座位且恰好坐满？问要租大、小汽车各几辆，才能使每个人都有座位且恰好坐满？6 6 6、不定方程、不定方程、不定方程3x+5y=13063x+5y=13063x+5y=1306有多少组正整数解有多少组正整数解有多少组正整数解 。7 7、某青年、某青年19971997年的年龄等于出生年份各数字的和年的年龄等于出生年份各数字的和,那么那么,他的出生他的出生年份是年份是哪年哪年?.8 8、若关于、若关于x x、y y的方程组的方程组3x+2ay=183x+2ay=18、x+2y=0 x+2y=0有整数解，求整数有整数解，求整数a a的的值。值。