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1、Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/121第三节 三维几何及建模变换n三维图形的几何变换及其矩阵表示n平移变换n旋转变换n缩放变换n反射变换n错切变换n物体在不同坐标系之间的建模变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/122三维代数空间定义n基底：n任意矢量：n定理:三维空间中任意矢量可唯一地表示为其基底的线性组合Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/123三维几何变换的代数表示Interactive Computer Graph
2、ics-交互式计算机图形学2023/2/124三维几何变换的矩阵表达式n引入齐次坐标后可表示为：Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/125平移变换（1）Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/126平移变换（2）记为：其中n三维平移变换矩阵：Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/127平移变换（3）n点的平移n图形的平移Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/128缩放变换（1）n相
3、对于原点进行的缩放变换矩阵记为：Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/129缩放变换（2）n相对于任意点的缩放设缩放参考点为：则分解为：平移、关于坐标原点的缩放以及逆平移变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1210缩放变换（3）n即：Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1211缩放变换（4）Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1212旋转变换（1）n由旋转轴和旋转角度确定
4、n二维旋转变换是三维空间中绕Z轴的旋转记为：XYZInteractive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1213以X为轴的旋转变换（1）可视作x,y,z坐标系变换为y,z,x坐标系,变换矩阵为：Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1214以X为轴的旋转变换（2）记为：YZXInteractive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1215以Y为轴的旋转变换（1）可视作x,y,z坐标系变换为z,x,y坐标系，变换矩阵为：Interactive Computer Grap
5、hics-交互式计算机图形学2023/2/1216以Y为轴的旋转变换（2）记为：注：相反角度的旋转实现其逆变换ZXYInteractive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1217绕任意轴的旋转变换（1）n旋转轴不与坐标轴重合时变换的实现：n经复合变换使旋转轴与坐标轴重合n绕指定轴进行旋转变换n还原坐标系YZXP1P2Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1218绕任意轴的旋转变换（2）（1）平移使P1与坐标原点重合不妨设P1P2为方向矢量，P2点为(a,b,c)Interactive Computer
6、Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1219XYZOP1P2XYZInteractive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1220XYZXYZO绕任意轴的旋转变换(3)（2）绕X轴旋转使指定旋转轴落在XZ面上Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1221XYZXYZOInteractive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1222XYZXYZOInteractive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1223XYZXYZO
7、Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1224XYZXYZOInteractive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1225XYZXYZOInteractive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1226XYZXYZOInteractive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1227XYZXYZO此时P2点为(a,0,d)P2Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1228绕任意轴的旋转
8、变换（4）（3）绕Y轴旋转使指定旋转轴与Z轴重合XYZXYZOInteractive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1229XYZXYZOInteractive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1230绕任意轴的旋转变换（5）（4）绕Z轴即指定旋转轴旋转指定角度Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1231绕任意轴的旋转变换（6）（5）坐标系还原上述变换的复合实现绕任意轴的旋转：Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2
9、/1232对称变换（1）n是关于某个对称轴或对称平面进行的n关于某个轴进行的反射变换等同于关于该轴做180度的旋转变换n例如：关于Z轴的对称变换矩阵为：考虑：关于任意轴的对称变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1233对称变换（2）n当反射平面是坐标平面时，等同于进行左、右手坐标系的互换，相应变换矩阵是把第三维坐标值取反n例如：关于xy平面的反射变换矩阵为：Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1234对称变换（3）关于任意平面的反射可以分解为平移、旋转（使得指定的反射平面与某坐标
10、平面重合）关于坐标平面的反射逆变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1235错切变换n依赖轴：对应坐标保持不变n方向轴：对应坐标关于依赖轴坐标呈线性变化n变换表达式分别是：Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1236建模变换（1）n实现两个不同坐标系之间的转换n新坐标系定义方式如右图所示：XYZXYZInteractive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1237建模变换（2）可由线性代数方法得到建模变换公式：（即：新坐标系的坐标轴在旧坐标系下的
11、表示矩阵的逆矩阵）当坐标系使用不同的缩放时，还需定义缩放补偿。Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1238建模变换的合成方法（3）n可由以下变换复合得到同样结果：1.平移：使两坐标系原点重合2.绕X轴旋转：使Z轴落在XOZ面上；3.绕Y轴旋转：使Z轴与Z轴重叠；4.绕Z轴旋转：使X轴与X轴重叠；注意：Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1239小结n单个坐标系下的几何变换n平移n缩放n旋转n反射n错切n建模变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学2023/2/1240作业6：n利用变换复合方法推导建模变换矩阵。