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1、 第第第第 二二二二 章章章章 点、直线和平面的投影点、直线和平面的投影点、直线和平面的投影点、直线和平面的投影 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影第一节第一节 投影的基本知识投影的基本知识 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影u手影表演手影表演图像资料来源：图像资料来源：土豆网土豆网 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影投影原理的应用：投影原理的应用：第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影u一、投影的概念及其分类一、投影的概念及其分类 投投影影法法：投投射射线线通通过过物物体体，向向选选定定的的面面投投射射，并并在在该该
2、面面上上得得到到图图形形的的方方法。法。S投射中心投射中心A投射线投射线B空间物体空间物体C投影投影P投影面投影面平行投影法平行投影法第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影中心投影法：中心投影法：投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。常用来投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。常用来画透视图，立体感强，直观性较好，但因其度量性较差，不用于施工和制造。画透视图，立体感强，直观性较好，但因其度量性较差，不用于施工和制造。第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影正投影法：正投影法：平行的投射线平行的投射线垂直于投影面的投影法。
3、垂直于投影面的投影法。斜投影法：斜投影法：平行的投射线平行的投射线倾斜于投影面的投影法。倾斜于投影面的投影法。ABDCbacd90 ABDCbacd正投影法正投影法斜投影法斜投影法 度量性好，度量性好，广泛用于工程广泛用于工程图样中！图样中！第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影HacbHacbH（1）显实性）显实性（3）类似性）类似性（2）积聚性）积聚性投投射射方方向向投投射射方方向向投投射射方方向向ABABABABCABCABCacbababa(b)正投影的基本性质：正投影的基本性质：（4）从属性）从属性。第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影一个投影不能确
4、定空间立体形状一个投影不能确定空间立体形状第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影u二、工程上常用的几种投影图二、工程上常用的几种投影图1、多面正投影图、多面正投影图第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影三面正投影图：三面正投影图：原理原理：正投影法正投影法 优点优点：度量性好，度量性好，作图方便作图方便 缺点缺点：立体感差立体感差 2.轴测投影图轴测投影图ZXOYS优点优点：直观性好，立体感：直观性好，立体感强，有一定的可度量性强，有一定的可度量性缺点缺点：作图繁琐：作图繁琐原理原理：正投影法和斜投影法：正投影法和斜投影法3.标高投影图标高投影图15202515
5、2025152025原理原理：正投影法：正投影法用途用途：用于表达形状较复杂的曲面，如绘制地形图的等高线：用于表达形状较复杂的曲面，如绘制地形图的等高线4.透视投影图透视投影图原理原理：中心投影法：中心投影法 优点优点：立体感强，直观性较好：立体感强，直观性较好缺点缺点：度量性较差度量性较差第二节第二节 点的投影点的投影第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影u一、点在一个投影面上的投影一、点在一个投影面上的投影 Pb AP 过空间点过空间点A的投射线与投影面的投射线与投影面P的交点即为点的交点即为点A在在P面上的投影。面上的投影。B1B2B3 点在一个投影面上的投影点在一个投影
6、面上的投影不能确定点的空间位置。不能确定点的空间位置。a 解决办法？解决办法？注意：注意：注意：注意：空间点用大写字母表示，空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。点的投影用小写字母表示。第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影两面投影两面投影两面投影两面投影:在与水平投影面垂直，位于观察者正对面再设置一投影面，形体从前向在与水平投影面垂直，位于观察者正对面再设置一投影面，形体从前向后投影，得到的正投影图称作后投影，得到的正投影图称作正面投影正面投影。投影面称作正立投影面，用字母。投影面称作正立投影面，用字母V表示。表示。两面投影不能唯一地反映物体的形状两面投影不能唯一地反
7、映物体的形状!HHVV第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影u二、点在三个基本投影面上的投影二、点在三个基本投影面上的投影HWV投影面投影面正立投影面（简称正正立投影面（简称正 面或面或V面）面）水平投影面（简称水水平投影面（简称水 平面或平面或H面）面）侧立投影面（简称侧侧立投影面（简称侧 面或面或W面）面）投影轴投影轴oXZOX轴轴 V面与面与H面的交线面的交线OZ轴轴 V面与面与W面的交线面的交线OY轴轴 H面与面与W面的交线面的交线Y三个投影面互相三个投影面互相垂直垂直 三基本投影面体系三基本投影面体系 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影点在三个基本
8、投影面上的投影图点在三个基本投影面上的投影图WHVoXa aa AZY 投影面展开投影面展开FLASH动画动画a a点点A的水平投影的水平投影a 点点A的侧面投影的侧面投影点点A的正面投影的正面投影 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影VWYXOZAaaaH （2）点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应投影面的距离。点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应投影面的距离。（1）点的两面投影的连线，必定垂直于投影轴。点的两面投影的连线，必定垂直于投影轴。XZYwYHOaaa点的三面投影规律点的三面投影规律 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 第二章第二章 点
9、、直线、平面的投影点、直线、平面的投影a aax例例1：已知点的两个投影，求第三投影。：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aaxa 结论：结论：若点的两个投影已知，则其空间位若点的两个投影已知，则其空间位置确定，其第三投影也就唯一确定。置确定，其第三投影也就唯一确定。第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影例例2：已知点：已知点A（30，10，20），求作它的三面投影图。），求作它的三面投影图。OXZYWYH203010aaa 第二章第二章 点、直线、平面的
10、投影点、直线、平面的投影 两点的相对位置指两点在空间的两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右上下、前后、左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法：x 坐标大的在左。坐标大的在左。y 坐标大的在前。坐标大的在前。z 坐标大的在上。坐标大的在上。b aa a b bB点在点在A点之前、之点之前、之右、之下。右、之下。XYHYWZ两点的相对位置两点的相对位置例例3：已知点：已知点A在点在点B之前之前5毫米，之上毫米，之上9毫米，之右毫米，之右8毫毫米，求点米，求点A的投影。的投影。a a a985 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 当空间两点的某两个坐标相同时，当空间两
11、点的某两个坐标相同时，将处于某一投影面的同一条投影线上，将处于某一投影面的同一条投影线上，则在该投影面上的投影相重合，成为对则在该投影面上的投影相重合，成为对该投影面的重影点。该投影面的重影点。重影点的可见性需根据这两个点不重影点的可见性需根据这两个点不相同的坐标大小来判定。相同的坐标大小来判定。YE YF故对面故对面V，E可见，可见，F不可见。不可见。ef fee(f)XZYWYHoXYZHWVOfee(f)ef FE重影点重影点第三节第三节 直线的投影直线的投影 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影u一、直线投影图的作法一、直线投影图的作法 两点确定一条直线，将两点的两点
12、确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。的同名投影。YZHVXoWbaBAabba展开图展开图FLASH动画动画 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影u二、直线的投影特性二、直线的投影特性abBA(3)类似性：类似性：直线倾直线倾斜于投影面时，其斜于投影面时，其投影小于实长。投影小于实长。abABa(b)AB(1)显实性：显实性：直线平直线平行于投影面时，其行于投影面时，其投影等于实长。投影等于实长。(2)积聚性：积聚性：直线垂直线垂直于投影面时，其直于投影面时，其投影积聚为一点。投影积聚为一点。一般位置直线一般位置直线投
13、影面平行线投影面平行线投影面垂直线投影面垂直线直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置Z Z Y YH HaO OX XabbaY YW Wb 三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。的实长。投影特性投影特性:H HaaAb V VBbW Wa b Z ZX XOY Y一般位置直线的投影一般位置直线的投影 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影投影面平行
14、线：平行于一个投影面的直线投影面平行线：平行于一个投影面的直线名称名称 水平线水平线正平线正平线侧平线侧平线直直观观图图投投影影图图平行线空间位置的判别：平行线空间位置的判别：一斜两直线，定是平行线；斜线在哪面，平行哪个面。一斜两直线，定是平行线；斜线在哪面，平行哪个面。投影特性？投影特性？第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影水平线的投影特性水平线的投影特性ZXYVHWOababXZYHYWOABababbaababab与与OXOX和和OYOYH H的夹角的夹角、等于等于ABAB对对V V、W W面的倾角面的倾角水平线水平线 ab=ABab=ABabOXabOX、abOYab
15、OYW W都不反映实长都不反映实长 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影正平线的投影特性正平线的投影特性ZXYOVHWcdCDcdXZYHYWOcdcddcdccd OXcd OX、cdOYcdOYW W都不反映实长都不反映实长cdcd与与OXOX和和OZOZ的夹角的夹角、等于等于CDCD对对H H、W W面的倾角面的倾角 正平线正平线 cd=CDcd=CD 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影侧平线的投影特性侧平线的投影特性ZXYOVWHfef eXZYHYWOFEef 侧平线侧平线 efef=EF efOY efOYH H、efOZ efOZ 都不反映实
16、长都不反映实长efef与与OYOYW W和和OZOZ的夹角的夹角、等于等于EFEF对对H H、V V面倾角面倾角fef eef 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影投影面垂直线：垂直于一个投影面的直线投影面垂直线：垂直于一个投影面的直线名称名称 铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线直直观观图图投投影影图图平行线空间位置的判别：平行线空间位置的判别：一点两直线，定是垂直线；点在哪个面，垂直哪个面。一点两直线，定是垂直线；点在哪个面，垂直哪个面。投影特性？投影特性？第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影铅垂线的投影特性铅垂线的投影特性ZXYOHVWABaba(b)
17、abYWXZYHOabbaa(b)ab=ab=AB,ab=ab=AB,且且abOXabOX、abOYabOYW W铅垂线铅垂线:水平投影水平投影a a（b b）积聚一点）积聚一点 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影正垂线的投影特性正垂线的投影特性ZXYOHVWc(d)CDdcXZYHYWOc(d)dccddc正垂线正垂线:正面投影正面投影cc（dd）积聚一点）积聚一点cd=cd=CD,cd=cd=CD,且且cdOXcdOX、cdOZcdOZ 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影侧垂线的投影特性侧垂线的投影特性ZXYOHVWfefefefeXZYHYWO()
18、e fFE()ef侧垂线侧垂线:侧面投影侧面投影e e（ff）积聚一点）积聚一点ef=eef=ef f=EF,=EF,且且efOYefOYH H、e ef fOZOZ例例4：已知直线：已知直线AB、AC的两投影，求两直线的第三投影的两投影，求两直线的第三投影,并指出其空间位置和反映实长的投影。并指出其空间位置和反映实长的投影。水平线水平线 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影u三、点和直线的相对位置三、点和直线的相对位置点与直线的从属关系可以分为两种，点与直线的从属关系可以分为两种，即即点从属于直线点从属于直线和和点不从属于直线点不从属于直线。点从属于直线：点从属于直线：即：
19、即：AC/CB=ac/cb =ac/cb =ac/cbBcaaHbcAbCaCWVb （2）从属于直线的点分割线段之长度比）从属于直线的点分割线段之长度比等于等于其投影分割线段投影长度之比。其投影分割线段投影长度之比。（1）点在直线上，则点的各个投影必定）点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，并且符合点的投在该直线的同面投影上，并且符合点的投影规律。影规律。定比定理定比定理 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影XabObmamzbam例例5：已知直线：已知直线AB和点和点M的正面投影和水平投影，问点的正面投影和水平投影，问点M是否在是否在直线上？直线上？结论：结
20、论：点点M不在直线上。不在直线上。yWyH第三投影法第三投影法 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影u四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置H H空间两直线的相对位置有空间两直线的相对位置有:平行平行、相交相交、交叉交叉。1.平行两直线平行两直线：空间相互平行的两直：空间相互平行的两直线线,它们的各组同面投影也一定相互平行。它们的各组同面投影也一定相互平行。a ab bc cd dXZYHYWOcdcddcababbaA AB BC CD DABCDABCD，则，则abcdabcd、abcd abcd、abcdabcd。反之亦成立。反之亦成立。第二章第二章 点、直线、平面的
21、投影点、直线、平面的投影abcdc a b d 例例6：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置对于一般位置直线，只要有两个同直线，只要有两个同名投影互相平行，空名投影互相平行，空间两直线就平行。间两直线就平行。AB/CD 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影b d c a cbadd b a c 对于特殊位置直线，只有对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。直线不一定平行。求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：AB与与CD不平行。不平行。例例7：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行
22、。求出侧面投影求出侧面投影如何判如何判断？断？第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影2、相交两直线、相交两直线 空间两直线空间两直线 AB，CD相交于点相交于点K，则交点，则交点K是两直线的共有点。是两直线的共有点。同时同时K要符合点的投影规律。要符合点的投影规律。XZYHYWOabababcdcdcdkkkABCDKcdabkab ab、cdcd交于交于k kabab、cdcd交于交于k k abab、cdcd交于交于kk 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影3、交叉两直线、交叉两直线abcdabcdVHOX 在空间既不平行也不相交的两直线，叫交在空间既不平
23、行也不相交的两直线，叫交叉直线。它们的三面投影不具有平行或相交叉直线。它们的三面投影不具有平行或相交两直线的投影特性。两直线的投影特性。4321XO(4)3abcd2(1)ABDCcdab3(4)交点是一对重交点是一对重影点的投影。影点的投影。2(1)第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影4、两直线垂直相交、两直线垂直相交 若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。设设 直角边直角边BC/H面面因因 BCAB,同时同时BCBb所以所以 BCABba平面平面直线在直线在H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直
24、即即 abc为直角为直角因此因此 bcab故故 bc ABba平面平面又因又因 BCbcABCabcHa c b abc.证明：证明：直直角角投投影影定定理理 第四节第四节 平面的投影平面的投影 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影u一、平面在投影图上的表示法一、平面在投影图上的表示法 平面是广阔无边的，它在空间的位置可用下列的几何元素来确定和表示：平面是广阔无边的，它在空间的位置可用下列的几何元素来确定和表示：abccabbcacababccab不在同一直不在同一直线上的三点线上的三点一直线和直一直线和直线外一点线外一点两相交直线两相交直线1.用几何元素表示平面：用几何元素
25、表示平面：第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影bcacabbcadcabd两两平行直线平行直线任意平面图形任意平面图形 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影2.用平面的轨迹表示平面：用平面的轨迹表示平面：平面与投影面的交线，称为平面的迹线。平面与投影面的交线，称为平面的迹线。PH-水平迹线水平迹线 PV-正面迹线正面迹线 PW-侧面迹线侧面迹线ZXYOHVWpxpypzpHpVpwPXZYHYWOpHpVpwpxpypzpy 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影u二、平面的投影过程二、平面的投影过程HVWXZYOABC 平面图形的边和顶点是
26、由一些线段（直线段或曲线段）及其交点组平面图形的边和顶点是由一些线段（直线段或曲线段）及其交点组成的。因此，这些线段投影的集合，就表示了该平面的投影。成的。因此，这些线段投影的集合，就表示了该平面的投影。abcabccab先画出各顶点的投影先画出各顶点的投影,后将各点同面投影依后将各点同面投影依次连接，即为平面的次连接，即为平面的投影。投影。立体图立体图 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影xzyHywocbacbaacb平面展开图平面展开图 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影u三、平面的投影特性三、平面的投影特性 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影
27、面的投影特性平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把实形现投影就把实形现 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直线投影积聚成直线 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另
28、两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影投影面平行面投影面平行面名称名称 水平面水平面正平面正平面侧平面侧平面直直观观图图投投影影图图平行面空间位置的判别：平行面空间位置的判别：一框两直线，定是平行面；框在哪个面，平行哪个面。一框两直线，定是平行面；框在哪个面，平行哪个面。第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影水平面的投影特性水平面的投影特性HV
29、WXZYOcbaabcABCcb ba axzYHYwocb ba aabccba水平面：水平水平面：水平投影反映实形投影反映实形正面投影、侧面投影均积聚成直正面投影、侧面投影均积聚成直线，分别平行于线，分别平行于OXOX、OYOYW W轴轴 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影正平面的投影特性正平面的投影特性HVXZYOWabccba水平投影、侧面投影均水平投影、侧面投影均积聚成直线，分别平行积聚成直线，分别平行于于OXOX、OZOZ轴轴xzYHYwocb ba aABCabccb ba acba正平面：正面正平面：正面投影反映实形投影反映实形 第二章第二章 点、直线、平面
30、的投影点、直线、平面的投影侧平面的投影特性侧平面的投影特性侧平面：侧面侧平面：侧面投影反映实形投影反映实形HVWXZYOxzYHYwocb ba aa ab bc cbacbacb ba ac ccb ba aABC水平投影、正面投影积水平投影、正面投影积聚成直线，分别平行于聚成直线，分别平行于OYOYH H、OZOZ轴轴 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影投影面垂直面投影面垂直面名称名称 铅垂面铅垂面正垂面正垂面侧垂面侧垂面直直观观图图投投影影图图平行面空间位置的判别：平行面空间位置的判别：两框一斜线，定是垂直面；斜线在哪面，垂直哪个面。两框一斜线，定是垂直面；斜线在哪面
31、，垂直哪个面。第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影铅垂面的投影特性铅垂面的投影特性HVWXZYOYHxzYwocb ba aa ab bc cbaca ab bc cBCAacb正面投影和侧面投正面投影和侧面投影为原形的类似形影为原形的类似形cb ba a铅垂面：水平投铅垂面：水平投影积聚为直线段影积聚为直线段 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影正垂面的投影特性正垂面的投影特性HVWXZYOxzYHYwoABCcb ba aa ab bc ccb ba abaca cb正垂面：正面投影为正垂面：正面投影为有积聚性的直线段有积聚性的直线段水平投影和侧投影水平
32、投影和侧投影为原形的类似形为原形的类似形a ab bc c 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影侧垂面的投影特性侧垂面的投影特性VWXZYOHcb ba aABCa ab bc cbaccb ba aa ab bc cbacxzYHYwo侧垂面：侧面投影为侧垂面：侧面投影为有积聚性的直线段有积聚性的直线段正面投影和水平投正面投影和水平投影为原形的类似形影为原形的类似形 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影u四、平面内取点线四、平面内取点线判断直线在平面内的方法：判断直线在平面内的方法：1、平面上取任意直线、平面上取任意直线M MN NA AB BM M 若一
33、直线过平面上的若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平两点，则此直线必在该平面内。面内。若一直线过平面上的一若一直线过平面上的一点且平行该平面上的另一直点且平行该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。线，则此直线在该平面内。第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影bcabcXOammcab abcXOm nmndd 例例8：已知平面：已知平面ABC，试作出属于该平面的任意一直线。试作出属于该平面的任意一直线。有多少解？有多少解？有无数解。有无数解。第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？例例9：
34、在平面：在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到H面的距离为面的距离为10mm。第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影2、平面上取点、平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。确定点的位置。例例10：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。bacc a k b k 面上取点的方法：面上取点的方法：首先面上取线首先面上取线abca b k c d kd利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内
35、作辅助线求解 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影bckada d b c k b例例1111：已知已知ACAC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCDABCD的水平投影。的水平投影。解法一：解法一：解法二：解法二：cada d b c X XX X 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影例例12：已知一平面已知一平面ABCD，判别点判别点K是否在平面上；是否在平面上；已知平面上一点已知平面上一点E的水平投影的水平投影 e，作出其正面投影。，作出其正面投影。aXbcOkecdabkd 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影解：
36、解：（1 1）分析：要找点）分析：要找点K K在不在平面内，先找过点在不在平面内，先找过点K K的直线在的直线在不在平面内。不在平面内。f 结论：点结论：点K K不在平面内不在平面内aXbcOkcdabkdf作图：作图：第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影abcecdabd（2 2）分析：点）分析：点E E在平面内，必在平面内某一条直线上。在平面内，必在平面内某一条直线上。作图方法一：用过点作图方法一：用过点E E的任一辅助线作图。的任一辅助线作图。eXO 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影作图方法二：用作图方法二：用/直线直线BCBC的辅助线作图的辅助线
37、作图abcecdadbeXO 第五节第五节 直线与平面直线与平面 平面与平面的相对位置平面与平面的相对位置 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影u一、平行问题一、平行问题直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行包包括括1、直线与平面平行、直线与平面平行定理：定理：若一直线平行于平面上的某一直若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。线，则该直线与此平面必相互平行。第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影n a c b m abcmn例例13：过：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解有多少解？有多
38、少解？第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影正平线正平线例例14：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面ABC。c b a m abcmn唯一解唯一解n 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影2、平面与平面平行、平面与平面平行ABCEF GPQ 若一平面上的相交两直线对应平行于另一平面上的若一平面上的相交两直线对应平行于另一平面上的相交两直线，则此两平面互相平行。相交两直线，则此两平面互相平行。第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影例例1515：过点：过点K K作一平面，使其与平面作一平面，使其与平面ABCABC平行。平行。分
39、析：分析：如果过如果过K点作两条相交直线分别平行于点作两条相交直线分别平行于 ABC的两条边，的两条边，则这两条相交直线所确定的平面就平行于已知平面。则这两条相交直线所确定的平面就平行于已知平面。作图步骤作图步骤：2 2）作）作KD AC(k d a c,kd ac);a cac bb k ke ed dX1 1）作）作KE BC(k e b c,ke bc);3 3）平面）平面KDE即为所求。即为所求。第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影例例16：过：过K点作平面平行于点作平面平行于ABC。两特殊位置平面相互平行时，它们有积聚性的同面投影互相平行。两特殊位置平面相互平行时，
40、它们有积聚性的同面投影互相平行。X12Xa a b b b bc c a ac c b b m m m mk k k kf ff f c c c c a aa a b bk kk k 1 1 2 2 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影PKAB交点交点直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交BAMCNL交线交线u二、相交问题二、相交问题 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影1 1、直线与平面相交、直线与平面相交、直线与平面相交、直线与平面相交PKB交点特性：交点特性：1.直线与平面的共有点直线与平面的共有点;2.直线可见性的分界点。直线可见性
41、的分界点。第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影A.A.一般位置直线与一般位置直线与一般位置直线与一般位置直线与特殊位置特殊位置特殊位置特殊位置平面相交平面相交平面相交平面相交FEKPABCPHb ba ac c k k 特殊位置特殊位置平面投影有积聚性平面投影有积聚性 直线与平面的交点属于直线直线与平面的交点属于直线和平面和平面 交点的交点的投影一定与平面的积聚投影一定与平面的积聚性投影重合性投影重合 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影判断直线的可见性判断直线的可见性:VHPHPABCacbkNKMbbaaccmmnkkn 特殊位置线面相交，根据平面的积聚
42、性投影，能直接判别直线的可见性。特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影B.B.特殊位置特殊位置特殊位置特殊位置直线与一般位置平面相交直线与一般位置平面相交直线与一般位置平面相交直线与一般位置平面相交EBCb ba ac c 特殊位置特殊位置直线投影有积聚性直线投影有积聚性 直线与平面的交点属于直线直线与平面的交点属于直线和平面和平面 交点的交点的投影一定与直线的积聚投影一定与直线的积聚性投影重合性投影重合AFKa a b b c c k ke f k k e e k 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面
43、的投影 直线和平面的交点的投影必为平面和直线的投影的共有点直线和平面的交点的投影必为平面和直线的投影的共有点,且满足投影规律且满足投影规律.C.C.直线和平面都在一般位置直线和平面都在一般位置直线和平面都在一般位置直线和平面都在一般位置(不作要求）不作要求）不作要求）不作要求）XHVabcAaBbcacbCYZabcmnc n b a m（1）平面为特殊位置）平面为特殊位置例例17：求直线：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC是一铅垂面，是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线，该直线与线，该直线与
44、mn的交点即的交点即为为K点的水平投影。点的水平投影。求交点求交点 判别可见性判别可见性由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投段在平面前，故正面投影上影上k n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。k 1(2)作作 图图k21km(n)bm n c b a ac（2）直线为特殊位置）直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MN为铅垂线，其水为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。的水平投影也积聚在该点上。求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在前；位于平面上，在前；
45、点点位于位于MN上，在后。故上，在后。故k 2 为不可见。为不可见。1(2)k 21作图作图用面上取点法用面上取点法 第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影2 2、平面与平面相交、平面与平面相交、平面与平面相交、平面与平面相交交线特性：交线特性：1.1.交线是两平面的公有线。交线是两平面的公有线。ABCNEF GM2.2.交线的投影一般是直线。交线的投影一般是直线。3.3.交线是可见性的分界线。交线是可见性的分界线。第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影判断平面的可见性：判断平面的可见性：bbacnlmcmalnfkfkVHMmnlBCackfFKNL可通过正面
46、投影可通过正面投影直观地进行判别。直观地进行判别。abcdefc f d b e a m(n)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC与与DEF都都为为正垂面正垂面，它们的正面投，它们的正面投影都积聚成直线。影都积聚成直线。交线必交线必为一条正垂线为一条正垂线，只要求得只要求得交线上的一个点便可作出交线上的一个点便可作出交线的投影。交线的投影。求交线求交线 判别可见性判别可见性作作 图图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。在上，其水平投影可见。nm能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？能能!如何判别？如何判别？例例18：求
47、两平面的交线：求两平面的交线MN并判别可见性。并判别可见性。b c f h a e abcefh1(2)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面EFHEFH是一水平面，是一水平面，它的正面投影有积聚性。它的正面投影有积聚性。a a b b 与与e e f f 的交点的交点m m 、b b c c 与与f f h h 的交点的交点n n 即为两个共有点的正面即为两个共有点的正面投影，故投影，故m m n n 即即MNMN的正的正面投影。面投影。求交线求交线 判别可见性判别可见性点点在在FHFH上，点上，点在在BCBC上，上，点点在上，点在上，点在下，故在下，故fhfh可见，可见，n2n2不可见。不
48、可见。作作 图图mn 2 nm 1 c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N N点的水平投影点的水平投影n n位于位于defdef的外面，的外面，说明点说明点N N位于位于DEFDEF所所确定的平面内，但不确定的平面内，但不在在DEFDEF这个图形内。这个图形内。故故ABCABC和和DEFDEF的交的交线应为线应为MKMK。nn m kmk a a b b b bc c g g d d f f e e a ac c d d e e f f g gn m nm课后自学：例课后自学：例19 求四边形求四边形DEFG与与 ABC的交线。的交线。分析与作图：分析与作图：1.四边形四边形
49、DEFG是正垂面，所以是正垂面，所以 其正面投影有积聚性。其正面投影有积聚性。2.交线是两个平面的共有线。交线是两个平面的共有线。设交线为设交线为MN,则则m n 一定一定与与 平面的积聚性投影重合。平面的积聚性投影重合。3.利用面上定线的方法求出交利用面上定线的方法求出交 线的水平投影线的水平投影mn4.判别可见性。判别可见性。交线是可见性的分界线交线是可见性的分界线a a b b b bc c g g d d f f e e a ac c d d e e f f g g课后自学：例课后自学：例20 求两四边形求两四边形ABCD 与与EFGH的交线。的交线。分析与作图：分析与作图：1.两四边
50、形都是铅垂面，所以两四边形都是铅垂面，所以它们的水平投影有积聚性。它们的水平投影有积聚性。2.交线是两个平面的共有线。交线是两个平面的共有线。设交线为设交线为MN,则则m n一定为两平一定为两平面积聚性投影的交点。面积聚性投影的交点。3.求出交线的正面投影求出交线的正面投影。4.判别可见性。判别可见性。n m nmh h h h问题：交线是什么位置线？问题：交线是什么位置线？第二章第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影u三、垂直问题三、垂直问题一、直线与特殊位置平面垂直一、直线与特殊位置平面垂直一、直线与特殊位置平面垂直一、直线与特殊位置平面垂直a a b b d d f f e e