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1、弹塑性力学弹塑性力学授课教师：龙志飞授课教师：龙志飞目录目录 第第一一章章绪论绪论第第二二章章应力分析应力分析第第三三章章应变分析应变分析第第四四章章应力应变关系应力应变关系第第五五章章线弹性力学问题的基本线弹性力学问题的基本解法和一般性原理解法和一般性原理 2/12/20232/12/20231 1第第六六章章弹性力学平面问题的直角坐标系解答弹性力学平面问题的直角坐标系解答第第七七章章弹性力学平面问题的极坐标系解答弹性力学平面问题的极坐标系解答第第八八章章等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转第第九九章章空间轴对称问题空间轴对称问题第第十十章章弹性力学问题的能量原理弹性力学问题的能量原理第第十一十
2、一章章塑性力学基础知识塑性力学基础知识弹塑性力学弹塑性力学 2/12/20232/12/20232 21.徐徐芝芝纶纶，弹弹性性力力学学：上上册册.第第三三版版,高高等等教教育育出版社出版社.1990年年2.陆陆明明万万.罗罗学学富富,弹弹性性理理论论基基础础,清清华华大大学学出出版版社社.1990年年3.杜杜庆庆华华.余余寿寿文文.姚姚振振汉汉,弹弹性性理理论论,科科学学出出版版社社.1986年年4.王王龙龙甫甫,弹弹性性理理论论.第第二二版版,科科学学出出版版社社.1984年年5.吴家龙吴家龙,弹性力学：高等教育出版社弹性力学：高等教育出版社.2001年年参考书目参考书目 2/12/202
3、32/12/20233 31-1 弹塑性力学的任务和对象弹塑性力学的任务和对象第一章第一章绪论绪论1-2 基本假设和基本规律基本假设和基本规律1-3 弹性力学的研究方法弹性力学的研究方法1-4 弹性力学的发展梗概（略）弹性力学的发展梗概（略）1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识量基本知识2/12/20232/12/20234 41-1 弹塑性力学的任务和对象弹塑性力学的任务和对象1.1任务：任务：弹弹塑塑性性力力学学是是固固体体力力学学的的一一个个分分支支学学科科，它它是是研研究究可可变变形形固固体体当当受受到到外外部部因因素素（如如载载荷荷作作用用、温温度度变变
4、化化、边边界界约约束束移移动动等等）作作用用时时，研研究究变变形形固固体体的的变变化化和和内内力力，为为保保证证变变形形体体或或结结构构在在使使用用周周期期内内有有足足够够的的强强度度、刚刚度度和和稳稳定定性，提供设计和施工（制造）的依据。性，提供设计和施工（制造）的依据。2/12/20232/12/20235 51-1 弹塑性力学的任务和对象弹塑性力学的任务和对象 弹弹塑塑性性力力学学是是根根据据固固体体材材料料受受外外因因作作用用时时所所呈呈现现的的弹弹性性与与塑塑性性性性质质而而命命名名。它们是固体材料变化过程的两个阶段。它们是固体材料变化过程的两个阶段。2/12/20232/12/20
5、236 61-1 弹塑性力学的任务和对象弹塑性力学的任务和对象当当外外部部因因素素作作用用时时，固固体体发发生生变变形形，如如果果当当外外因因去去掉掉，变变形形体体恢恢复复原原样样（状状），称称固固体体（材料）处于弹性性质，（材料）处于弹性性质，单值；单值；2/12/20232/12/20237 71-1 弹塑性力学的任务和对象弹塑性力学的任务和对象 如果当外因去掉，变形体未能恢复原状并如果当外因去掉，变形体未能恢复原状并存在永久变形，变形固体在外因作用时已进存在永久变形，变形固体在外因作用时已进入塑性阶段，入塑性阶段，曲线不是单值函数。曲线不是单值函数。当然变形体常遇到在物当然变形体常遇到在
6、物体某一局部处于弹性、而另体某一局部处于弹性、而另一区域处于塑性状态，弹塑一区域处于塑性状态，弹塑性交织在一起性交织在一起。2/12/20232/12/20238 81-1 弹塑性力学的任务和对象弹塑性力学的任务和对象1.2 1.2 研究的对象：研究的对象：材料力学材料力学和和结构力学结构力学是大学的主干课程，是大学的主干课程，它们也是固体力学中较基本的力学课程。在它们也是固体力学中较基本的力学课程。在许多工程设计中，工程师运用它们进行设计许多工程设计中，工程师运用它们进行设计和计算，但它们研究的对象单一：杆件型构和计算，但它们研究的对象单一：杆件型构件或杆系结构，（一维问题），具有局限性。件
7、或杆系结构，（一维问题），具有局限性。2/12/20232/12/20239 91-1 弹塑性力学的任务和对象弹塑性力学的任务和对象1.2 1.2 研究的对象：研究的对象：弹塑性力学弹塑性力学研究的对象就广泛的多，除研究的对象就广泛的多，除了杆件外，二维、三维实体结构、板、壳结了杆件外，二维、三维实体结构、板、壳结构。所以弹塑性理论基本方程要复杂的多，构。所以弹塑性理论基本方程要复杂的多，具有一般性。具有一般性。2/12/20232/12/202310101-2 基本假设和基本规律基本假设和基本规律2.12.1基本假设基本假设假假设设1：固固体体材材料料是是连连续续的的介介质质，即即固固体体体
8、体积积内处处充满介质，没有任何间隙。内处处充满介质，没有任何间隙。从从材材料料的的微微观观看看此此假假设设不不正正确确。因因为为粒粒子子间间有有空空隙隙，但但从从宏宏观观上上看看作作为为整整体体进进行行力力学学分分析析时时，假假设设1是是成成立立的的。假假设设1的的目目的的：变变形形体体的各物理量为连续函数（坐标函数）。的各物理量为连续函数（坐标函数）。2/12/20232/12/202311111-2 基本假设和基本规律基本假设和基本规律假假设设2：物物体体的的材材料料是是均均匀匀的的。认认为为物物体体内内各各点点的的材材料料性性质质相相同同（力力学学特特性性相相同同），所所以以从从物物体体
9、内内任任一一部部分分中中取取出出微微元元体体进进行行研研究究，它的力学性质代表了整个物体的力学性质。它的力学性质代表了整个物体的力学性质。2/12/20232/12/202312121-2 基本假设和基本规律基本假设和基本规律假假设设3：小小变变形形假假设设。物物体体在在外外因因作作用用下下，物物体产生的变形与其本身几何尺寸相比很小。体产生的变形与其本身几何尺寸相比很小。假假设设4：应应力力与与应应变变关关系系为为线线性性。此此假假设设适适用于线弹性理论。用于线弹性理论。2/12/20232/12/202313131-2 基本假设和基本规律基本假设和基本规律2.2 2.2 基本规律基本规律 完
10、完成成弹弹塑塑性性力力学学任任务务所所要要遵遵循循的的三三个个基基本规律（或应满足的三方面的条件）：本规律（或应满足的三方面的条件）：1.平平衡衡规规律律：固固体体受受到到外外力力与与自自身身的的内内力力要要满满足足平平衡衡方方程程，在在弹弹性性理理论论中中它它们们为为微微分分方方程（程（3个）。2/12/20232/12/202314141-2 基本假设和基本规律基本假设和基本规律2.几几何何连连续续性性规规律律：要要求求变变形形前前连连续续的的物物体体，变变形形后后仍仍为为连连续续物物体体，由由这这个个规规律律建建立立几几何何方方程程（6个个）或或变变形形协协调调方方程程，均均为为微微分方
11、程。分方程。2/12/20232/12/202315151-2 基本假设和基本规律基本假设和基本规律3.物物理理（本本构构）关关系系：应应力力（内内力力）与与应应变变（变变形形）之之间间的的关关系系，据据材材料料的的不不同同性性质质 来来建建立立，最最常常见见的的为为各各向向同性材料。同性材料。在在线线弹弹性性中中本本构构方方程程为为线线性性代代数数方方程程（6个）。个）。2/12/20232/12/202316161-3 弹性力学的研究方法弹性力学的研究方法数学方法：精确解法（解析解）、近似解法、数学方法：精确解法（解析解）、近似解法、数值解法。数值解法。实验方法：电测方法、光测方法等。实验
12、方法：电测方法、光测方法等。1-4 弹性力学的发展梗概（略）弹性力学的发展梗概（略）2/12/20232/12/202317171-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识量基本知识 由于弹性力学研究对象的普遍性，导致方由于弹性力学研究对象的普遍性，导致方程也较繁杂，推导也同样复杂，为了使得公式程也较繁杂，推导也同样复杂，为了使得公式表示简捷，近几十年弹性力学的论述及方程列表示简捷，近几十年弹性力学的论述及方程列式采用指标符号表示。为了这一原因，这里也式采用指标符号表示。为了这一原因，这里也简单介绍一些基本概念。这些符号或公式都是简单介绍一些基本概念。这些符号或公式都是在
13、笛卡尔坐标系中采用。在笛卡尔坐标系中采用。2/12/20232/12/202318181-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识5.1力学中常用的物理量力学中常用的物理量1.标量标量：只只有有大大小小、没没有有方方向向性性的的物物理理量量，与与坐标系选择无关。坐标系选择无关。用用字字母母表表示示，如如温温度度T、时时间间t、密密度度 等。标量无下标。等。标量无下标。2/12/20232/12/202319191-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识2.矢量矢量：有大小，又有方向性的物理量：有大小，又有方向性的物理量矢量的符号
14、记法。矢量的符号记法。如矢径如矢径（或黑体）、位移（或黑体）、位移、力、力等，等，矢量也可以用它的标量表示：矢量也可以用它的标量表示：x1 x3 x2r2/12/20232/12/202320201-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识量基本知识其其中中、为为坐坐标标的的基基方方向向（单单位位向向量量），r1、r2、r3为为r在在坐坐标标轴轴的的投投影影（分分量量），都都有有一个下标。一个下标。x1 x3 x2r2/12/20232/12/202321211-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识3.张量张量：有大小，并具有多重方向性
15、的量：有大小，并具有多重方向性的量每每个个分分量量用用一一个个标标量量（具具有有两两个个下下标标）与与两两个个并并在在一一起起基基矢矢量量（并并矢矢），称称为为二二阶阶张张量量。矢矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。量可称为一阶张量，标量为零阶张量。如应力如应力、应变、应变 ，张，张量的符号记法。量的符号记法。2/12/20232/12/202322221-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识5.2求和约定求和约定 在张量表示说明中，看到张量分量表示是在张量表示说明中，看到张量分量表示是一组符号之和，很长，特别是高阶张量，为了一组符号之和，很长，特别是高阶张
16、量，为了书写简捷，采用求和约定。书写简捷，采用求和约定。求和约定求和约定：当在同一项中，有一个下标字母出当在同一项中，有一个下标字母出现两次时，则表示该项在该指标的取值范围内现两次时，则表示该项在该指标的取值范围内遍历求和，且称此种在同一项重复出现一次的遍历求和，且称此种在同一项重复出现一次的下标为哑标。下标为哑标。2/12/20232/12/202323231-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识哑标如：哑标如：由于哑标由于哑标i仅表示要遍历求和，因此哑标可以仅表示要遍历求和，因此哑标可以成对的任意换标。成对的任意换标。2/12/20232/12/2023
17、24241-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识5.3自由指标自由指标 一一个个表表达达式式中中如如果果出出现现非非重重复复的的标标号号或或一一个个方方程程每每项项中中出出现现非非重重复复的的而而且且为为相相同同字字母母的的指标，称为自由指标。指标，称为自由指标。矢矢径径 r 的的表表示示：矢矢径径的的三三个个分分量量为为ri(i=1,2,3)，用，用ri表示矢径；表示矢径；同同样样位位移移矢矢量量u，用用ui表表示示位位移移，ij表表示示应力应力 张量。张量。2/12/20232/12/202325251-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张
18、量基本知识张量基本知识i 为自由指标，取i=1,2,3 表示三个方程。j为哑指标，表示求和。2/12/20232/12/202326261-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识5.4克罗内克符号克罗内克符号 ij （Kronecker delta）定义：定义：ij（i,j为自由指标）共有九个分量，为自由指标）共有九个分量，i,j 各取各取13。2/12/20232/12/202327271-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识量基本知识由由 ij定义定义9个个元素组成矩元素组成矩阵为单位阵：阵为单位阵：ij符号的应用符号的应用 笛卡
19、尔坐标系的笛卡尔坐标系的基向量的点积基向量的点积2/12/20232/12/202328281-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识由由 ij 定义及哑标、自由标定义，可得：定义及哑标、自由标定义，可得：2/12/20232/12/202329291-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识 如如果果 ij符符号号的的两两个个指指标标中中有有一一个个指指标标和和同同项项中中其其它它因因子子的的指指标标相相重重，则则可可以以把把该该因因子子的的那那个个重重指指标标替替换换成成 ij 的的另另一一个个指指标标，而而 ij自自动动消
20、失。消失。ij也称为也称为 换标符号换标符号。两个任意向量点积两个任意向量点积2/12/20232/12/202330301-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识5.5排列符号排列符号（levicivtita）eijk定义：定义：eijk(i,j,k=1,2,3)共有共有27个元素。个元素。2/12/20232/12/202331311-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识排列符号的作用可以简化公式书写，如：排列符号的作用可以简化公式书写，如：1三阶行列式：三阶行列式：（共六项，三项为正，三项为负）。（共六项，三项为正，三
21、项为负）。2/12/20232/12/202332321-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识2.基向量的叉积：右手系基向量的叉积：右手系任意基向量的叉积可写为任意基向量的叉积可写为2/12/20232/12/202333331-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识3向量叉积的展开式：向量叉积的展开式：而而2/12/20232/12/202334341-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识得2/12/20232/12/202335351-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张
22、量基本知识张量基本知识5.6梯度（梯度（grad）、散度（）、散度（div）、）、旋度旋度rot或或curl）：）：1标量场的梯度：标量场的梯度：标量场标量场 (xi,)的梯度为：的梯度为：标量场：标量场：=(x1,x2,x3)=(xi,)2/12/20232/12/202336361-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识标量场标量场 (xi,)的梯度为：的梯度为：其中 2/12/20232/12/202337371-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识 标标量量场场的的梯梯度度为为一一矢矢量量场场，类类推推矢矢量量场场的
23、的梯度为二阶张量。梯度为二阶张量。标标量量场场梯梯度度的的方方向向与与等等值值面面 (xi,)=C垂垂直直，大小为大小为 (xi,)在其法线方向上的方向导数在其法线方向上的方向导数2/12/20232/12/202338381-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识2矢量场的散度：矢量场的散度：矢量矢量 定义向量场的散度为定义向量场的散度为或或类推对张量场也可得它的散度。类推对张量场也可得它的散度。2/12/20232/12/202339391-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识3矢量场的旋度：矢量场的旋度：矢量矢量 ，定
24、义向量场的旋度为，定义向量场的旋度为2/12/20232/12/202340401-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识4拉普拉斯算子（拉普拉斯算子（laplace opertor）：标量场中的拉普拉斯算子定义为标量场中的拉普拉斯算子定义为标量场标量场 (xi,)的梯度的散度，的梯度的散度，是一个标量，是一个标量，2/12/20232/12/202341411-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识标量场标量场 (xi,)的梯度的散度，是一个标量的梯度的散度，是一个标量2/12/20232/12/202342421-5 笛卡
25、尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识矢量场的拉普拉斯算子定义为矢量场的矢量场的拉普拉斯算子定义为矢量场的梯度的散度：是一个向量梯度的散度：是一个向量2/12/20232/12/202343431-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识2/12/20232/12/202344441-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识2/12/20232/12/202345451-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识5.7高斯（高斯（Gauss）公式（散度定理）：）公式（散度定理
26、）：矢矢量量场场定定义义在在三三维维域域V内内，S为为V的的表表面面。在在表表面面上上任任一一微微元元面面dS，单单位位外外法法线线 为为（）。若）。若在在VS上有连续偏导数，则：上有连续偏导数，则：2/12/20232/12/202346461-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识矢矢量量场场散散度度的的体体积积积积分分等等于于矢矢量量场场在在表表面面法法线上投影的积分。线上投影的积分。高斯公式表示了体积积分与面积积分的关系：高斯公式表示了体积积分与面积积分的关系：2/12/20232/12/202347471-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢
27、量、张量基本知识张量基本知识x1x3x2n+n-dx2dx3证明证明i=1时情况：时情况：可以先证可以先证在正面：在正面：在负面：在负面：2/12/20232/12/202348481-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识x1x3x2n+n-dx2dx3其它两个方程的证明类似。2/12/20232/12/202349491-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识5.7高斯（高斯（Gauss）公式（散度定理）：）公式（散度定理）：对于张量场高斯公式也成立：对于张量场高斯公式也成立：2/12/20232/12/202350501
28、-5 笛卡尔坐标系下的矢量、笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识张量基本知识5.8商法则：商法则：如如果果一一个个具具有有n个个指指标标的的指指标标符符号号所所代代表表的的量量与与任任意意一一个个矢矢量量点点积积得得到到n-1阶阶张张量量，则则该指标符号所代表的量是一个该指标符号所代表的量是一个n阶张量。阶张量。任意矢量：任意矢量：,已知矢量已知矢量，则，则（是一标量）（是一标量）。2/12/20232/12/20235151习题：1.1.用求和约定改写下式：用求和约定改写下式：2.2.将求和约定表达式写成展开形式：将求和约定表达式写成展开形式：2/12/20232/12/20235252习题：3.3.证明：证明：4.4.用指标符号证明：用指标符号证明：2/12/20232/12/20235353