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1、工程弹塑性力学第一章 应力理论第1页，共57页，编辑于2022年，星期六u 弹塑性力学的几个重要概念u 平衡方程u 一点的应力状态 边界条件u 坐标变换 应力张量u 主应力 应力张量不变量u 最大切应力u 正八面体的应力 u 应力张量的分解主要内容主要内容第2页，共57页，编辑于2022年，星期六关于弹塑性力学中几个重要的基本概念关于弹塑性力学中几个重要的基本概念1.变形：变形：是指在外力作用下是指在外力作用下 物体尺寸和形状产物体尺寸和形状产 生的改变。生的改变。2.2.弹性：弹性：当撤除外力时，固当撤除外力时，固 体能恢复其变形的体能恢复其变形的性能性能 称为弹性，称为弹性，恢复了的变恢复
2、了的变 形形称为称为弹性弹性变形变形。3.3.塑性：塑性：当撤除外力时固体能残留下来变形的性当撤除外力时固体能残留下来变形的性能称为塑性，能称为塑性，残留下来的变形残留下来的变形称为称为塑性变形塑性变形。4.4.破坏：破坏：在外力作用下，固体产生了在外力作用下，固体产生了塑性塑性变形或断裂统变形或断裂统称为破称为破 坏坏。5.5.强度：强度：是指物体在外力作用下抵抗破坏的能力。是指物体在外力作用下抵抗破坏的能力。6.6.刚度：刚度：是指物体在外力作用下抵抗变形的能力。是指物体在外力作用下抵抗变形的能力。第3页，共57页，编辑于2022年，星期六1.1 体积力和面力的概念体积力和面力的概念(1)
3、体积力：分布物体体内的外力，分为常体力和变体力。(2)面力：分布于物体表面上的力体力集度：（N/mm2）面力集度：(Pa)第4页，共57页，编辑于2022年，星期六体体力力说说明：明：(1)f 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数；(2)f 的加载方式是任意的的加载方式是任意的(如：重力，磁场力、惯性力等如：重力，磁场力、惯性力等)(3)f1、f2、f3的正负号由坐标方向确定。沿坐标的正负号由坐标方向确定。沿坐标轴向为正；沿坐标轴负向为负。轴向为正；沿坐标轴负向为负。(4)量纲为量纲为第5页，共57页，编辑于2022年，星期六面力面力说明说明:(1)p 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布
4、函数；(2)p 的加载方式是任意的的加载方式是任意的;(3)的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。沿坐标轴向为正；沿坐标轴负向为负。沿坐标轴向为正；沿坐标轴负向为负。（4）量纲为量纲为第6页，共57页，编辑于2022年，星期六内力和截面法内力和截面法:弹塑性力学中所说的内力是指物体产生变形时的附加内弹塑性力学中所说的内力是指物体产生变形时的附加内力（简称为内力），是物体内相邻部分间的相互作用力。力（简称为内力），是物体内相邻部分间的相互作用力。物体在外力的作用下处于平衡状态，则物体物体在外力的作用下处于平衡状态，则物体内任任一部分也必然处于平衡状态一部分也必然处于平衡状态。求解内力必
5、须首先截开物体，暴露内力，然后根据力求解内力必须首先截开物体，暴露内力，然后根据力系的平衡原理求解内力。因此，求解内力的唯一方法是截系的平衡原理求解内力。因此，求解内力的唯一方法是截面法。面法。第7页，共57页，编辑于2022年，星期六2.应力应力(1)应力的概念应力的概念AFF内力内力(1)物体内部分子或原子间的相互作物体内部分子或原子间的相互作用力用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑不考虑)P(1)P点的内力面分布集度点的内力面分布集度(2)应力矢量应力矢量.-P点的应力点的应力的极限方向的极限方向由外力引起的在由外力引起的在 P点的某一面上内力分
6、布集度点的某一面上内力分布集度应力分量应力分量n(法线法线)应力的法向分量应力的法向分量 正应力正应力应力的切向分量应力的切向分量 剪应力剪应力单位单位:与面力相同与面力相同MPa(兆帕)应力关于坐标连续分布的应力关于坐标连续分布的第8页，共57页，编辑于2022年，星期六应力的概念：应力的概念：受力物体内某点处某微截面上内力受力物体内某点处某微截面上内力 的分布集度。的分布集度。工程构件在大多数情形下，工程构件在大多数情形下，其内力并非均匀分布，集度的其内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且定义不仅准确而且重要，因为材料的重要，因为材料的“破坏破坏”或或“失效失效”往往就是从内力往往就是从
7、内力集度最大处，也就是材料集度最大处，也就是材料变形最强烈处开始。变形最强烈处开始。第9页，共57页，编辑于2022年，星期六正应力正应力应力应力剪应力剪应力必须指明两点：必须指明两点：1.1.是哪一点的应力；是哪一点的应力；2.2.是该点哪个微截面的应力。是该点哪个微截面的应力。应力的表示符号应力的表示符号:正应力：正应力：剪应力：剪应力：第一个字母表明该应力作用截面第一个字母表明该应力作用截面的外法线方向同哪一个坐标轴相的外法线方向同哪一个坐标轴相平行，第二个字母表明该应力的平行，第二个字母表明该应力的指向同哪个坐标轴相平行。指向同哪个坐标轴相平行。第10页，共57页，编辑于2022年，星
8、期六4.位移：位置的移动。位移：位置的移动。一点的位移一点的位移 矢量矢量SxyzOwuvP量纲：量纲：L单位：单位：m 或 mmS位移分量：位移分量：u x方向的位移方向的位移 分量；分量；v y方向的位移方向的位移 分量；分量；w z方向的位移方向的位移 分量。分量。位置分量正负号的规定：位置分量正负号的规定：沿坐标轴正向为正沿坐标轴正向为正沿坐标轴负向为负沿坐标轴负向为负第11页，共57页，编辑于2022年，星期六位位 移移位移位移刚性位移：反映物体整体位置的变动刚性位移：反映物体整体位置的变动变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化 研究物体在外力作
9、用下的变形规律，只需研究物体内各研究物体在外力作用下的变形规律，只需研究物体内各点的相对位置变动情况，即研究变形位移。点的相对位置变动情况，即研究变形位移。位移不能直接表明物体各点处材料变形的剧烈程度，还位移不能直接表明物体各点处材料变形的剧烈程度，还需要研究物体内各点的相对位移。需要研究物体内各点的相对位移。第12页，共57页，编辑于2022年，星期六3.形变形变形变形变 物体的形状改变。物体的形状可以用各部分的长度和角物体的形状改变。物体的形状可以用各部分的长度和角度来表示。这样，物体的形变可以用长度和角度的改变来描述。度来表示。这样，物体的形变可以用长度和角度的改变来描述。xyzO（1）
10、线段长度的改变）线段长度的改变（2）两线段间夹角的改变。）两线段间夹角的改变。PBCA用线（正）应变用线（正）应变度量度量用剪应变用剪应变度量度量（剪应变（剪应变两垂直线段夹角两垂直线段夹角（直角）（直角）的改变量）的改变量）三个方向的线应变：三个方向的线应变：三个平面内的剪应变：三个平面内的剪应变：应变的正负：应变的正负：线应变：线应变：伸长时为正，缩短时为负；伸长时为正，缩短时为负；剪应变：剪应变：以直角变小时为正，变大时为负；以直角变小时为正，变大时为负；第13页，共57页，编辑于2022年，星期六 在一物体内任取一点在一物体内任取一点A A，建立，建立oxyoxy坐标，沿坐标，沿x x
11、、y y两方向分两方向分别取微线段别取微线段 ，y y。该物体受外。该物体受外力作用产生变形，力作用产生变形，A A、B B、C C三点变形后位移到三点变形后位移到A A、B B、C C处，且变形后长度为：处，且变形后长度为：A AB Bxxuu ，A AC Cyyvv，且方位发生改变，则由线应变和剪应变定义知：且方位发生改变，则由线应变和剪应变定义知：x 应变的概念：应变的概念：第14页，共57页，编辑于2022年，星期六线应变线应变、涉及受力物体内某一点；、涉及受力物体内某一点；、涉及该点的某一方向；、涉及该点的某一方向；、是一个无量纲的物理量。、是一个无量纲的物理量。角应变角应变、涉及受
12、力物体内某一点；涉及受力物体内某一点；、涉及过该点的某两相垂直方向；、涉及过该点的某两相垂直方向；、是一个有单位，无量纲的物量。、是一个有单位，无量纲的物量。第15页，共57页，编辑于2022年，星期六 应变的符号规则：应变的符号规则：表征某点某方向伸长变形的线应变取表征某点某方向伸长变形的线应变取正，反之取负；正，反之取负；表征某点两坐标轴正方向所夹直角减少表征某点两坐标轴正方向所夹直角减少的角应变取正，反之取负。的角应变取正，反之取负。应变状态：应变状态：受力物体内某点处线应变和剪应变的总和，受力物体内某点处线应变和剪应变的总和，反映和表征了该点的变形程度，称之为应变状反映和表征了该点的变
13、形程度，称之为应变状态。态。第16页，共57页，编辑于2022年，星期六固体材料固体材料基本破坏基本破坏形式形式 屈服流动屈服流动强化强化最终导致剪切断裂最终导致剪切断裂;这种破坏形式主要是由剪应力达到材料这种破坏形式主要是由剪应力达到材料 的极限值所导致；的极限值所导致；脆性断裂，即在几乎不产生明显塑性变脆性断裂，即在几乎不产生明显塑性变 形的情况下材料就产生破坏；形的情况下材料就产生破坏；第17页，共57页，编辑于2022年，星期六屈服条件屈服条件 建立屈服条件的必然性：建立屈服条件的必然性：逐一由试验建立失效判据的不可能性；逐一由试验建立失效判据的不可能性；对于相同的破坏形式建立对于相同
14、的破坏形式建立破坏破坏原因假说原因假说 的可能性；的可能性；利用简单利用简单(如单向拉伸或压缩如单向拉伸或压缩)试验的结试验的结 果建立复杂应力状态下的果建立复杂应力状态下的破坏破坏判据判据;第18页，共57页，编辑于2022年，星期六(2)一点的应力状态一点的应力状态通过一点通过一点P 的各个面上应力状况的集合的各个面上应力状况的集合 称为一点的应力状态称为一点的应力状态x面的应力：面的应力：y面的应力：面的应力：z面的应力：面的应力：第19页，共57页，编辑于2022年，星期六应力状态的概念：应力状态的概念：受力物体内某点处截取的所有微截面上的应受力物体内某点处截取的所有微截面上的应力的总
15、和，就表明了该点的受力状态，称为应力的总和，就表明了该点的受力状态，称为应力状态。力状态。研究一点应力状态的目的：研究一点应力状态的目的：解解决决构构件件危危险险点点处处材材料料的的强强度度分分析析问问题题。研研究究一一点点应应力力状状态态。任任一一斜斜截截面面上上的的应应力力。最最大大（最最小小）正正应应力力和和剪剪应应力力，及及其其作作用用截截面面方方位位。第20页，共57页，编辑于2022年，星期六 以单元体为研究对以单元体为研究对象或模型：一般单元象或模型：一般单元提取为正六面体。提取为正六面体。采采用截面法根据平衡的原用截面法根据平衡的原理。理。1 1）每个面上应力均匀分；）每个面上
16、应力均匀分；2 2）每对相互平向的面上应力相）每对相互平向的面上应力相等；等；研究一点应力状研究一点应力状 态的方法：态的方法：第21页，共57页，编辑于2022年，星期六用矩阵表示：用矩阵表示：其中，只有其中，只有6个量独立。个量独立。剪应力互等定理剪应力互等定理应力符号的意义：应力符号的意义：第第1个下标个下标 x 表示表示所在面的法线方向（垂直于哪一个坐标轴）；所在面的法线方向（垂直于哪一个坐标轴）；第第2个下标个下标 y 表示表示的方向（即作用方向沿着哪一个坐标轴）的方向（即作用方向沿着哪一个坐标轴）.xyzO正应力，作用于垂直于正应力，作用于垂直于x轴的面，沿轴的面，沿x轴方向轴方向
17、第22页，共57页，编辑于2022年，星期六正面正面 截面的外法线是沿坐标轴的正方向截面的外法线是沿坐标轴的正方向负面负面截面的外法线是沿坐标轴的负方向截面的外法线是沿坐标轴的负方向面的正负号规定面的正负号规定正面上的应力：沿坐标轴正向为正正面上的应力：沿坐标轴正向为正 沿坐标轴负向为负沿坐标轴负向为负负面上的应力：负面上的应力：沿坐标轴负向为正沿坐标轴负向为正 沿坐标轴正向为负沿坐标轴正向为负量纲：量纲：第23页，共57页，编辑于2022年，星期六关于应力和面力符号的一些说明：关于应力和面力符号的一些说明：应力与面力相比，在正坐标面上，正的正应力和切应力与面力相比，在正坐标面上，正的正应力和
18、切应力，与对应的正的法向和切向面力的方向相同，应力，与对应的正的法向和切向面力的方向相同，即正方向及其正号规定相同；而在负面上应力与对即正方向及其正号规定相同；而在负面上应力与对应的面力异号，即应力的正方向与对应面力的正方应的面力异号，即应力的正方向与对应面力的正方向相反。向相反。面力以坐标面力以坐标正向为正，反之为负；正向为正，反之为负；应力以应力以正面正向、负面负向的为正，正面正向、负面负向的为正，反之为负。反之为负。注意：注意：剪应力互等定理：和面的正负无关剪应力互等定理：和面的正负无关 作用在两个作用在两个互相垂直互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的切应力是互等的的面上并且垂直于该两面
19、交线的切应力是互等的（大小相等，正负号相同）（大小相等，正负号相同）第24页，共57页，编辑于2022年，星期六与材力中剪应力与材力中剪应力正负号正负号规定的区别：规定的区别：材力中规定使得单元或其局部产生顺材力中规定使得单元或其局部产生顺时针方向转动趋势的剪应力时针方向转动趋势的剪应力为正，为正，反之为负。反之为负。材料力学材料力学弹性力学弹性力学与材力中正应力与材力中正应力正负号正负号的规定两者完全一致。的规定两者完全一致。第25页，共57页，编辑于2022年，星期六(2)一点应变状态一点应变状态 代表一点代表一点 P 的的邻域内邻域内线段与线段间夹角的改变线段与线段间夹角的改变xyzOP
20、BCA其中其中应变无量纲；应变无量纲；注：注：应变分量均为位置坐标的函数，即应变分量均为位置坐标的函数，即第26页，共57页，编辑于2022年，星期六1.2 平衡方程平衡方程过物体内一点M(x,y,z)作垂直于x轴的微平面，设作用其上正应力和切应力为：与其无限接近M点的N(x+dx,y+dy,z+dz)正应力可由上式的麦克劳林展开式得到：第27页，共57页，编辑于2022年，星期六当M点与N点位于平行于x轴的直线上，并略去一阶以上的量，则可得：第28页，共57页，编辑于2022年，星期六对于六面体，若处于平衡状态，则存在六个静力平衡方程：由得：体积力惯性力第29页，共57页，编辑于2022年，
21、星期六同理得：平衡方程（纳维方程）其张量表示方法：平衡方程表示过任一点的三个正交微分面上的9个应力分量需满足的条件第30页，共57页，编辑于2022年，星期六由微元体力矩 平衡，得：整理得：整理得：当当时，有时，有 剪应力互等定理剪应力互等定理第31页，共57页，编辑于2022年，星期六由力矩平衡 得：切应力互等定理微元体任意两个相互垂直于交线的切应力大小相等，微元体任意两个相互垂直于交线的切应力大小相等，方向同时指向或同时背向交线方向同时指向或同时背向交线平衡方程独立变量减为6个第32页，共57页，编辑于2022年，星期六1.3 一点的应力状态一点的应力状态 边界条件边界条件第33页，共57
22、页，编辑于2022年，星期六令 并化简，并利用 有：u边界条件：边界条件：外力与内应力的关系四面体平衡问题：设斜面面积为A，其外法线的方向余弦为l,m,n,重力作用于其重心。由 得：即平衡时边界外力与内应力之间关系第34页，共57页，编辑于2022年，星期六即斜面正应力：斜面正应力：截面方向余弦矩阵转置矩阵切应力：第35页，共57页，编辑于2022年，星期六1.4 1.4 坐标变换坐标变换 应力张量应力张量x(1)y(2)z(3)x(1)L11L12L13y(2)L21L22L23z(3)L31L32L33如何用老坐标系下的应力分量表示新坐标系下的应力分量如何用老坐标系下的应力分量表示新坐标系
23、下的应力分量？在原坐标系内找一平面与新坐标系平面重合，现在原坐标系下计算全应力投影，再计算将其在新坐标系下投影。第36页，共57页，编辑于2022年，星期六 为求新坐标系下以z为外法线微面的应力分量，在原坐标系找一平面与之重合，则全应力分力的投影可得：向新坐标轴投影第37页，共57页，编辑于2022年，星期六可归纳为：张量：应力分量随坐标系变化，但实际大小不变（只是坐标系改变了分量）切应力互等，应力张量为对称张量。（1-6b）（1-6a）第38页，共57页，编辑于2022年，星期六例例1-1：某物体内一点的应力可用张量表示如下：求法向矢量 的斜截面上的正应力和切应力解：由于根据式(1-4)有：
24、第39页，共57页，编辑于2022年，星期六全应力投影：切应力：第40页，共57页，编辑于2022年，星期六1.5 主应力主应力 应力张量不变量应力张量不变量 设应力张量的特征值为 ，特征向量为u，I为单位矢量矩阵，根据线性代数的知识有下式成立其中，特征值即为特征值即为主主应力，应力，特征向特征向量为量为主方向主方向！第41页，共57页，编辑于2022年，星期六：应力张量的三个不变量利用主应力张量表示某点的应力状态：第42页，共57页，编辑于2022年，星期六几点说明：（1）（因为由线性代数知实对称阵的特征值为实数）三个主应力均为实数，且第43页，共57页，编辑于2022年，星期六（2）当有一
25、个重根时，如 则与 垂直平面内任何方向均为主应力，为（3）当 ，任意方向均为主方向，称为球形应力或静水应力状态第44页，共57页，编辑于2022年，星期六例例1-2：某一应力场可用张量表示如下：试求该应力场的主应力与主方向。解解：(1)求 的主应力就是求矩阵 的特征值，即：求得：第45页，共57页，编辑于2022年，星期六（2）求应力主方向就是求应力矩阵 的特征向量，即考虑到 ，得到：即一个主方向为第46页，共57页，编辑于2022年，星期六同理有从而得到主应力转换矩阵第47页，共57页，编辑于2022年，星期六1.6 最大切应力最大切应力设主应力已知，取主平面为坐标平面。根据式(1-3)。任
26、意斜面上全应力的投影为：斜面上全应力的大小为：正应力的大小为第48页，共57页，编辑于2022年，星期六切应力的大小为由消去n得：第一组：第二组：第三组：第49页，共57页，编辑于2022年，星期六123456l000m000n000000主方向上切应力最大切应力最大切应力所在截面平行于某主轴，与另外两主轴成45o第50页，共57页，编辑于2022年，星期六1.7 正八面体上的应力正八面体上的应力正八面体余弦：全应力投影：第51页，共57页，编辑于2022年，星期六全应力正应力切应力正应力为三个主应力的平均值，切应力的平方为三个最大切应力平方的4/9倍。第52页，共57页，编辑于2022年，星
27、期六特殊情况：u 单向应力状态：u 纯剪切应力状态：可以证明：正八面体切应力与最大切应力关系，第53页，共57页，编辑于2022年，星期六1.8 应力张量的分解应力张量的分解应力球张量应力球张量：应力偏张量应力偏张量：即：即：应力球张量改变物体体积不改变形状，应力偏张量改变形状不改变体积第54页，共57页，编辑于2022年，星期六应力偏张量的特征方程：其不变量：应力偏张量的不变量：第55页，共57页，编辑于2022年，星期六若取应力主轴为坐标轴：等效应力：第56页，共57页，编辑于2022年，星期六可以证明，应力张量的三个不变量都是基本不变量。应力偏张量的不变量以及正八面体上的应力、等效应力等都是基本不变量的函数。比较上述两式得：第57页，共57页，编辑于2022年，星期六