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1、专题 12二次函数与四边形综合1 如图，已知抛物线y = ax2 + bx + 2 3与 x 轴交A2,0 ，B 6,0 ，与y 轴交于点 C( 1)求抛物线解析式；(2)若点 P 是直线BC下方抛物线上一点，且位于对称轴左侧，过点 P 作PD BC于点 D ，作PEx轴交抛物 线于点 E，求PD + PE的最大值及此时点 P 的坐标；(3)将抛物线ax2 + bx + 2 3 向左平移 2 个单位长度得到新抛物线y，平移后的抛物线y 与原抛物线交于点 Q， 点 M 是原抛物线对称轴上一点，点 N 是新抛物线上一点，请直接写出使得以点 B ，Q，M，N 为顶点的四边 形是平行四边形的点 M 的
2、坐标，并写出其中一个点 M 的求解过程第 1 页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司2 如图 1 ，在平面直角坐标系
3、中，抛物线y = X2 + bX + c的顶点为D2,8 ，与 x 轴交于两点 A ，B (A 在B 的左侧)，与y 轴交于点 C( 1)求抛物线的函数表达式；(2)如图 2 ，连接AD ，BC ，点 P 是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点 P 作PQ AD交CB于点Q ，求PQ 的最大值及此时点 P 的坐标；(3)将该抛物线关于直线X = 1 对称得到新抛物线y1 ，点 E 是原抛物线y 和新抛物线y1 的交点，F 是原抛物线对称轴上一点，G 为新抛物线上一点，若以 E、F、A 、G 为顶点的四边形是是平行四边形，请直接写出点 F 的坐标第 2 页3 如图 1 ，在平面直角坐标系中，抛物
4、线y = ax2 + bx + 12 与 x 轴交于点A4 3 ，0 ，B 2 3 ，0 ，与y 轴交于点 C( 1)求该抛物线的解析式：(2)过点 B 作BDAC ，交抛物线于点 D ，点 P 直线AC上方抛物线上一动点，连接PA ，PC ，AD ，CD ，求四 边形PADC面积的最大值及此时点 P 的坐标；(3)将抛物线y = ax2 + bx + 12 沿射线AC平移 2 3个单位，新抛物线与y 轴交于点 Q ，点 E 为新抛物线对称 轴上一点，F 为平面直角系中一点，直接写出所有使得以点 B ，Q ，E，F 为顶点的四边形是菱形的点 F 的 坐标，并把求其中一个点 F 的坐标的过程写出
5、来第 3 页4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = x2 + bx + c与x轴交于A 、B(4 ，0)两点 (点A在点B的左侧)， 与y轴交于点C(0 ，2)( 1)求抛物线的表达式；(2)连接BC ，点P为直线BC上方抛物线上 (不与B 、C重合) 的一动点，过点P作PF/BC交x轴于点F ，PE/x 轴交AC于点E ，PH/y轴交BC于点H ，HQ PF ，垂足为点Q ，求PE + PQ的最大值及此时点P的坐标；(3)在 (2) 的条件下，将原抛物线沿射线BC方向平移 5个单位得到新抛物线y ，点M为原抛物线对称轴上一 点，在新抛物线y 上是否存在一点N ，使以点A 、C 、M 、N
6、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接 写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由第 4 页5如图 1，抛物线y = x2 + 3x + 4 与 x 轴交于 A、B 两点 (A 在 B 的左侧)，与y 轴交于点 C，连接AC, BC( 1)求 ABC的面积；(2)如图 2 ，点 P 为直线上方抛物线上的动点，过点 P 作PDAC交直线BC于点 D ，过点 P 作直线PEx轴交 直线BC于点 E，求PD+ PE的最大值及此时 P 的坐标；(3)在 (2) 的条件下，将原抛物线y = x2 + 3x + 4 沿射线AC方向平移 2 17个单位，点 M 是新抛物线与原
7、抛物线的交点，N 是平面内任意一点，若以 P 、B 、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 N 的坐标第 5 页6 如图，在平面直角坐标系中，直线y= x 12 与 x 轴交于点 A ，与y 轴交于点 C，抛物线y= x2 + bx + c 经过 A ，C 两点，与 x 轴的另一个交点为点 B( 1)求抛物线的函数表达式；(2)点 D 为第四象限的抛物线上一动点，连接BD ，与AC相交于点 E，设点 D 的横坐标为t ， K ，求 K 与 t 的函数关系，及 K 的最大值和此时点 D 的坐标；(3)在 (2) 中 K 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移 4 个单位，点
8、 F 为点 D 的对应点， M 为平移后的抛物线的对称轴上一点在平移后的抛物线上确定一点 N，使得以点 E ，F，M，N 为顶点的 四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点 N 的坐标第 6 页7 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = ax2 + bx 3 与 x 轴交于点A 1,0 ，B 4,0 ，与y 轴交于点 C( 1)求抛物线的函数解析式(2)点 P 为直线BC下方抛物线上一动点，过点 P 作y 轴的平行线交 BC 于点 Q ，过点 P 作 x 轴的平行线交y 轴于点 F，过点 Q 作 x 轴的平行线交y 轴于点 E，求矩形PQEF的周长最大值及此时点 P 的坐标(3)将抛物线
9、y = ax2 + bx 3 沿射线 CB 方向平移，当它对称轴左侧的图象经过点 B 时停止平移，记平移后的抛物线为y ，设y 与 x 轴交于 B 、D 两点，作直线 CD ，点 M 是直线 BC 上一点，点 N 为直线 CD 上的一 点，当以 A 、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的 M 点的坐标，并把求 其中一个点 M 的坐标的过程写出来第 7 页8 如图 1 ，已知抛物线y=X2+bX+c与 x 轴交于 A 、B 两点，与y 轴交于点 C (0 ，1)，且 tanOAC=( 1)求抛物线的解析式；(2)点 P 是直线 AC 下方对称轴左侧抛物线上一点，过点
10、 P 作 PQ/x 轴交抛物线于点 Q ，过点 P 作 PRx 轴 交 AC 于点 R ，若PQ+PR= ，求点 P 的坐标；(3)将抛物线y=X2+bX+c 向右平移一个单位，向下平移一个单位得到新抛物线，在新抛物线上有点 M，在原抛物线对称轴上有点 N，直接写出所有使得以点 A ，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形的点 M 的坐标， 并把求其中一个点 M 的坐标的过程写出来第 8 页9 在平面直角坐标系中， 抛物线 y = ax2 + bx + 3 与 x 轴交于点 A 2,0 、点 B (点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C ， 且过点 2,3( 1)求抛物线的表达式：(
11、2)如图 1 ， 点 P 为直线 BC 上方抛物线上 (不与 B 、C 重合) 一动点， 过点 P 作 PD y轴， 交 BC 于 D ，过点 P 作 PEx 轴， 交直线 BC 于 E ， 求 PE + DB 的最大值及此时点 P 的坐标；(3)如图 2 ， 将原抛物线沿 x 轴向左平移 1 个单位得到新抛物线 y ， 点 M 为新抛物线 y 上一点， 点 N 为原抛物线对称轴上一点， 当以点 A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形时， 求点 N 的坐标， 并写出求其中一个 N 点坐标的解答过程第 9 页10如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+x 3 交 x 轴于点A ，点 B
12、 (点 A 在点 B 的左侧)，交y 轴于点 C，连接 AC，BCP 是第三象限内抛物线上一动点，过 P 作 PEy 轴交 AC 于点 E，过 E 作EFBC 交 x 轴于点 F( 1)求ABC 的面积；(2)求 PE+EF+FO 的最大值及此时点 P 的坐标；(3)将抛物线yx2+x 3 平移，使得新抛物线的顶点为 (2) 中求得的点 P ，点 Q 为 x 轴下方的新抛物线上一点，R 为 x 轴上一点，直接写出所有使得以点A ，C，Q ，R 为顶点的四边形是平行四边形的点 R 的坐 标第 10 页11如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2+bx+3 与y 轴交于点 C，与 x 轴交于点
13、 A，B，连接 BC点A 的坐标为( 3 ，0) ，tanOBC( 1)求抛物线的解析式；(2)点 P 为线段 BC 下方的抛物线上一动点，过点 P 作PDy轴交 BC 于点 D ，过点 D 作 DEy 轴，垂足为 点 E，求 PD+DE 的最大值及此时点 P 的坐标；(3)将抛物线yax2+bx+3 沿射线 CA 方向平移 3 3个单位长度，得到抛物线y ，M 为y对称轴上一动点，在 平面直角坐标系内是否存在一点 N，使得以 B 、M、N、C 四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接 写出 N 点的坐标，若不存在，在请说明理由第 11 页12如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x2+bx+
14、c 与 x 轴交于 A ( 2 ，0)，B (6 ，0) 两点，与y 轴交于点 C，点 P 为直线 BC 上方抛物线上一动点(1) 求抛物线的解析式；(2) 过点 A 作 ADBC 交抛物线于 D，点 E 为直线 AD 上一动点，连接 CP，CE，BP，BE，求四边形 BPCE 面积的最大值及此时点 P 的坐标；(3) 将抛物线沿射线 CB 方向平移个单位，M 为平移后的抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点 N，使以点 B ，C，M，N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 N 的坐标，若不存在，请说明理由第 12 页13如图，在平面角坐标系中，已知抛物线y
15、 = x2 2x 3 与x轴交于点A和点B ，点A在点B的左侧，与y轴交于点C(1) 求A点、C点的坐标；(2) 点P是第四象限内的抛物线上一点，连接AC ，CP ，BP若四边形ACPB的面积为，请求出此时点P的坐标；(3)将抛物线沿射线AC方向平移 10个单位长度得到新抛物线y，新抛物线y 与原抛物线对称轴交于点D点 E为新抛物线y 上的一个动点，点F为直线BC上一点，直接写出所有使得以点D ，E ，F ，B为顶点构成的四边 形是平行四边形的点E的横坐标，并把求其中一个点E的横坐标的过程写出来第 13 页14如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = ax2 + bx + 3 (a 0) 与y轴
16、交于点C，与x轴交于A，B两点 (点 A在点B的右侧)，且点A的坐标为( 3, 0) ，连接BC ，过点A作AD/BC交y轴于点D ，0B = 30A(1) 求抛物线的解析式；(2) 如图 1 ，点E为射线AD上一点，点P为第二象限内抛物线上一点，求四边形PBEC面积的最大值及此时 点P的坐标；(3) 如图 2 ，将原抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线y ，y 经过点C ，平移后点A的对应点为点A ，点N 为线段AD的中点，点Q为新抛物线y 的对称轴上一点，在新抛物线y 上存在一点M ，使以点M ，Q ，A ，N 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过
17、程第 14 页15如图，在平面直角坐标系X0y中，已知抛物线y = aX2 + bX + c与 x 轴交于A( 1,0) ，B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,2)(1) 求抛物线的解析式：(2) 如图 1 ，点 D 为第一象限内抛物线上一点，连接0D 、BC交于点 E ，过点 D 作DG X轴于 G ，交BC于点 F，连接DB ，P 为 x 轴上一动点，当S DBE取得最大值时，求点 D 的坐标及DP + 5 BP的最小值；S 0BE 5(3) 如图 2 ，在满足 (2) 问的条件下，将直线0D沿y 轴负方向平移得到直线 1 ，使它经过点 G ，点 M 为 直线 l 上一点，点 N 为抛物
18、线上一点，若以 F、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的坐标第 15 页16如图，抛物线y = ax2 bx 4 与 x 轴交于A 2,0 ，B 6,0两点，与y 轴交于点 C连接BC(1) 求抛物线的解析式；(2) 如图 1 ，M 为线段0B的中点，过点 M 作MN/BC ，交y 轴与点 N，P 是抛物线上位于直线BC下方的一 个动点，连接PM ，交BC于点 Q ，连接PN ，NQ ，当 PNQ的面积最大时，求出此时点 P 的坐标及 PNQ 的面积最大值；(3) 当点 P 满足 (2) 问的条件时，在直线BC上是否存在一点 E，在平面内是否存在一点 F，使得以点 P， E，C
19、，F 为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点 F 的坐标，若不存在，请说明理由第 16 页17如图 1 ，在平面直角坐标系中，抛物线y = X2 + bX + c与 x 轴交于 A ，B 两点 (点 A 在点 B 左侧)，与y 轴交于点C0, 1 ，且0A = 20C( 1)求这个抛物线的解析式；(2)如图 2，点 P 为线段BC上方抛物线上一动点，过 P 点作线段BC的垂线交BC于点 R，作 x 轴的平行线交BC 于点 Q ，当 PQR的周长最大时，请求出 PQR周长的最大值及点 P 的坐标；(3)在 (2) 的条件下，将抛物线y 沿射线CA方向平移 5个单位到新抛物线y1，M 为新抛物线y1
20、 与原抛物线y的交点，N 为原抛物线对称轴上一点，S 为平面上任意一点，是否存在点 S 使得以点 M，N，P ，S 为顶点的 四边形为菱形？若存在，请直接写出满足条件的 S 点的坐标；若不存在，请说明理由第 17 页18如图，已知抛物线y = ax2 + bx + c与 x 轴交于点A 2,0，B 6,0，与y 轴交于点 C，且C0: A0 = 1: 2连接 BC，与抛物线的对称轴交于点 D(1) 求抛物线的解析式；(2) 点 P 是直线BC上方抛物线上一点，连接PC 、PD ，求 PCD面积的最大值，及当 PCD面积最大时点 P 的坐标；(3) M 为抛物线对称轴上一点，N 为抛物线上一点，
21、在 (2) 的基础上，是否存在这样的点 M，使得以点 P、 C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由第 18 页19如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y = aX2 + bX + C与X轴交于点A ，点 B ，与y轴交于点 C，其中 A ( 4 ，0)，B (2 ，0)，C (0 ， 4)(1) 求该抛物线的函数表达式；(2) 点 P 为直线 AC 下方抛物线上一点，PDAC，当线段 PD 的长度最大时，求点 P 的坐标；(3) 将B0C沿直线 BC 平移，平移后的三角形为B0C (其中点0与点0不重合)，点 S 是坐标平面内一 点，若以
22、A ，C ，0 ，S 为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点0的坐标第 19 页20如图，二次函数y = ax2 + bx + 3 的图象与 x 轴交于点A 3,0和B4,0 ，点 A 在点 B 的左侧，与y 轴 交于点 C( 1)求二次函数的函数解析式；(2)如图，点 P 在直线BC上方的抛物线上运动，过点 P 作PDAC交BC于点 D ，作PE x轴交BC于点 E ，求 7 2PD + 4PE的最大值及此时点 P 的坐标；(3)在 (2) 中 7 2PD + 4PE取最大值的条件下，将抛物线沿水平方向向右平移 4 个单位，再沿竖直方向向 上平移 3 个单位，点 Q 为点 P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点 G ，M 为平移后的抛物线的对称轴 上一点，在平移后的抛物线上确定一点 N，使得以点 Q 、G 、M、N 为顶点的叫边形是平行四边形，写出所 有符合条件的点 N 的坐标，并写出求解点 N 的坐标的其中一种情况的过程第 20 页