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1、湘教版九年级数学上册湘教版九年级数学上册第一章第一章反比例函数反比例函数（一）反比例函数（一）反比例函数 1（）可以写成（）的形式，注意自变量x 的指数为这一限制条件；，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 2（）也可以写成 xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质（二）反比例函数的图象与性质1函数解析式：（）2自变量的取值范围：3图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x 的取值不能为0，且 x 应对称取点（关于原点对称）（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直越小，
2、图象的弯曲度越大（2）图象的位置和性质：自变量当当，函数图象与 x 轴、y 轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，）在双曲线的另一支上，）在（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（图象关于直线双曲线的另一支上对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（4k 的几何意义:如图1，设点 P（a，b）是双曲线上任意一点，作 PAx 轴于 A 点，PBy轴于 B 点，则矩形 PBOA 的面积是（三角形 PAO 和三角形 PBO
3、的面积都是）如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点 Q 也在双曲线上，作 QCPA 的延长线于 C，则有三角形 PQC 的面积为图1图2 5说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称（三）反比例函数的应用（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式2、反比例函数与一次函数的联系 3、充分利用数形结合的思想解决问题第二章第二章一元二次方程一元二次方程（一）一元二次方程（一）一元
4、二次方程1、只含有一个未知数的整式方程整式方程（分母不含未知数分母不含未知数），且都可以化为ax2bxc 0（a、b、c 为常 数，a0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。2、把ax2bxc 0（a、b、c 为常数，a0）称为一元二次方程的一般式一般式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项（包括符号）。（二）一元二次方程的解法（二）一元二次方程的解法1、直接开平方法：如果方程化成如果方程能化成的形式，那么可得?(p0)的形式，那么；进而得出方程的根。2、配方法：配方式配方式基本步骤：把方程化成一元二次方程的一般形式；将二次项系数化成1；把常数项移到方程的右边；两边加上一次项系数的一
5、半的平方；把方程转化成左边为一个完全平方式，右边化为一个常数；两边开方求其根。bb24ac 3、公式法x（注意在找 a、b、c 时须先把方程化为一般形式）2a 4、分解因式法把方程的一边变成 0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）（三）一元二次方程根的判别式（三）一元二次方程根的判别式判别式=b-4ac 与根的关系：2当 b-4ac0 时，则方程有两个不等的实数根；当 b2-4ac=0 时，则方程有两个相等的实数根；2当 b-4ac0 时，则方程有两个实数根；2当 b-4acBC），并且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项，叫做把线段 AB黄金分割，
6、点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点值得关注的近似数：假设AB=1则 AC0.618 BC=AD0.382）A C B定义：较长最短51ACCB51 0.618)0.618 (最长较长2ABAC2（二）平行线分线段成比例（二）平行线分线段成比例三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如图：如图，因为ADBECF，所以 AB：BC=DE：EF；AB：AC=DE：DF；BC：AC=EF：DF。也可以说 AB：DE=BC：EF；AB：DE=AC：DF；BC：EF=AC：DF推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或
7、两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。（三）相似图形（三）相似图形1、对应角相等，对应边的比相等的两个图形就叫相似图形。2、相似多边形：（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）（2）相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比相似多边形面积的比等于相似比的平方（四）相似
8、三角形的判定和性质（四）相似三角形的判定和性质1、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“”来表示，相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。2、相似三角形的基本定理（1）反身性：对于任一ABC，都有ABCABC；（2）对称性：若ABCABC，则ABCABC（3）传递性：若ABCABC，并且ABCABC，则ABCABC。3、三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法定义法定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似平行法平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另
9、一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。两角对应相等，两三角形相似。判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例三边对应成比例，两三角形相似（2）直角三角形相似的判定方法以上各种判定方法均适用定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个
10、直角三角形相似垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。4、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边、对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比（2）相似三角形周长的比等于相似比（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。（五）相似三角形的应用（五）相似三角形的应用测量高度：如测量旗杆的高度：利用同一时刻下阳光的影子A 物高：B 物高=A 影长：B 影长（六）位似图形（六）位似图形1、位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此
11、时的相似比叫做位似比。2、性质：（1）图形对应的比等于。（2）图形的对应角都相等。（3）图形对应点连线的交点是位似中心。（4）位似的比等于的平方。（5）图形高、的比都等于。（6）位似图形对应边互相平行或在同一直线上第四章第四章锐角三角函数锐角三角函数（一）正弦、余弦、正切（一）正弦、余弦、正切1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。a2 b2 c22、如下图，在 RtABC 中，C 为直角，则A 的锐角三角函数为(A 可换成B)：定义表达式取值范围关关系系A的对边正0 sin A1asin A sin Ac斜边弦(A 为锐角)A的邻边余0 cosA1bcos A cos
12、 A c弦(A 为锐角)斜边A的对边正tan A 0atan A tan A bA的邻边切(A 为锐角)sinA cosBcosAsinBsin2A cos2A 13、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。Bsin A cosB由A B 90sin A cos(90 A)对斜边ccos A sin(90 A)cosAsinB得B 90 Aa边b 4、0 0、3030、4545、6060、9090特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值(重要)AC邻边三角函数三角函数sin cos 0 00 01 10 0303012454522226060321290901
13、10 0-32tan 331 13 5、正弦、余弦的增减性：当 090时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。6、正切的增减性：当 090时，tan随的增大而增大（二）解直角三角形：（二）解直角三角形：1、定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。2、依据：边的关系：a2b2 c2；角的关系：A+B=90；边角关系：三角函数的定义（三）解直角三角形的应用：（三）解直角三角形的应用：1、仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。铅垂线仰角俯角视线水平线hi h:ll视线h。坡度一般写成1:m2、lh的形式，如i 1:5等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，
14、那么i tan。l坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即i 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC 的方向角分别是：45、135、2254、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：北偏东30（东北方向），南偏东 45（东南方向），南偏西 60（西南方向），北偏西 60（西北方向）。第五章第五章用样本推断总体用样本推断总体 (一）平均数的计算方法一）平均数的计算方法（1）定义法定义法：一般地，如果有n 个数x1,x2,xn,数据比较分散，那么，x 1
15、(x1 x2 xn)叫做n这 n 个数的平均数，x读作“x 拔”。（2）加权平均数法加权平均数法：如果所给数据重复出现，即n 个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，xk出现fk次（这里f1 f2 fk n）那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为x1f1 x2f2xkfk，这样求得的平均数x叫做加权平均数，其中f1,f2,fk叫做权。n（3）新数据法：当所给数据都在某一常数a 的上下波动时，一般选用简化公式：x x a。其中，常数 a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，（x1 x1 a，x2 x2 a，1xn xn a。x(x1x2 xn)是新数据的平均数（通常把x1,x2
16、,xn,叫做原数据，nx1,x2,xn,叫做新数据）。x（二）、统计学中的几个基本概念（二）、统计学中的几个基本概念1、总体：所有考察对象的全体叫做总体。2、个体：总体中每一个考察对象叫做个体。3、样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。4、样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。5、样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。6、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。7、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。（三）总体平均数和方差的估计（三）总体平均数和方差的估计1、总体平均数总体平
17、均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数；统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。2、方差方差：在一组数据x1,x2,xn,中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“s”表示，即s221(x1 x)2(x2 x)2(xn x)2n（1）简化计算公式（）：（此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方)221212222(x1 x2 xn)nx 也可写成s2(x12 x2 xn)xnn212222（2）简化计算公式（）：s(x1x2 xn)nx 当一组数据中的数据较大时，可以依ns 2照简化平均数的计算
18、方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据21222x1 x1 a，x2 x2 a，xn xn a，那么，s(x1x2 xn)xn2（此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方）（3）新数据法：原数据x1,x2,xn,的方差与新数据x1 x1 a，x2 x2 a，xn xn a的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得x1,x2,xn,的方差就等于原数据的方差。3、标准差：标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即s s21(x1 x)2(x2 x)2(xn x)2n（方差或标准差越大，离散程度越大，稳定性越差，反之越稳定）（方差或标准差越大，离散程度越大，稳定性越差，反之越稳定）