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1、湘教版九年级数学上册第一章 反比例函数一反比例函数 1可以写成的形式，留意自变量x的指数为，在解决有关自变 量指数问题时应特殊留意系数这一限制条件； 2也可以写成xy=k的形式，用它可以快速地求出反比例函数解析式中的k，从而 得到反比例函数的解析式；二反比例函数的图象及性质1函数解析式：2自变量的取值范围：3图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应留意自变量x的取值不能为0， 且x应对称取点关于原点对称1图象的形态：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直越小，图象的弯曲度越大2图象的位置和性质：自变量，函数图象及x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线 当时，图象的两支
2、分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大3对称性：图象关于原点对称，假设a，b在双曲线的一支上，在双曲线的另一支上 图象关于直线对称，即假设a，b在双曲线的一支上，那么，和，在 双曲线的另一支上4k的几何意义: 如图1，设点Pa，b是双曲线上随意一点，作PAx轴于A点，PBy轴于B点，那么矩形PBOA的面积是三角形PAO和三角形PBO的面积都是如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QCPA的延长线于C，那么有三角形PQC的面积为 图1 图2 5说明：1双曲线的两个分支是断开的，探讨反
3、比例函数的增减性时，要将两个分支分别探讨，不能一概而论2直线及双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称三反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：1待定系数法；2根据实际意义列函数解析式2、反比例函数及一次函数的联络 3、充分利用数形结合的思想解决问题第二章 一元二次方程 一一元二次方程 1、只含有一个未知数的整式方程分母不含未知数，且都可以化为a、b、c为常 数， a0的形式，这样的方程叫一元二次方程。 2、把a、b、c为常数，a0称为一元二次方程的一般式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项包括符号。 二一元二次方程的解法 1、干脆开
4、平方法：假如方程化成的形式，那么可得； 假如方程能化成(p0)的形式，那么进而得出方程的根。 2、配方法：配方式 根本步骤：把方程化成一元二次方程的一般形式；将二次项系数化成1；把常数项移到方程 的右边；两边加上一次项系数的一半的平方；把方程转化成左边为一个完全平方式， 右边化为一个常数；两边开方求其根。 3、公式法 留意在找a、b、c时须先把方程化为一般形式 4、分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。主要包括“提公因式 和“十字相乘（三） 一元二次方程根的判别式 判别式=b2-4ac及根的关系： 当b2-4ac0时，那么方程有两个不等的实数根； 当b2-4ac=
5、0时，那么方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac0时，那么方程有两个实数根； 当b2-4acBC，并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点值得关注的近似数：假设 那么AC0.618 BC=AD0.382 A C B 定义： ()二平行线分线段成比例 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如图：如图，因为ADBECF， 所以AB：BC=DE：EF； AB：AC=DE：DF； BC：AC=EF：DF。 也可以说AB：DE=BC：EF； AB：DE=AC：DF； BC：EF=AC：DF推论：1平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的
6、对应线段成比例。逆定理：假如一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。2平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边及原三角形的三边对应成比例。三相像图形 1、对应角相等，对应边的比相等的两个图形就叫相像图形。 2、相像多边形：1假如两个边数一样的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫 做相像多边形。相像多边形对应边的比叫做相像比或相像系数 2相像多边形的性质：相像多边形的对应角相等，对应边成比例 相像多边形周长的比、对应对角线的比都等于相像比 相像多边形中的对应三角形相像，相像比等于相像多边形的相像比 相像多边形面积
7、的比等于相像比的平方四相像三角形的断定和性质1、相像三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相像三角形。相像用符号“来表示，相像三角形对 应边的比叫做相像比或相像系数。2、相像三角形的根本定理 1反身性：对于任一ABC，都有ABCABC； 2对称性：假设ABCABC，那么ABCABC 3传递性：假设ABCABC，并且ABCABC，那么ABCABC。3、三角形相像的断定1三角形相像的断定方法 定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相像 平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形及原三 角形相像 断定定理1：假如一个三角形的两个角及另一个三角形的两个
8、角对应相等，那么这两个三角形相 似，可简述为两角对应相等，两三角形相像。 断定定理2：假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这 两个三角形相像，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像。 断定定理3：假如一个三角形的三条边及另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相 似，可简述为三边对应成比例，两三角形相像2直角三角形相像的断定方法 以上各种断定方法均适用 定理：假如一个直角三角形的斜边和一条直角边及另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成 比例，那么这两个直角三角形相像 垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形及原三角形相像。4、相像
9、三角形的性质 1相像三角形的对应角相等，对应边、对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相像比 2相像三角形周长的比等于相像比 3相像三角形面积的比等于相像比的平方。（五） 相像三角形的应用测量高度：如测量旗杆的高度：利用同一时刻下阳光的影子 A物高：B物高=A影长：B影长（六） 位似图形1、 位似图形：假如两个图形不仅是相像图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相像比叫做位似比。2、性质：1位似图形对应线段的比等于位似比。 2位似图形的对应角都相等。 3位似图形对应点连线的交点是位似中心。 4位似图形面积的比等于位似比的平方。
10、5位似图形高、周长的比都等于位似比。 6位似图形对应边相互平行或在同始终线上第四章 锐角三角函数（一） 正弦、余弦、正切1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。 2、如下列图，在RtABC中，C为直角，那么A的锐角三角函数为(A可换成B)：定 义表达式取值范围关 系正弦(A为锐角)余弦(A为锐角)正切(A为锐角) 对边邻边斜边ACB3、随意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；随意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、0、30、45、60、90特殊角的三角函数值(重要)三角函数030456090011001- 5、正弦、余弦的增减性： 当090时，sin随的增大而增大，cos随
11、的增大而减小。 6、正切的增减性： 当090时，tan随的增大而增大（二） 解直角三角形： 1、定义：边和角两个，其中必有一边全部未知的边和角。2、根据：边的关系：；角的关系：A+B=90；边角关系：三角函数的定义（三） 解直角三角形的应用：1、仰角：视线在程度线上方的角；俯角：视线在程度线下方的角。 2、 坡面的铅直高度和程度宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成 的形式，如等。把坡面及程度面的夹角记作(叫做坡角)，那么。3、 从某点的指北方向按顺时针转到目的方向的程度角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方向 角分别是：45、135、2254、指北或指南方向线及目的方向
12、线所成的小于90的程度角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、 OD的方向角分别是：北偏东30东北方向 ， 南偏东45东南方向， 南偏西60西南方向， 北偏西60西北方向。 第五章 用样本推断总体 (一平均数的计算方法（1） 定义法：一般地，假如有n个数数据比较分散，那么，叫做 这n个数的平均数，读作“x拔。（2） 加权平均数法：假如所给数据重复出现，即n个数中，出现次，出现次，出现 次这里那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为 ，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权。3新数据法：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：。 其中，常数a通常取接近这组数据平均
13、数的较“整的数， 。是新数据的平均数通常把叫做原数据， 叫做新数据。二、统计学中的几个根本概念 1、总体：全部考察对象的全体叫做总体。 2、个体：总体中每一个考察对象叫做个体。 3、样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 4、样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。 5、样本平均数：样本中全部个体的平均数叫做样本平均数。 6、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 7、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据或最中间两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数。 三总体平均数和方差的估计1、总体平均数：总体中全部个体的平均数叫做总体平均数； 统计
14、中，通常用样本平均数估计总体平均数。2、方差：在一组数据中，各数据及它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的 方差。通常用“表示，即1简化计算公式：此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方) 也可写成（2） 简化计算公式： 当一组数据中的数据较大时，可以依 照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个及它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据 ，那么， 此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方（3） 新数据法：原数据的方差及新数据，的方 差相等，也就是说，根据方差的根本公式，求得的方差就等于原数据的方差。3、 标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s表示，即方差或标准差越大，离散程度越大，稳定性越差，反之越稳定