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1、河北工程大学高等数学同步练习第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念1.求定义域(1)(x,y)1 xy e；e(2)2kx2+y22k+1,kZ；(3)(x,y,z)2.求极限(1)lim(x2 y211)2;x0y01 x2 y2 z2 9.(2)0;x2 y22sin2(3)lim2 0;2x0(x y)exyy02(4)limsin xycosxy.x 2.x2xyy03.判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值x2k2x21k2(1)沿直线y=kx趋于点（0，0）时，lim2,不存在;x0 x k2x21k2(2)沿直线y=0,极限为 1；沿曲线y=x,极限为 0，不存在
2、;xyxyx y11(3)02 0.极限为 0.x y2x2 y2x2 y2x2y2xy4.因当x2 y2 0时，x2yx22.y y,02x y2x y2所以lim f(x,y)0 f(0,0)，故连续.x0y0第二节 偏导数1.求下列函数的偏导数(1)2(1 xy).y 2y(1 xy);2x(1+xy);(2)yzcos(xyz)+2xy;xzcos(xyz)+x2;(3)2.2(x y)2(x y),.1(x y)21(x y)2.61yxyx x1.3.1(y 1).y 1x1y24.z ln(x y)1 ln(x2 y2),2z12xx.2,222x2 x yx y22122z(x
3、2 y2)2x2x2 y2 2,x2(x2 y2)2(x y2)22zy2 x222y(x y2)25.因为0 xsinx0y01 x,x2 y2所以lim f(x,y)0 f(0,0),连续.1022fx 0（0，0）lim，不存在，x0 xx10g sin0f0y2(0,0)lim 0.y0yyxsin第三节全微分1.求下列函数的全微分解：(1)zzdxdyxy1xyy2dxdyxx1()21()2yydz y1y xy222dxy2xy xy222dy.(2)du uuudxdydzxyz yzxyz1dx zxyzln xdy yxyzln xdz.2.解：x3 y3x2y20 2 x2 y2 x y 0,(x,y)(0,0).x y2x y2x y2所以lim f(x,y)0 f(0,0),连续.x0y003y3x3030022220 yfx(0,0)limx 01,fy(0,0)lim1x0y0 xy两个偏导数都存在，为1x3y3x3xy2x2yy3xy2x2yxy2x2yz 21gx1gy222x yx yx2y2当沿y x (0,0)时，lim0 xy2x2y(x2y2)x2y2 lim02 x32x22 x1 0,故不可微.2