高中数学必修五知识点大全.pdf

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1、必修五必修五知识点串讲知识点串讲第一章：解三角形第一章：解三角形1 11 11 1 正弦定理正弦定理1 1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinAbsinBcsinC一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。abcsinAsinBsinCabcabc证明出证明出sinAsinBsinCsinAsinBsinCabc解：设解：设k(ko)sinAsinBsinC则有则有aksinA，bksinB，cksinCabcks

2、inAksinBksinC从而从而=ksinAsinBsinCsinAsinBsinC3aabc又又，所以，所以=2=22ksinAsin600sinAsinBsinCabcabc评述：在评述：在ABCABC 中，等式中，等式kk0sinAsinBsinCsinAsinBsinC2 2、已知、已知ABCABC 中，中，A A600，a3,求求恒成立。恒成立。3 3、已知、已知ABCABC 中，中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求，求a:b:c（答案：（答案：1 1：2 2：3 3）1.1.21.1.2 余弦定理余弦定理1 1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去

3、这两边与它们的夹角的余弦的、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即积的两倍。即a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC从余弦定理，又可得到以下推论：从余弦定理，又可得到以下推论：b2c2a2cosA2bca2c2b2cosB2acb2a2c2cosC2ba2 2、在、在ABCABC 中，已知中，已知a2 3，c 6 2，B600，求，求 b b 及及 A A解：解：b2a2c22accosB=(2 3)2(62)222 3(6 2)coscos450=12(6 2)24 3(31)=8b2 2.求求

4、A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：b2c2a2(2 2)2(6 2)2(2 3)21,解法一：解法一：coscosA2bc222 2(6 2)0A60.a2 3解法二：解法二：sinsinA sinBsin450,b2 2又又6 22.41.43.8,2 321.83.6,ac，即，即00A900,0A60.评述：解法二应注意确定评述：解法二应注意确定 A A 的取值范围。的取值范围。3 3、在、在ABCABC 中，若中，若a2b2c2bc，求角，求角 A A（答案：（答案：A=120A=1200）1 11 13 3 解三角形的进一步讨论解三角形的进

5、一步讨论1 1、在、在ABCABC 中，已知中，已知a,b,A，讨论三角形解的情况，讨论三角形解的情况分析：先由分析：先由sinB则则C1800(AB)从而从而cbsinA可进一步求出可进一步求出 B B；aasinCA1 1当当 A A 为钝角或直角时，必须为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。才能有且只有一解；否则无解。2 2当当 A A 为锐角时，为锐角时，如果如果ab，那么只有一解；，那么只有一解；如果如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：，那么可以分下面三种情况来讨论：（1 1）若）若absinA，则有两解；，则有两解；（2 2）若）若absinA，则只有一解；，则只

6、有一解；（3 3）若）若absinA，则无解。，则无解。（以上解答过程详见课本第（以上解答过程详见课本第 9 91010 页）页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A A 为锐角且为锐角且bsinAab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。2 2、（1 1）在）在ABCABC 中，已知中，已知a80，b100，A 450，试判断此三角形的解的情况。，试判断此三角形的解的情况。（2 2）在）在ABCABC 中，若中，若a1，c1，C 400，则符合题意的，则符合题

7、意的 b b 的值有的值有_个。个。2（3 3）在）在ABCABC 中，中，axcm，b2cm，B 450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求，如果利用正弦定理解三角形有两解，求 x x 的取值的取值范围。范围。（答案：（答案：（1 1）有两解；）有两解；（2 2）0 0；（3 3）2x2 2）3 3、在、在ABCABC 中，已知中，已知a7，b5，c3，判断，判断ABCABC 的类型。的类型。解：解：725232，即，即a2b2c2，ABC是钝角三角形。4 4、（1 1）在）在ABCABC 中，已知中，已知sinA:sinB:sinC1:2:3，判断，判断ABCABC 的类型。的类型。（2

8、2）已知）已知ABCABC 满足条件满足条件acosAbcosB，判断，判断ABCABC 的类型。的类型。（答案：（答案：（1 1）ABC是钝角三角形；（2 2）ABCABC 是等腰或直角三角形）是等腰或直角三角形）5 5、在、在ABCABC 中，中，A600，b1，面积为，面积为3abc，求，求的值的值2sinAsinBsinCasinAbsinBcsinCabcsinAsinBsinC13解：由解：由SbcsinA得得c2，22则则a2b2c22bccosA=3=3，即，即a3，从而从而abca2sinAsinBsinCsinA解三角形应用举例解三角形应用举例1 1、两灯塔、两灯塔 A A

9、、B B 与海洋观察站与海洋观察站 C C 的距离都等于的距离都等于 a km,a km,灯塔灯塔 A A 在观察站在观察站 C C 的北偏东的北偏东 3030，灯塔，灯塔 B B 在观察在观察站站 C C 南偏东南偏东 6060，则，则 A A、B B 之间的距离为多少之间的距离为多少解略：解略：2a kma km2 2、某人在某人在 M M 汽车站的北偏西汽车站的北偏西 2020的方向上的的方向上的 A A 处，观察到点处，观察到点 C C 处有一辆汽车沿公路向处有一辆汽车沿公路向 M M 站行驶。公站行驶。公路的走向是路的走向是 M M 站的北偏东站的北偏东 4040。开始时，汽车到。开

10、始时，汽车到 A A 的距离为的距离为 3131 千米，汽车前进千米，汽车前进 2020 千米后，到千米后，到 A A的距离缩短了的距离缩短了 1010 千米。问汽车还需行驶多远，才能到达千米。问汽车还需行驶多远，才能到达 M M 汽车站汽车站解：由题设，画出示意图，设汽车前进解：由题设，画出示意图，设汽车前进2020 千米后到达千米后到达 B B 处。在处。在ABCABC 中，中，AC=31AC=31，BC=20BC=20，AB=21AB=21，由，由余弦定理得余弦定理得AC2 BC2 AB223cosC=cosC=,2AC BC31432则则 sinsin2C=1-cosC=1-cos2C

11、=C=2,3112 3sinC=sinC=,31所以所以 sin sinMAC=sinMAC=sin（120120-C-C）=sin120=sin120cosC-cos120cosC-cos120sinC=sinC=在在MACMAC 中，由正弦定理得中，由正弦定理得 MC=MC=35 362ACsinMAC3135 3=35=3562sinAMC32从而有从而有 MB=MC-BC=15MB=MC-BC=15答：汽车还需要行驶答：汽车还需要行驶 1515 千米才能到达千米才能到达 M M 汽车站。汽车站。3 3、S=S=111absinabsinC C，S=S=bcsinbcsinA,A,S=S

12、=acsinBacsinB2224 4、在、在ABCABC 中，求证：中，求证：a2 b2sin2A sin2B;（2 2）a2+b2+c2=2=2（bccosA+cacosB+abcosCbccosA+cacosB+abcosC）（1 1）22csin C证明：证明：（1 1）根据正弦定理，可设）根据正弦定理，可设a=b=c=k=ksinAsinBsinC显然显然 k k0 0，所以，所以a2 b2k2sin2A k2sin2B左边左边=c2k2sin2Csin2A sin2B =右边右边2sin C（2 2）根据余弦定理的推论，）根据余弦定理的推论，b2 c2 a2a2 b2 c2c2 a

13、2b2右边右边=2(bc=2(bc+ca+ca+ab+ab)2bc2ca2ab =(b =(b2+c+c2-a-a2)+(c)+(c2+a+a2-b-b2)+(a)+(a2+b+b2-c-c2)=a=a2+b+b2+c+c2=左边左边变式练习变式练习 1 1：已知在：已知在ABCABC 中，中，B=30B=30,b=6,c=6,b=6,c=63,求求 a a 及及ABCABC 的面积的面积 S S提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。答案：答案：a=6,S=9a=6,S=93;a=12,S=18;a=

14、12,S=1835 5、如图，在四边形、如图，在四边形 ABCDABCD 中，中，ADB=ADB=BCD=75BCD=75，ACB=ACB=BDC=45BDC=45，DC=DC=3，求：，求：（1 1）ABAB 的长的长（2 2）四边形四边形 ABCDABCD 的面积的面积略解（略解（1 1）因为）因为BCD=75BCD=75，ACB=45ACB=45，所以，所以ACD=30ACD=30，又因为，又因为BDC=45BDC=45，所以，所以DAC=180DAC=180-（7575+45+45+30+30）=30=30，所以所以 AD=DC=AD=DC=3在在BCDBCD 中，中，CBD=180C

15、BD=180-（7575+45+45）=60=60，所以，所以6 2BD3sin 75DC=，BD=BD=2sin75sin 60sin60在在ABDABD 中，中，ABAB2=AD=AD2+BD+BD2-2-2ADADBDBDcos75cos75=5,=5,所以得所以得 AB=AB=5（3 3）S SABD=3 2 31ADADBDBDsin75sin75=4233同理，同理，S SBCD=46 3 3所以四边形所以四边形 ABCDABCD 的面积的面积 S=S=4第二章：数列第二章：数列2 21 1 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法1 1、概括数列的概念：概括数列的概念：按照一

16、定顺序排列着的一列数称为数列，按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列中的每一个数叫做这个数列的项。辩析数列的概念：辩析数列的概念：“1 1，2 2，3 3，4 4，5 5”与“”与“5 5，4 4，3 3，2 2，1 1”是同一个数列吗与“”是同一个数列吗与“1 1，3 3，2 2，4 4，5 5”呢给出首项与第呢给出首项与第 n n 项的定义及数列的记法：项的定义及数列的记法：a ann2 2、数列的分类、数列的分类:有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。3 3、数列的表示方法：项公式列表和图象等方

17、法表示数列、数列的表示方法：项公式列表和图象等方法表示数列4 4、=2 a=2 an-1n-1+1+1（n nN N，n1n1），（）（）式称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。式称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。2 22 2 等差数列等差数列1 1、数列：一般地，如果一个数列从第、数列：一般地，如果一个数列从第 2 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d d 表示。表示。2 2

18、、个数、个数 a a，A A，b b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A A 叫做叫做 a a 与与 b b 的等差中项。的等差中项。3 3、等差数列中，若、等差数列中，若 m+n=p+qm+n=p+q 则则am an ap aq4 4、通项公式：以、通项公式：以a1为首项，为首项，d d 为公差的等差数列为公差的等差数列an的通项公式为：的通项公式为：an a1(n 1)d5 5、迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：、迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：（迭加法）（迭加法）：an是等差数列，所以是等差数列，所以an an1 d,

19、an1 an2 d,an2 an3 d,a2 a1 d,两边分别相加得两边分别相加得an a1(n 1)d,所以所以an a1(n 1)d（迭代法）（迭代法）：an是等差数列，则有是等差数列，则有an an1 d an2 d d an2 2d an3 d 2d an33d a1(n 1)d所以所以an a1(n 1)d6 6、求等差数列求等差数列 8 8，5 5，2 2，的第，的第 2020 项项.-401-401 是不是等差数列是不是等差数列-5-5，-9-9，-13-13，的项如果是，是第几项，的项如果是，是第几项解：由解：由a1=8=8，d=5-8=-3d=5-8=-3，n=20n=20

20、，得，得a20 8(211)(3)49由由a1=-5=-5，d=-9-d=-9-（-5-5）=-4=-4，得这个数列的通项公式为，得这个数列的通项公式为an 5 4(n 1)4n 1,由题由题意知，本题是要回答是否存在正整数意知，本题是要回答是否存在正整数 n,n,使得使得-401=-4n-1-401=-4n-1 成立。成立。解这个关于解这个关于 n n 的方程，得的方程，得 n=100n=100，即，即-401-401 是这个数列的第是这个数列的第 100100 项。项。7 7、某市出租车的计价标准为元、某市出租车的计价标准为元/km/km，起步价为，起步价为 1010 元，即最初的元，即最

21、初的 4km4km（不含（不含 4 4 千米）计费千米）计费 1010 元。如果元。如果某人乘坐该市的出租车去往某人乘坐该市的出租车去往 14km14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为处的目的地，且一路畅通，等候时间为 0 0，需要支付多少车费，需要支付多少车费解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于 4km4km 时，每增加时，每增加 1km1km，乘客需要支付元，乘客需要支付元.所以，所以，我们可以建立一个等差数列我们可以建立一个等差数列an来计算车费来计算车费.令令a1=，表示，表示4km4km 处的车费，公差处的车费，公差d=d=。那么

22、当出租车行至。那么当出租车行至14km14km 处时，处时，n=11n=11，此时需要支付车，此时需要支付车费费a1111.2(111)1.2 23.2(元)答：需要支付车费元。答：需要支付车费元。2 22 2 等差数列的前等差数列的前 n n 项和项和1 1、倒序相加法求和、倒序相加法求和我们用两种方法表示我们用两种方法表示Sn：（1 1）Sn a1(a1 d)(a1 2d).a1(n 1)d,Sn an(an d)(an 2d).an(n 1)d,（a1an）+（a1an）+（a1an）+.+（a1an）由由+，得，得2Snn个 n(a1 an)由此得到等差数列由此得到等差数列an的前的前

23、 n n 项和的公式项和的公式Snn(a1 an)2（2 2）Sn a1a2a3.an =a1(a1d)(a12d).a1(n1)d =na1d 2d.(n1)d =na112.(n1)d =na1n(n1)d22 2、已知一个等差数列、已知一个等差数列an前前 1010 项的和是项的和是 310310，前，前 2020 项的和是项的和是 1220.1220.由这些条件能确定这个等差数由这些条件能确定这个等差数列的前列的前 n n 项和的公式吗项和的公式吗解：由题意知解：由题意知S10 310，S201220，将它们代入公式将它们代入公式Sn na1得到得到（n n1）d，210a145d 3

24、10，20a1190d 1220解这个关于解这个关于a1与与 d d 的方程组，得到的方程组，得到a1=4=4，d=6d=6，（n n1）6 3n2n2a an另解：另解：S10110 3102所以所以Sn 4n得得a1a10 62；S20a1a2020 12202所以所以a1a20122；-，得，得10d 60，所以所以d 6代入得：代入得：a1 4（n n1）d 3n2n2123 3、已知数列已知数列an的前的前 n n 项为项为Sn n n，求这个数列的通项公式求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗如果是，这个数列是等差数列吗如果是，2所以有所以有Sn a1n它的首项与公差分别是什么

25、它的首项与公差分别是什么解：根据解：根据Sn a1a2.an1an（n 1）与与Sn1 a1a2.an11112n（n1）（n1）2n222132当当 n=1n=1 时，时，a1 S11 1也满足式也满足式.221所以数列所以数列an的通项公式为的通项公式为an 2n.23由此可知，数列由此可知，数列an是一个首项为是一个首项为，公差为，公差为 2 2 的等差数列。的等差数列。2可知，当可知，当 n n1 1 时，时，an SnSn1 n 2这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前已知前 n n 项和项和Sn，可求出通项，可求出通项ana1（

26、n 1）SnSn1（n1）4 4、如果一个数列前、如果一个数列前n n 项和公式是常数项为项和公式是常数项为 0 0，且关于，且关于n n 的二次型函数，则这个数列一定是等差数列的二次型函数，则这个数列一定是等差数列.5 5、已知等差数列已知等差数列5，4，3，.的前的前 n n 项和为项和为Sn，求使得，求使得Sn最大的序号最大的序号 n n 的值的值.274747n5Sn25（n1）（）27解：由题意知，等差数列解：由题意知，等差数列5，4，3，.的公差为的公差为275，所以，所以775n5n251521125 （n）=1414256于是，当于是，当 n n 取与取与15最接近的整数即最接

27、近的整数即 7 7 或或 8 8 时，时，Sn取最大值取最大值.26 6、已已知知数数列列an,是是等等差差数数列列，S Sn n是是其其前前 n n 项项和和，且且 S S6 6，S S1212-S-S6 6，S S1818-S-S1212成成等等差差数数列列，设设k N,Sk,S2k Sk,S3k S2k成等差数列吗成等差数列吗生：分析题意，解决问题生：分析题意，解决问题.解：设解：设an,首项是首项是a1，公差为，公差为 d d则：则：S6a1a2a3a4a5a6S12 S6 a7 a8 a9 a10 a11 a12(a1 6d)(a2 6d)(a3 6d)(a4 6d)(a5 6d)(

28、a6 6d)(a1 a2 a3 a4 a5 a6)36d S636dS18 S12 a13 a14 a15 a16 a17 a18(a7 6d)(a8 6d)(a9 6d)(a10 6d)(a11 6d)(a12 6d)(a7 a8 a9 a10 a11 a12)36d S12 S636dS6,S12 S6,S18 S12为等差数列同理可得同理可得Sk,S2k Sk,S3k S2k成等差数列成等差数列.7 7、求集合、求集合mm 7n,nN*,且m 100的元素个数，并求这些元素的和。的元素个数，并求这些元素的和。解由解由 m=100m=100，得，得n 10014277满足此不等式的正整数满

29、足此不等式的正整数 n n 共有共有 1414 个，所以集合个，所以集合 m m 中的元素共有中的元素共有 1414 个，从小到大可列为：个，从小到大可列为：7 7，7 72 2，7 73 3，7 74 4，7 71414即：即：7 7，1414，2121，2828，9898这个数列是等差数列，记为这个数列是等差数列，记为an,其中其中a1 7,a14 98 S1414(7 98)7352解由解由 m=100m=100，得，得n 10014277满足此不等式的正整数满足此不等式的正整数 n n 共有共有 1414 个，所以集合个，所以集合 m m 中的元素共有中的元素共有 1414 个，从小到

30、大可列为：个，从小到大可列为：7 7，7 72 2，7 73 3，7 74 4，7 71414即：即：7 7，1414，2121，2828，9898这个数列是等差数列，记为这个数列是等差数列，记为an,其中其中a1 7,a14 98 S14答：集合答：集合 m m 中共有中共有 1414 个元素，它们和等于个元素，它们和等于 73573514(7 98)73522.32.3 等比数列等比数列1 1、等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同、等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数一个常数,这个数列就叫做等比数列这个数列

31、就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，这个常数叫等比数列的公比，用字母用字母 q q 表示表示（q q0 0），an即：即：an1=q=q（q q0 0）2 2、既是等差又是等比数列的数列：非零常数列、既是等差又是等比数列的数列：非零常数列ana1qn1(a1,q均不为0)3 3、等比数列的通项公式、等比数列的通项公式 1:1:an amqnm(am，q 0)等比数列的通项公式等比数列的通项公式 2:2:4 4、若、若an为等比数列，为等比数列，mn pq(m,n,q,pN)，则，则aman apaq由等比数列通项公式得：由等比数列通项公式得：am a1qm1,an a1qn1，ap a1

32、qp1 ,aq a1qq1，故故aman a1qmn2且且apaq a1qpq2，mn pq，aman apaq5 5、已知三个数成等比数列，它们的积为、已知三个数成等比数列，它们的积为 2727，它们的平方和为，它们的平方和为 9191，求这三个数。，求这三个数。a解：由题意可以设这三个数分别为解：由题意可以设这三个数分别为,a,aq，得：，得：q22aa 3qaaq 272122a(1q)91aa2a2q2 91q22q19q482q29 0，即得，即得q2 9或或q2，91q 3或或q ，3故该三数为：故该三数为：1 1，3 3，9 9 或或1，3 3，9或或 9 9，3 3，1 1 或

33、或9，3 3，1a说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为,a,aqq6 6、数列、数列an为各项均为正数的等比数列，它的前为各项均为正数的等比数列，它的前n项和为项和为 8080，且前，且前n项中数值最大的项为项中数值最大的项为 5454，它，它的前的前2n项和为项和为 65606560，求首项，求首项a1和公比和公比q。解：若解：若q 1，则应有，则应有S2n 2Sn，与题意不符合，故，与题意不符合，故q 1。依题意有：。依题意有：a11qn80(1)1q2na11q 6560(2)1q(2)1q2n82即即q2n82qn81 0得得n1

34、q(1)n得得q 81或或q 1（舍去）（舍去），q 81。nn由由q 81知知q 1，数列数列an的前的前n项中项中an最大，得最大，得an 54。nn将将q 81代入（代入（1 1）得）得a1 q1（3 3），n1n由由an a1q 54得得a1q 54q，即，即81a1 54q（4 4），a1 2联立（联立（3 3）（4 4）解方程组得）解方程组得。q 3等比数列的前等比数列的前 n n 项和项和1 1、等比数列的前、等比数列的前 n n 项和公式：项和公式：一般地，设等比数列一般地，设等比数列a1,a2 a3,an它的前它的前 n n 项和是项和是Sn a1 a2 a3anSn a1

35、a2 a3anan a1qn1由由2n2n1Sn a1 a1q a1q a1q a1q23n1nqS a q a q a q a q a q11111得得n(1 q)Sn a1 a1qna1(1 qn)a anqSnSn11 q或或1 q论同上）当论同上）当q 1时，时，当当 q=1q=1 时，时，Sn na11 1,1,2 2、已知等比数列、已知等比数列9 3答案：使得答案：使得3 3、设数列、设数列，求使得，求使得Sn大于大于 100100 的最小的的最小的 n n 的值的值.Sn大于大于 100100 的最小的的最小的 n n 的值为的值为 7.7.的前的前 n n 项和为项和为anSn

36、 3n a当常数当常数a满足什么条件时，满足什么条件时，an才是等比数列才是等比数列答案：答案：a 14 4、已知等比数列、已知等比数列an中中,S4 20,S8 1640,求求S12.5 5、某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为、某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为 60006000 电的脑电的脑.商规店定，购买时先支付货款的商规店定，购买时先支付货款的13，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为已知欠款的月利率为%到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元到

37、第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元22解解(1)(1)因为购买电脑时因为购买电脑时,货主欠商店货主欠商店3的货款的货款,即即 600060003=4000(=4000(元元),),又按月利率又按月利率%到第一个月底的欠到第一个月底的欠款数应为款数应为 4000(1+%)=4020(4000(1+%)=4020(元元).).即到第一个月底即到第一个月底,欠款余额为欠款余额为 40204020 元元.(2)(2)设第设第 i i 个月底还款后的欠款数为个月底还款后的欠款数为 y yi,则有则有 y y1=4000(1+%)-=4000(1+%)-a y y2=y=y1(1+%)-(1

38、+%)-a =4000(1+%)=4000(1+%)-a(1+%)-(1+%)-a y y3=y=y2(1+%)-(1+%)-ay y3=y=y2(1+%)-(1+%)-a =4000(1+%)=4000(1+%)-a(1+%)(1+%)-a(1+%)-(1+%)-a y yi=y=yi 1(1+%)-(1+%)-a=4000(1+%)=4000(1+%)-a(1+%)(1+%)-a(1+%)(1+%)i 2232ii 1-a,整理得整理得(10.5%)i1aii0.5%y y =4000(1+%)=4000(1+%)-.(.(i=1,2,=1,2,36)36)(3)(3)因为因为 y y36

39、=0,=0,所以所以(10.5%)361a360.5%4000(1+%)4000(1+%)-=0=0即每月还款数即每月还款数4000(10.5%)360.5%121.6936(10.5%)1a=(元元)所以每月的款额为元所以每月的款额为元.第三章不等式第三章不等式不等式与不等关系不等式与不等关系1 1、不等式的基本性质：、不等式的基本性质：（1 1）a b,b c a c（2 2）a b ac bc（3 3）a b,c 0 ac bc（4 4）a b,c 0 ac bccc。ab1证明：以为证明：以为a b 0，所以，所以 ab0,ab0,0。ab1111于是于是a b，即，即ababbacc

40、由由 c0c0，得，得ab2 2、已知、已知a b 0,c 0,求证求证一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法1 1、一元二次不等式的定义、一元二次不等式的定义象象x25x 0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 2 的不等式，称为一元二次不的不等式，称为一元二次不等式等式2 2、设一元二次方程、设一元二次方程ax2bx c 0(a 0)的两根为的两根为x1、x2且 x1 x2，b24ac，则不等式的解的，则不等式的解的各种情况如下表：各种情况如下表：0 0 0二次函数二次函数y ax2bx c(a 0)的图象的图象一元二次方程一

41、元二次方程ax2bx c 0ax2bx c 0(a 0)的解集的解集ax2bx c 0(a 0)的解集的解集有两相等实根有两相等实根bx1 x2 2ab x x 2a有两相异实根有两相异实根x1,x2(x1 x2)无实根无实根x x x或x x12R Rx x1 x x23 3、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量 x x（辆）与创（辆）与创造的价值造的价值 y y（元）之间有如下的关系：（元）之间有如下的关系：y 2x2 220 x若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收若这家工

42、厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 60006000 元以上，那么它在一个星期内大约应该元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车生产多少辆摩托车解：设在一个星期内大约应该生产解：设在一个星期内大约应该生产x x 辆摩托车，根据题意，我们得辆摩托车，根据题意，我们得到到2x2 220 x 6000移项整理，得移项整理，得x2110 x 3000 0因因为为100 0，所所以以方方程程x2110 x 3000 0有有两两个个实实数数根根x1 50,x2 60由二次函数的图象，得不等式的解为：由二次函数的图象，得不等式的解为：50 x 60因为因为 x x 只能取正整数，所以，当这条摩托

43、车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51-5951-59辆之间时，这家工厂能够获得辆之间时，这家工厂能够获得 60006000 元以上的收益元以上的收益4 4、设设A x|x2 4x 3 0，B x|x2 2x a 8 0，且，且A B，求，求a的取值范围的取值范围解：令解：令f(x)x2 2x a 8由由A B，及二次函数图象的性质可得，及二次函数图象的性质可得 f(1)01 2 a 8 0，即，即，解之得，解之得9 a 5f(3)096 a 8 0因此因此a的取值范围是的取值范围是9 a 53 3 3 3 二元一

44、次不等式（组）与平面区域二元一次不等式（组）与平面区域1 1、画出不等式、画出不等式 2 2x+y+y6 60 0 表示的平面区域。表示的平面区域。解：先画直线解：先画直线 2 2x+y+y6 60 0（画成虚线）（画成虚线）。取原点（取原点（0 0，0 0），代入，代入 2 2x+y+y6 6，2 20+00+06 66 60 0，原点在原点在 2 2x+y+y6 60 0 表示的平面区域内，不等式表示的平面区域内，不等式 2 2x+y+y6 60 0 表示的区域如图：表示的区域如图：2 2、线性规划的有关概念：、线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量线性约束条件

45、：在上述问题中，不等式组是一组变量x x、y y的约束条件，这组约束条件都是关的约束条件，这组约束条件都是关于于x x、y y的一次不等式，故又称线性约束条件的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数：线性目标函数：关于关于x x、y y的一次式的一次式z z=2=2x x+y y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x x、y y的解析式，叫线性目标的解析式，叫线性目标函数函数线性规划问题：线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问

46、题可行解、可行域和最优解：可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（满足线性约束条件的解（x x,y y）叫可行解）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解3 3、有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见、有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表表效果种类粮食粮食石油石油方式轮船运输量轮船运输量t飞机运输量飞机运输量t300250150100现在要在一天内运输

47、至少现在要在一天内运输至少2 000t粮食和粮食和1 500t石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机答案：解：设需安排答案：解：设需安排x艘轮船和艘轮船和y架飞机，则架飞机，则6x3y40，300 x150y2 000，5x2y30，250 x100y1 500，即即x0，x0，y0y0目标函数为目标函数为z x y作出可行域，如图所示作出可行域，如图所示作出在一组平行直线作出在一组平行直线x y t（t为参数）为参数）中经过可行域中经过可行域内某点且和原点距离最小的直线，此直线经过直线内某点且和原点距离最小的直线，此直线经过直线y5x2y30 0 x 2

48、00，直线方程，直线方程6x3y40 0和和y 0的交点的交点A，3为：为：x y 203由于由于20 200不是最优解不是最优解不是整数，而最优解不是整数，而最优解(x，y)中中x，y必须都是整数，所以，可行域内点必须都是整数，所以，可行域内点，33经过可行域内的整点（横、纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线经过的整点是经过可行域内的整点（横、纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线经过的整点是(7，0)，即为最优解则至少要安排即为最优解则至少要安排7艘轮船和艘轮船和0架飞机架飞机 3 34 4 基本不等式基本不等式1 1、一般地，对于任意实数、一般地，对于任意实数a、b，我们有，我

49、们有a b 2ab，当且仅当，当且仅当a b时，等号成立。时，等号成立。2 2、如果、如果a 0,b 0,用 a和 b分别代替a、b,可得a b 2 ab,也可写成也可写成22ab a bab(a 0,b 0)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ab 22yx2 2；xy3 3、已知、已知x x、y y都是正数，求证：都是正数，求证：（1 1）（2 2）x x0 0，当，当 x x 取何值时取何值时 x+x+1有最小值，最小值是多少有最小值，最小值是多少x5 51 14 4、已知、已知x x，则函数，则函数f f（x x）4 4x x的最大值是多

50、少的最大值是多少4 44 4x x5 55 5、证明：、证明：（x xy y）（x xy y）（x xy y）x x y y.6 6、（1 1）用篱笆围一个面积为用篱笆围一个面积为 100100m 2的矩形菜园，的矩形菜园，问这个矩形的长、问这个矩形的长、宽各为多少时，宽各为多少时，所用的篱笆最短，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少最短的篱笆是多少（2 2）一段长为一段长为 3636m的篱笆围成一个矩形菜园，的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、问这个矩形的长、宽各为多少时，宽各为多少时，菜园的面积最大。菜园的面积最大。最大面积是多少最大面积是多少解：解：（1 1）设矩形菜园的长为）设矩形菜园